Fluss (Mathematik)

Sei ${\displaystyle X}$ eine Menge, ${\displaystyle \Gamma }$ eine Parametermenge. Eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon X\times \Gamma \to X}$

heißt Fluss, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

${\displaystyle \varphi (x,0)=x\ \forall \ x\in X}$

und

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,s),t)=\varphi (x,s+t)\ \forall \ x\in X,\ s,t\in \Gamma }$

Wir haben also eine Halbgruppenwirkung.

Die Menge

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x,\varphi ):=\left\{\varphi (x,t)|t\in \Gamma \right\}}$

heißt Orbit von ${\displaystyle x}$.

Falls die Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon X\times \Gamma \to X}$ differenzierbar ist, spricht man auch von einem differenzierbaren Fluss.

Man kann auch Flüsse betrachten, die zu einem anderen Zeitpunkt ${\displaystyle s}$ starten, das heißt mit Initialbedingung

${\displaystyle \varphi (x,s)=x\ \forall \ x\in X.}$

Diese notiert man häufig mit ${\displaystyle \varphi _{s,t}(x)}$ oder ${\displaystyle \varphi _{s}(x,t)}$.

Für ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als Parametermenge ist allgemeiner ein lokaler Fluss ${\displaystyle \varphi \colon U\to X}$ für eine offene Teilmenge ${\displaystyle U=\bigcup \nolimits _{x\in X}\{x\}\times I_{x}\subseteq X\times \mathbb {R} }$ mit offenen Intervallen ${\displaystyle 0\in I_{x}\subseteq \mathbb {R} }$ definiert, falls die Bedingungen

${\displaystyle \varphi (x,0)=x\ \forall \ x\in X}$

und

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,s),t)=\varphi (x,s+t)\ \forall \ x\in X,\ s,s+t\in I_{x},\ t\in I_{\varphi (x,s)}}$

erfüllt ist.[1] Ein lokaler Fluss mit ${\displaystyle U=X\times \mathbb {R} }$ ist ein (globaler) Fluss mit ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {R} }$.

Im Hinblick auf die Analyse dynamischer Systeme beschreibt der Fluss die Bewegung im Phasenraum im Laufe der Zeit. Hierbei spricht man in Abhängigkeit von der Parametermenge ${\displaystyle \Gamma }$ von einem kontinuierlichen dynamischen System (${\displaystyle \Gamma =\mathbb {R} }$) oder einem diskreten dynamischen System (${\displaystyle \Gamma =\mathbb {N} }$).

Betrachten wir ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {F} (t,\mathbf {x} )}$

mit ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ oder einer offenen Teilmenge davon, so werden durch den Phasenfluss die Lösungen dieses Systems in Abhängigkeit vom Anfangszustand angegeben. Man wählt dann oft auch eine implizite Form der Flussangabe und schreibt

${\displaystyle \mathbf {x} (t){\text{ bzw. }}\mathbf {x} (0)}$.

Beispielsweise kann man jedem Vektorfeld einen Fluss zuordnen. Dieser ist durch die maximale Integralkurve des Vektorfeldes gegeben. Tatsächlich ist jeder Fluss auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Fluss eines Vektorfeldes, welches man durch ${\displaystyle F(x)={\frac {d}{dt}}\vert _{t=0}\Phi (t,x)}$ erhält.

Der Ricci-Fluss spielt eine zentrale Rolle in der inzwischen bewiesenen Thurston'schen Geometrisierungsvermutung, welche eine Verallgemeinerung der Poincaré'schen Vermutung ist.

Der stochastische Fluss ist eine probabilistische Verallgemeinerung des Flusses.

1. Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie. Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06461-3, S. 80 (§ 8. Dynamische Systeme).

• Manfred Denker: Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-20713-9
• Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.