Flexible Algebra

• Jede Lie-Algebra ist eine flexible Algebra, da deren Multiplikation die Lie-Klammer (siehe oben) ist.
• Die Multiplikation der Oktonionen und Sedenionen erfüllt das Flexibilitätsgesetz.
• Eine Alternativalgebra (also eine nicht-assoziative ${\displaystyle K}$-Algebra, deren Multiplikation alternativ ist), ist eine flexible Algebra. Hier folgt die Flexibilität der Multiplikation aus der Alternativität zusammen mit der ${\displaystyle K}$-Bilinearität der Multiplikation (auf die Darstellung des Verknüpfungssymbols für die Multiplikation wird im Folgenden verzichtet):
  • Für ${\displaystyle a+b}$ gilt wegen der Linksalternativität der Multiplikation:
    • ${\displaystyle ((a+b)(a+b))b=(a+b)((a+b)b)}$
  • mehrmalige Anwendung der ${\displaystyle K}$-Bilinearität der Multiplikation (in der Schule oft als Ausmultiplizieren bezeichnet) ergibt
    • ${\displaystyle \Leftrightarrow (aa)b+(ab)b+(ba)b+(bb)b=a(ab)+a(bb)+b(ab)+b(bb)}$
    • ${\displaystyle \Leftrightarrow (ba)b=(a(ab)-(aa)b)+(a(bb)-(ab)b)+b(ab)+(b(bb)-(bb)b)}$
  • die erste und dritte Differenz verschwindet wegen der Linksalternativität der Multiplikation, die zweite Differenz verschwindet wegen der Rechtsalternativität der Multiplikation. Damit folgt:
    • ${\displaystyle \Leftrightarrow (ba)b=b(ab)}$

Unter dem Flexibilitätsgesetz versteht man in der Mathematik die folgende Regel für eine Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle a\circ \left(b\circ a\right)=\left(a\circ b\right)\circ a}$.

Das Flexibilitätsgesetz wird automatisch von kommutativen oder assoziativen Verknüpfungen erfüllt:

• Aus ${\displaystyle a\circ \left(b\circ c\right)=\left(a\circ b\right)\circ c}$ (Assoziativität) folgt mit ${\displaystyle c=a}$ direkt ${\displaystyle a\circ \left(b\circ a\right)=\left(a\circ b\right)\circ a}$.
• Mit dem zweifach angewandten Kommutativgesetz gilt ${\displaystyle a\circ \left(b\circ a\right)\;{\stackrel {1.}{=}}\,\left(b\circ a\right)\circ a\;{\stackrel {2.}{=}}\,\left(a\circ b\right)\circ a}$.
  1. wegen ${\displaystyle a\circ x=x\circ a}$ mit ${\displaystyle x=b\circ a}$
  2. wegen ${\displaystyle b\circ a=a\circ b\Rightarrow \left(b\circ a\right)\circ a=\left(a\circ b\right)\circ a}$

Das Flexibilitätsgesetz wird dann bedeutsam, wenn eine Verknüpfung nicht mehr assoziativ und nicht mehr kommutativ ist und so noch ein „Um-Klammern“ in bescheidenem Rahmen erlaubt.

Alternative Verknüpfungen erfüllen das Flexibilitätsgesetz in der Regel nicht, siehe Gegenbeispiel unten.

Ein Magma, für deren Verknüpfung das Flexibilitätsgesetz gilt, nennt man auch ein flexibles Magma.

Beispiele

• Jede Halbgruppe ist ein flexibles Magma, da aus dem Assoziativgesetz das Flexibilitätsgesetz folgt (siehe oben).
• Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist flexibel, aber nicht alternativ:

${\displaystyle \circ }$	0	1
0	1	0
1	0	0

• nicht alternativ wegen ${\displaystyle 0\circ (0\circ 1)=1\neq 0=(0\circ 0)\circ 1}$
• flexibel wegen

• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=0=(0\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 0\circ (1\circ 0)=1=(0\circ 1)\circ 0}$
• ${\displaystyle 1\circ (0\circ 1)=0=(1\circ 0)\circ 1}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=0=(1\circ 1)\circ 1}$

• Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist alternativ, aber nicht flexibel:

${\displaystyle \circ }$	0	1	2
0	0	0	2
1	0	0	2
2	0	1	2

• nicht flexibel wegen ${\displaystyle 1\circ (2\circ 1)=0\neq 1=(1\circ 2)\circ 1}$
• linksalternativ wegen

• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=0=(0\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 1)=0=(0\circ 0)\circ 1}$
• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 2)=2=(0\circ 0)\circ 2}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 0)=0=(1\circ 1)\circ 0}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=0=(1\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 2)=2=(1\circ 1)\circ 2}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 0)=0=(2\circ 2)\circ 0}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 1)=1=(2\circ 2)\circ 1}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2}$

• rechtsalternativ wegen

• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=0=(0\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 0\circ (1\circ 1)=0=(0\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 0\circ (2\circ 2)=2=(0\circ 2)\circ 2}$
• ${\displaystyle 1\circ (0\circ 0)=0=(1\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=0=(1\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 1\circ (2\circ 2)=2=(1\circ 2)\circ 2}$
• ${\displaystyle 2\circ (0\circ 0)=0=(2\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 2\circ (1\circ 1)=0=(2\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2}$

• Es gibt kein alternatives Magma mit weniger als 3 Elementen, das nicht flexibel ist.

• Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist alternativ und flexibel, aber nicht assoziativ:

${\displaystyle \circ }$	0	1	2
0	0	0	2
1	0	1	1
2	0	1	2

• nicht assoziativ wegen ${\displaystyle 0\circ (1\circ 2)=0\neq 2=(0\circ 1)\circ 2}$
• flexibel wegen (ohne Verknüpfungssymbol)

• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=0=(0\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 0\circ (1\circ 0)=0=(0\circ 1)\circ 0}$
• ${\displaystyle 0\circ (2\circ 0)=0=(0\circ 2)\circ 0}$
• ${\displaystyle 1\circ (0\circ 1)=0=(1\circ 0)\circ 1}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=1=(1\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 1\circ (2\circ 1)=1=(1\circ 2)\circ 1}$
• ${\displaystyle 2\circ (0\circ 2)=2=(2\circ 0)\circ 2}$
• ${\displaystyle 2\circ (1\circ 2)=1=(2\circ 1)\circ 2}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2}$

• linksalternativ wegen (ohne Verknüfungssymbol)

• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=0=(0\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 1)=0=(0\circ 0)\circ 1}$
• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 2)=2=(0\circ 0)\circ 2}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 0)=0=(1\circ 1)\circ 0}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=1=(1\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 2)=1=(1\circ 1)\circ 2}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 0)=0=(2\circ 2)\circ 0}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 1)=1=(2\circ 2)\circ 1}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2}$

• rechtsalternativ wegen (ohne Verknüfungssymbol)

• ${\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=0=(0\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 0\circ (1\circ 1)=0=(0\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 0\circ (2\circ 2)=2=(0\circ 2)\circ 2}$
• ${\displaystyle 1\circ (0\circ 0)=0=(1\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=1=(1\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 1\circ (2\circ 2)=1=(1\circ 2)\circ 2}$
• ${\displaystyle 2\circ (0\circ 0)=0=(2\circ 0)\circ 0}$
• ${\displaystyle 2\circ (1\circ 1)=1=(2\circ 1)\circ 1}$
• ${\displaystyle 2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2}$

• Es gibt kein alternatives und flexibles Magma mit weniger als 3 Elementen, das nicht assoziativ ist.

• Alternativkörper
• Jordan-Algebra
• Moufang-Identitäten