Formale Potenzreihe

Für einen kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ mit Einselement (den Ausgangsring) bezeichnet ${\displaystyle R[[X]]}$ den Ring der formalen Potenzreihen über ${\displaystyle R}$ in der Unbestimmten ${\displaystyle X}$. Er ist isomorph zum Ring ${\displaystyle R^{\mathbb {N} _{0}}}$ der Folgen

${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dotsc )}$

mit ${\displaystyle a_{n}\in R}$, so dass

${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dotsb =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

die zugehörige formale Potenzreihe ist und die Folge ${\displaystyle (0,1,0,0,\dotsc )}$ der Unbestimmten ${\displaystyle X}$ entspricht.

Der Ring ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle R[[X]]}$ wird durch die Abbildung

${\displaystyle R\ni a\mapsto (a,0,0,\dotsc )}$

eingebettet.

Die Folgenglieder ${\displaystyle a_{n}}$ werden Koeffizienten genannt. Vergleiche dazu auch Polynomring.

Der Ring ${\displaystyle R(\!(X)\!)}$ ist die Lokalisierung von ${\displaystyle R[[X]]}$ am Element ${\displaystyle X}$. Er wird Ring der formalen Laurent-Reihen genannt. Er ist genau dann ein Körper, wenn ${\displaystyle R}$ ein Körper ist, und stimmt dann mit dem Quotientenkörper von ${\displaystyle R[[X]]}$ überein.

Eine formale Laurent-Reihe ${\displaystyle A(X)\in R(\!(X)\!)}$ kann endlich viele Glieder mit negativem Index haben, sie hat also die Form

${\displaystyle A(X)=\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}X^{n}}$ mit ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle a_{n}\in R}$.

Diese Reihen können in die Menge[1] ${\displaystyle R^{\mathbb {Z} }}$ von unendlichen Folgen eingebettet und auch als

${\displaystyle {\begin{array}{ll}A(X)&=\quad \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}\\&=\quad \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }\\&=\quad (\dotsc ,a_{-1},a_{0},a_{1},\dotsc )\end{array}}}$

geschrieben werden unter der Vorschrift, dass fast alle Koeffizienten mit negativem Index verschwinden. Der Unbestimmten ${\displaystyle X}$ entspricht die Folge:

${\displaystyle X=(\dotsc ,\,0,\,0,}$	${\displaystyle 0,}$	${\displaystyle 1,\,0,\,0,\dotsc )\qquad \in R^{\mathbb {Z} }}$
	${\displaystyle \uparrow }$	${\displaystyle \uparrow }$
Index	0	1

Die Funktion

${\displaystyle \operatorname {ord} _{X}\colon }$	${\displaystyle R(\!(X)\!)\to }$	${\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{+\infty \}}$
	${\displaystyle A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}\;\mapsto {\begin{cases}\\\\\end{cases}}}$	${\displaystyle +\infty }$ ,	falls   ${\displaystyle A(X)=0}$ (die Nullreihe)
		${\displaystyle \min \left\{n\in \mathbb {Z} \mid a_{n}\neq 0\right\}}$,	falls   ${\displaystyle A(X)\neq 0}$

weist einer formalen Laurent-Reihe in der Unbestimmten ${\displaystyle X}$ ihre Ordnung in der Unbestimmten ${\displaystyle X}$ zu. Das Minimum ${\displaystyle \min \left\{n\in \mathbb {Z} \mid a_{n}\neq 0\right\}}$ existiert für ${\displaystyle A\neq 0}$, weil es nur endlich viele Indizes ${\displaystyle n<0}$ mit ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ gibt.

Hierbei gelten für ${\displaystyle \pm \infty }$ die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition:

Für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ gilt ${\displaystyle -\infty <n<+\infty }$ und ${\displaystyle +\infty \pm n=+\infty }$.

Damit lassen sich die formalen Laurent-Reihen als Reihen

${\displaystyle {\begin{array}{lll}R(\!(X)\!)&=\quad {\bigl \{}A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}&{\big |}\;\operatorname {ord} _{X}(A)>-\!\infty {\bigr \}}\\&=\quad {\bigl \{}\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }\in R^{\mathbb {Z} }&{\big |}\;\exists \,u\in \mathbb {Z} :a_{n}\neq 0\implies n\geq u{\bigr \}}\end{array}}}$

mit nach unten beschränkter Ordnung und die formalen Potenzreihen

${\displaystyle {\begin{array}{lll}R[[X]]&=\quad {\bigl \{}A(X)\in R(\!(X)\!)&{\big |}\;\operatorname {ord} _{X}(A)\geq 0{\bigr \}}\\&=\quad {\bigl \{}(\dotsc ,a_{-1},a_{0},a_{1},\dotsc )\in R^{\mathbb {Z} }&{\big |}\;a_{n}\neq 0\implies n\geq 0{\bigr \}}\end{array}}}$

als solche mit nicht-negativer Ordnung charakterisieren.

Der einfacheren Schreibweise halber nehmen wir generell an, dass ein Koeffizient ${\displaystyle a_{n}}$ einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe ${\displaystyle A(X)}$, falls auf ihn mit einem Index ${\displaystyle n<\operatorname {ord} _{X}(A)}$ zugegriffen wird, den Wert 0 liefert.

Sei mit

${\displaystyle B(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }b_{n}X^{n}}$

eine zweite formale Potenz- oder Laurent-Reihe gegeben, dann geschieht ihre Addition

${\displaystyle A(X)+B(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(a_{n}+b_{n})X^{n}}$

komponentenweise. Dabei ergibt die Summe zweier formaler Potenzreihen wieder eine formale Potenzreihe.

Die Multiplikation

${\displaystyle A(X)\;B(X)=\sum _{n=\operatorname {ord} _{X}(A)+\operatorname {ord} _{X}(B)}^{\infty }{\Bigl (}\sum _{i=\operatorname {ord} _{X}(A)}^{n}a_{i}\,b_{n-i}{\Bigr )}X^{n}}$

ist eine Faltung. Wieder ergibt das Produkt zweier formaler Potenzreihen eine formale Potenzreihe.

Der Operator zur Extraktion des Koeffizienten zum Grad ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ aus der Potenz- oder Laurent-Reihe ${\displaystyle \textstyle A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}}$ in ${\displaystyle X}$ wird geschrieben als

${\displaystyle \left[X^{m}\right]A(X).}$

Er ist eine Projektion der rechts davon stehenden formalen Reihe auf die ${\displaystyle m}$-te Komponente in ${\displaystyle R^{\mathbb {Z} }}$. Damit ist

${\displaystyle \left[X^{m}\right]A(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}=a_{m}}$

und

${\displaystyle A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }X^{n}\left[Y^{n}\right]A(Y)}$ .

Bei formalen Potenzreihen ${\displaystyle A(X)}$ ist für ${\displaystyle m<0}$ definitionsgemäß ${\displaystyle \left[X^{m}\right]A(X)=0}$.

Die Ordnung ${\displaystyle \operatorname {ord} }$ hat eine gewisse Analogie zur Gradfunktion in Polynomringen. So heißt der Koeffizient

${\displaystyle l(A):={\begin{cases}\\\\\end{cases}}}$	${\displaystyle \textstyle a_{\operatorname {ord} (A)}=\left[X^{\operatorname {ord} (A)}\right]A(X)}$ ,	falls   ${\displaystyle A(X)\neq 0}$
	${\displaystyle 0}$ ,	falls   ${\displaystyle A(X)=0}$

auch Leitkoeffizient.

Es gilt für alle ${\displaystyle A,B\in R(\!(X)\!)}$

• ${\displaystyle \operatorname {ord} (A\cdot B)\geq \operatorname {ord} (A)+\operatorname {ord} (B)}$

(Enthält ${\displaystyle R}$ keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler –, dann gilt die Gleichheit.)

• ${\displaystyle \operatorname {ord} (A+B)\geq \min\{\operatorname {ord} (A),\operatorname {ord} (B)\}}$.

Die Funktion

${\displaystyle |A|:=2^{-\!\operatorname {ord} (A)}}$

erfüllt alle Forderungen eines nicht-archimedischen Pseudobetrags.

Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, dann ist ${\displaystyle \operatorname {ord} }$ eine (diskrete) Bewertung (ein logarithmisch geschriebener nicht-archimedischer Betrag, engl. valuation) mit dem Ring ${\displaystyle K[[X]]}$ als dem (oben erwähnten) zugehörigen Bewertungsring. Man erkennt die ${\displaystyle I}$-adische Topologie wieder, wo ${\displaystyle I:=(X)}$ das von ${\displaystyle X}$ erzeugte Ideal der Vielfachen von ${\displaystyle X}$ ist. Es ist das zugehörige maximale Ideal und ${\displaystyle K}$ der Restklassenkörper.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ist

${\displaystyle {\bigl (}A(X){\bigr )}^{n}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{n}=:\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m}}$

mit

${\displaystyle c_{0}=a_{0}^{n}}$

und rekursiv

${\displaystyle c_{m}\,m\,a_{0}=\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)\,a_{k}\,c_{m-k}}$     für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$,

also beispielsweise

${\displaystyle c_{1}={\binom {n}{1}}a_{0}^{n-1}a_{1}}$,

${\displaystyle c_{2}={\binom {n}{1}}a_{0}^{n-1}a_{2}+{\binom {n}{2}}a_{0}^{n-2}a_{1}^{2}}$,

${\displaystyle c_{3}={\binom {n}{1}}a_{0}^{n-1}a_{3}+{\binom {n}{n\!-\!2,1,1}}a_{0}^{n-2}a_{1}a_{2}+{\binom {n}{3}}a_{0}^{n-3}a_{1}^{3}}$, ... .

Die ${\displaystyle c_{m}}$ sind Polynome in den ${\displaystyle a_{k}}$ mit ganzzahligen (multinomialen) Koeffizienten, auch wenn die Rekursionsformel nur dann in einfacher Weise nach ${\displaystyle c_{m}}$ aufzulösen ist, wenn ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle a_{0}}$ im Ring ${\displaystyle R}$ invertierbar sind. (Für den Fall ${\displaystyle a_{0}=0}$ s. a. den § Komposition.)

Die formale Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle A(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$ hat genau dann ein multiplikatives Inverses ${\displaystyle \textstyle B(X):=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}\in R[[X]]}$, wenn das Absolutglied

${\displaystyle a_{0}=\left[X^{0}\right]A(X)}$

invertierbar ist im Ring ${\displaystyle R}$. Dann ist auch

${\displaystyle \operatorname {ord} _{X}(A)=0}$

und rekursiv

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&=a_{0}^{-1}\\b_{n}&=-a_{0}^{-1}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i}\qquad \qquad (n\geq 1).\end{aligned}}}$

Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, dann ist eine formale Potenzreihe genau dann invertierbar in ${\displaystyle K[[X]]}$, wenn das Absolutglied nicht 0 ist, das heißt, wenn sie nicht durch ${\displaystyle X}$ teilbar ist.

Ist bei der formalen Potenzreihe ${\displaystyle A(X)}$ das Absolutglied ${\displaystyle a_{0}=0}$ oder handelt es sich um eine formale Laurent-Reihe, dann lässt sich bei invertierbarem Leitkoeffizienten ${\displaystyle l(A)=a_{\operatorname {ord} _{X}(A)}}$ die Reihe ${\displaystyle A(X)}$ in ${\displaystyle R(\!(X)\!)}$ über den Zwischenschritt

${\displaystyle B(X):=X^{-\!\operatorname {ord} _{X}(A)}A(X)\in K[[X]]}$

multiplikativ invertieren mit dem Ergebnis:

${\displaystyle A(X)^{-1}=X^{-\!\operatorname {ord} _{X}(A)}B(X)^{-1}\in K(\!(X)\!)}$

Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper, dann ist ${\displaystyle K(\!(X)\!)}$ der Quotientenkörper von ${\displaystyle K[[X]]}$.

Ist der Divisor ${\displaystyle A(X)}$ invertierbar in ${\displaystyle R[[X]]}$, dann hat der Quotient

${\displaystyle C(X)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}:=Z(X)/A(X)={\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }z_{n}X^{n}{\Bigr )}\;/\;{\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}{\Bigr )}}$

zweier Potenzreihen ${\displaystyle Z(X)}$ und ${\displaystyle A(X)}$ nach dem Rechenschema

										Quotient
Dividend					Divisor
${\displaystyle (z_{0}}$	${\displaystyle +z_{1}X}$	${\displaystyle +z_{2}X^{2}}$	${\displaystyle +\dotsb )}$	${\displaystyle /}$	${\displaystyle (a_{0}}$	${\displaystyle +a_{1}X}$	${\displaystyle +a_{2}X^{2}}$	${\displaystyle +\dotsb )}$	${\displaystyle =}$
${\displaystyle {-a_{0}{\tfrac {z_{0}}{a_{0}}}}}$	${\displaystyle {-a_{1}c_{0}X}}$	${\displaystyle {-a_{2}c_{0}X^{2}}}$	${\displaystyle -\dotsb }$	${\displaystyle {\tfrac {z_{0}}{a_{0}}}\;\,=}$						${\displaystyle c_{0}}$
	${\displaystyle (z_{1}\!-\!a_{1}c_{0})X}$	${\displaystyle +(z_{2}\!-\!a_{2}c_{0})X^{2}}$	${\displaystyle +\dotsb }$
	${\displaystyle {-a_{0}{\tfrac {z_{1}-a_{1}c_{0}}{a_{0}}}X}}$	${\displaystyle {-a_{1}c_{1}X^{2}}}$	${\displaystyle -\dotsb }$	${\displaystyle +{\tfrac {z_{1}-a_{1}c_{0}}{a_{0}}}X=}$						${\displaystyle +c_{1}X}$
		${\displaystyle (z_{2}\!-\!a_{2}c_{0}\!-\!a_{1}c_{1})X^{2}}$	${\displaystyle +\dotsb }$
		${\displaystyle {\;\;-a_{0}{\tfrac {z_{2}-a_{2}c_{0}-a_{1}c_{1}}{a_{0}}}X^{2}}}$	${\displaystyle -\dotsb }$	${\displaystyle +{\tfrac {z_{2}-a_{2}c_{0}-a_{1}c_{1}}{a_{0}}}X^{2}=}$						${\displaystyle +c_{2}X^{2}}$
			${\displaystyle +\dotsb }$
			${\displaystyle -\dotsb }$							${\displaystyle +\dotsb }$

der in der Monomordnung gespiegelten Polynomdivision rekursiv die Koeffizienten

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}=&a_{0}^{-1}\left(z_{n}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{n-i}\right)\qquad \qquad (n\geq 0).\\\end{aligned}}}$

Der Zwischenschritt im § Multiplikatives Inverses deutet an, wie sich das gezeigte Rechenschema zu einem Divisionsalgorithmus in ${\displaystyle R(\!(X)\!)}$ ausbauen lässt.

Für Körper ${\displaystyle K}$ lässt sich der Körper ${\displaystyle K(X)}$ der rationalen Funktionen (Polynomquotienten) der Form

${\displaystyle {\frac {Z(X)}{A(X)}}={\frac {z_{0}+z_{1}X+\dotsb +z_{e}X^{e}}{a_{0}+a_{1}X+\dotsb +a_{d}X^{d}}}}$

in den Körper ${\displaystyle K(\!(X)\!)}$ in ähnlicher Weise wie ${\displaystyle K[X]}$ in ${\displaystyle K[[X]]}$ einbetten. Ein wichtiges Beispiel ist

${\displaystyle K(X)\ni \quad {\frac {1}{1-X}}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}\quad \in K(\!(X)\!)}$.

Allgemeiner:
Ist

${\displaystyle A(X)=\sum _{n=0}^{d}a_{n}X^{n}}$

ein von 0 verschiedenes Polynom, dann ist mit ${\displaystyle k:=\operatorname {ord} _{X}(A)\in \mathbb {N} _{0}}$ der (Leit-)Koeffizient ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ invertierbar in ${\displaystyle K}$ und mit

${\displaystyle C(X):=X^{-k}\,A(X)=:\sum _{n=0}^{d-k}a_{n+k}X^{n+k}\in K[[X]]}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{X}(C)=0}$. Damit ist ${\displaystyle C(X)}$ multiplikativ invertierbar in ${\displaystyle K[[X]]}$ mit dem multiplikativen Inversen ${\displaystyle D(X):=C(X)^{-1}\in K[[X]]}$. Das multiplikative Inverse von ${\displaystyle A(X)}$ ist dann

${\displaystyle {\begin{array}{rll}B(X)=&\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}X^{n}\\:=&X^{-k}\,D(X)&\qquad {\bigl (}\in K(\!(X)\!)\,{\bigr )}\\=&X^{-k}\,C(X)^{-1}\\=&X^{-k}\,{\bigl (}X^{-k}\,A(X){\bigr )}^{-1}\\=&A(X)^{-1}\end{array}}}$

mit den Koeffizienten

${\displaystyle {\begin{array}{lll}b_{-k}&=a_{k}^{-1}\\b_{n}&=-a_{k}^{-1}\sum _{i=k+1}^{\min(d,2k+n)}a_{i}b_{k+n-i}&\quad (n\geq -k+1).\end{array}}}$

Beispiel

Ist ${\displaystyle A(X)=1-X-X^{2}}$, dann ist ${\displaystyle b_{0}=b_{1}=1}$ und ${\displaystyle b_{n}=b_{n-1}+b_{n-2}}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$. Die ${\displaystyle b_{n}}$ sind also die (um 1 Position verschobene) Fibonacci-Folge und ${\displaystyle X/A(X)=X\,B(X)}$ ihre erzeugende Funktion.
Somit ist ein Polynomquotient ${\displaystyle B=1/A}$ an seiner Koeffizientenfolge ${\displaystyle \left(b_{n}\right)}$ nicht so leicht als rational zu erkennen wie eine rationale Zahl an ihrer periodischen g-adischen Entwicklung.

${\displaystyle K(\!(X)\!)}$ ist die Vervollständigung des Körpers ${\displaystyle K(X)}$ bezüglich der im § Konvergenz beschriebenen Metrik.

Eine formale Potenzreihe

${\displaystyle A(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

ist unter der Metrik

${\displaystyle \operatorname {d} (A,B):=|A-B|=2^{-\!\operatorname {ord} (A-B)}}$.

Grenzwert der Folge von Polynomen ${\displaystyle {\bigl (}A_{k}(X){\bigr )}_{k\in \mathbb {N} }}$ mit

${\displaystyle A_{k}(X):=\sum _{n=0}^{k}a_{n}X^{n}}$ .

Das einschlägige Konvergenzkriterium ist ein Cauchy-Kriterium für Folgen, und ${\displaystyle R[[X]]}$ ist die Vervollständigung des Polynomrings ${\displaystyle R[X]}$ bezüglich dieser Metrik.

Diese Metrik erzeugt die Krulltopologie in den Ringen ${\displaystyle R[[X]]}$ und ${\displaystyle R(\!(X)\!)}$.

Zwei Folgen von formalen Laurent-Reihen ${\displaystyle {\bigl (}A_{k}(X){\bigr )}_{k\in \mathbb {N} }\in R(\!(X)\!)}$ und ${\displaystyle {\bigl (}B_{l}(X){\bigr )}_{l\in \mathbb {N} }\in R(\!(X)\!)}$ haben genau dann denselben Grenzwert, wenn es zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} }$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle k,l>N}$

${\displaystyle |A_{k}(X)-B_{l}(X)|<\varepsilon }$

ist, was nichts Anderes bedeutet, als dass für ausreichend große Indizes die Differenzen von Gliedern der beiden Folgen durch beliebig hohe Potenzen von ${\displaystyle X}$ teilbar sind – kurz: dass die beiden Grenzwerte gleiche Koeffizienten haben.

Zur Konvergenz von Potenzreihen und Laurent-Reihen für „eingesetzte Werte“ von ${\displaystyle X}$ (aufgefasst als Variable) in reeller/komplexer Metrik siehe Laurent-Reihe#Konvergenz von Laurent-Reihen.

Eine formale Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle P(X):=\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}X^{i}=p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots }$ ohne Absolutglied lässt sich in eine formale Potenz- oder Laurent-Reihe ${\displaystyle \textstyle A(X):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{j}X^{j}}$ mit dem Ergebnis

${\displaystyle {\begin{array}{lll}C(X)&:=&(A\circ P)(X):=A(P(X)\!)\\&=&\sum _{j\in \mathbb {Z} }a_{j}{\bigl (}P(X){\bigr )}^{j}\\&=&\sum _{j\in \mathbb {Z} }a_{j}\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}X^{i}\right)^{j}\\&=:&\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}X^{n}\end{array}}}$

einsetzen (mit ihr verketten).
Für die Einsetzbarkeit der Potenzreihe ${\displaystyle P(X)}$ ist wichtig, dass sie keinen konstanten Term (kein Absolutglied) hat, dass also ${\displaystyle \operatorname {ord} _{X}(P)\geq 1}$ ist. Denn dann hängt ${\displaystyle c_{n}}$ nur von einer endlichen Anzahl von Koeffizienten ab.

Ist ${\displaystyle A(X)}$ eine Potenzreihe, also ${\displaystyle \operatorname {ord} _{X}(A)\geq 0}$, dann ist auch ${\displaystyle C(X)}$ eine Potenzreihe, und für die Koeffizienten ${\displaystyle c_{n}}$ gilt die Formel

${\displaystyle c_{n}=[X^{n}]\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}X^{i}\right)^{j}=\sum _{j\in \mathbb {N} _{0},\,\vert {\boldsymbol {i}}\vert =n}a_{j}p_{i_{1}}p_{i_{2}}\cdots p_{i_{n}}}$

mit ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}:=(i_{1},\ldots ,i_{n})}$ und ${\displaystyle \vert {\boldsymbol {i}}\vert$ :=i_{1}+\cdots +i_{n}} (s. Multiindex#Konventionen der Multiindex-Schreibweise).

Andernfalls, wenn es ${\displaystyle n<0}$ mit ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ gibt, dann können Potenzen ${\displaystyle P(X)^{n}}$ mit negativem Exponenten über das multiplikative Inverse ${\displaystyle P(X)^{-1}}$ gebildet werden.

Die ${\displaystyle c_{n}}$ sind Polynome in den ${\displaystyle p_{i},\dotsc ,a_{j},\dotsc }$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine explizitere Darstellung findet sich im

Die formale Ableitung der formalen Potenz- oder Laurent-Reihe ${\displaystyle \textstyle A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {D} _{X}A(X)=\operatorname {D} A(X)=\operatorname {D} A}$ oder (wie in der Analysis) mit ${\displaystyle A^{\prime }}$ bezeichnet:

${\displaystyle \operatorname {D} A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1}}$ .

Dabei ergibt die Ableitung einer formalen Potenzreihe wieder eine formale Potenzreihe. Sie ist eine ${\displaystyle R}$-Derivation, und sie gehorcht den bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung einschließlich der Kettenregel:

${\displaystyle \operatorname {D} (A\circ B)(X)=(\operatorname {D} A)\left(B(X)\right)\cdot \operatorname {D} B(X)}$ .

Bezogen auf die Ableitung verhalten sich formale Potenz- oder Laurent-Reihen wie (unendliche) Taylor-Reihen oder Laurent-Reihen. Tatsächlich ist für ${\displaystyle k\leq m}$

${\displaystyle \left[X^{m-k}\right](\operatorname {D} ^{k}A)(X)=\prod _{j=0}^{k-1}(m-j)\,\left[X^{m}\right]A(X)=k!\,{\binom {m}{k}}\,a_{m}}$

und

${\displaystyle \left[X^{0}\right](\operatorname {D} ^{m}A)(X)=m!\,a_{m}}$ .

Damit sind in einem Ring mit von 0 verschiedener Charakteristik immer nur endlich viele formale Ableitungen von der Nullreihe verschieden. Ferner gilt

${\displaystyle \operatorname {ord} (A^{\prime })\geq \operatorname {ord} (A)-1}$ .

Für Reihen mit   ${\displaystyle \operatorname {ord} (A)\;l(A)\;\neq 0}$   gilt das Gleichheitszeichen.

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik 0. Dann ist die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {D} \colon K(\!(X)\!)\to K(\!(X)\!)}$

eine ${\displaystyle K}$-Derivation, die

${\displaystyle \ker \operatorname {D} =K}$

${\displaystyle \operatorname {im} \operatorname {D} =\left\{A\in K(\!(X)\!):[X^{-1}]A=0\right\}}$

erfüllt. Das zeigt, dass der Koeffizient von ${\displaystyle X^{-1}}$ in ${\displaystyle A}$ von besonderem Interesse ist; er wird formales Residuum von ${\displaystyle A}$ genannt und mit ${\displaystyle \operatorname {Res} (A)}$ notiert. Die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Res} \colon K(\!(X)\!)\to K}$

ist ${\displaystyle K}$-linear, und man hat die exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to K\to K(\!(X)\!)\;{\xrightarrow[{\operatorname {D} }]{\;}}\,K(\!(X)\!)\;{\xrightarrow[{\operatorname {Res} }]{\;}}\,K\to 0}$.

Ein paar Regeln aus der Differentialrechnung

Für alle ${\displaystyle A=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n},B\in K(\!(X)\!)}$ gilt:

i.	${\displaystyle \operatorname {Res} (A^{\prime })=0}$.
ii.	${\displaystyle \operatorname {Res} (AB^{\prime })=-\operatorname {Res} (A^{\prime }B)}$.
iii.	${\displaystyle A\neq 0}$	${\displaystyle \implies \,\operatorname {Res} (A^{\prime }/A)=\operatorname {ord} (A)}$.
iv.	${\displaystyle \operatorname {ord} (B)>0}$	${\displaystyle \implies \,\operatorname {Res} \left(\!(A\circ B)B^{\prime }\right)=\operatorname {ord} (B)\operatorname {Res} (A)}$.
v.	${\displaystyle [X^{n}]A(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}A(X)\right).}$

Eigenschaft (i) ist Teil der exakten Sequenz.
Eigenschaft (ii) folgt aus (i), wenn auf ${\displaystyle (AB)^{\prime }=A^{\prime }B+AB^{\prime }}$ angewendet.
Eigenschaft (iii): Jedes ${\displaystyle A\in K(\!(X)\!)}$ kann als ${\displaystyle A=:X^{m}B}$ mit ${\displaystyle m:=\operatorname {ord} (A)}$ und ${\displaystyle C\in K[[X]]}$ geschrieben werden, woraus ${\displaystyle A^{\prime }/A=mX^{-1}+C^{\prime }/C.}$ Wegen ${\displaystyle \operatorname {ord} (C)=0}$ ist ${\displaystyle C}$ invertierbar in ${\displaystyle K[[X]]\subset \operatorname {im} (\operatorname {D} )=\ker(\operatorname {Res} ),}$ woraus ${\displaystyle \operatorname {Res} (A^{\prime }/A)=m}$ folgt.
Eigenschaft (iv): Da ${\displaystyle \operatorname {im} (\operatorname {D} )=\ker(\operatorname {Res} ),}$ kann man ${\displaystyle A=a_{-1}X^{-1}+F^{\prime },}$ mit ${\displaystyle F\in K[[X]]}$ schreiben. Folglich ist ${\displaystyle (A\circ B)B^{\prime }=a_{-1}B^{-1}B^{\prime }+(F^{\prime }\circ B)B^{\prime }=a_{-1}B^{\prime }/B+(F\circ B)^{\prime }}$ und (iv) folgt aus (i) und (iii).
Eigenschaft (v) folgt direkt aus der Definition.

Hat die formale Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle A(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$ den Koeffizienten ${\displaystyle \left[X^{0}\right]A(X)=0}$ und ist ${\displaystyle \left[X^{1}\right]A(X)=a_{1}}$ invertierbar in ${\displaystyle R}$, dann lässt sich das Inverse der Komposition, die (formale) Umkehrfunktion, ${\displaystyle \textstyle B(X):=A^{-1}(X)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}}$ von ${\displaystyle A}$ bilden. Ihre Koeffizienten ${\displaystyle b_{n}}$ sind ganzzahlige Polynome in ${\displaystyle a_{1}^{-1}}$ und den ${\displaystyle a_{n}(n\geq 2)}$.

Etwas schwächer, aber leichter hinzuschreiben, sind die Aussagen:

Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik 0, dann wird die Formel

${\displaystyle b_{n}=1/n\left[X^{n-1}\right]\left({\frac {X}{A(X)}}\right)^{n}}$

${\displaystyle (\mathbf {I} )}$

als eine weitere Version der Lagrangeschen Inversionsformel gehandelt.[2][3]

Etwas breiter einsetzbar ist die Formel:
Ist ${\displaystyle \textstyle C(X)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}\in K[[X]]}$ beliebig, dann ist

${\displaystyle (C\circ A^{-1})(X)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n}}\left[Y^{n-1}\right]C^{\prime }(Y)\left({\frac {Y}{A(Y)}}\right)^{n}}$

${\displaystyle (\mathbf {II} )}$

Es gibt verschiedene Formulierungen der Lagrangeschen Inversionsformel (dazu gehört die Formel von Lagrange-Bürmann) häufig mithilfe von höheren Ableitungen und Bell-Polynomen.

Beispiel

Die zu

${\displaystyle A(X):=X-{\frac {aX^{2}}{1!}}+{\frac {a^{2}X^{3}}{2!}}\mp \cdots =X\exp(-aX)={\frac {X}{\exp(aX)}}}$

inverse Reihe ist

${\displaystyle B(X):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(na\right)^{n-1}}{n!}}X^{n}}$ ,

denn es ist ${\displaystyle (\mathbf {I} )}$

${\displaystyle b_{n}=1/n\left[X^{n-1}\right]{\frac {X}{A(X)}}=1/n\left[X^{n-1}\right]\exp(aX)={\frac {\left(na\right)^{n-1}}{n!}}}$ ,

woraus die Behauptung.