Flachheitsproblem

In diesem Kapitel wird der o. g. maximale Wert des Dichteparameters zur Planck-Zeit hergeleitet.

Nach den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit durch die Anwesenheit von Materie und Energie beeinflusst: auf kleinen Skalen erscheint die Raumzeit flach, auf größeren Skalen ist die Raumzeit durch die Gravitation gekrümmt. Da die Relativitätstheorie die Äquivalenz von Masse und Energie annimmt, ist dies auch bei Anwesenheit von Energie (wie Licht oder andere elektromagnetische Strahlung) der Fall. Die Stärke der Krümmung hängt von der Dichte der Materie bzw. Energie ab.

Dieses Verhalten wird durch die erste Friedmann-Gleichung beschrieben, die in einem Universum ohne Kosmologische Konstante lautet:

${\displaystyle H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\Leftrightarrow k={\frac {a^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {8\pi G}{3}}\rho -H^{2}\right)}$

Dabei ist

• der Hubble-Parameter ${\displaystyle H}$ ein Maß für die Rate, mit der sich das Universum ausdehnt
• ${\displaystyle G}$ Gravitationskonstante
• ${\displaystyle \rho }$ die Gesamtdichte von Masse und Energie im Universum
• ${\displaystyle k}$ der Krümmungsparameter, der die Krümmung der Raumzeit bestimmt:
  • ${\displaystyle k>0}$ entspricht einem geschlossenen,
  • ${\displaystyle k=0}$ einem flachen,
  • ${\displaystyle k<0}$ einem offenen Universum.
• ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit
• ${\displaystyle a}$ der Skalenfaktor, der die „Größe“ des Universum bestimmt.

Die obige Gleichung lässt sich durch Definition einer kritischen Dichte ${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }}$ vereinfachen. Für einen gegebenen Wert von ${\displaystyle H}$ ist sie definiert als diejenige Dichte, welche für ein flaches Universum (${\displaystyle k=0}$) erforderlich ist:

${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$.

Die Gravitationskonstante ${\displaystyle G}$ ist bekannt, und die Expansionsrate ${\displaystyle H}$ lässt sich durch Messungen der Geschwindigkeit bestimmen, mit der sich weit entfernte Galaxien von uns wegbewegen. Dadurch lässt sich für die kritische Dichte ${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }}$ ein Wert von etwa 10⁻²⁶ kg m³ berechnen.

Das Verhältnis der tatsächlichen Dichte zu diesem kritischen Wert wird mit ${\displaystyle \Omega }$ bezeichnet:

${\displaystyle \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {c} }}}}$

Die Abweichung von ${\displaystyle \Omega }$ vom Wert ${\displaystyle 1}$ bestimmt daher die Geometrie des Universums:

• ${\displaystyle \Omega <1}$ ist ein offenes Universum mit geringer Dichte
• ${\displaystyle \Omega =1}$ ein flaches Universum mit genau kritischer Dichte
• ${\displaystyle \Omega >1}$ ein geschlossenes Universum mit hoher Dichte.

Die oben eingeführte Friedmann-Gleichung

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {3a^{2}}{8\pi G}}H^{2}=\rho a^{2}-{\frac {3kc^{2}}{8\pi G}}}$

lässt sich durch Einsetzen von ${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }}$ umformen zu

${\displaystyle \Leftrightarrow \rho _{\mathrm {c} }a^{2}-\rho a^{2}=-{\frac {3kc^{2}}{8\pi G}}}$

sowie durch Ausklammern von ${\displaystyle \rho a^{2}}$ und Einsetzen von ${\displaystyle \Omega }$ zu:[6]

${\displaystyle \Leftrightarrow \left({\frac {1}{\Omega }}-1\right)\rho a^{2}={\frac {-3kc^{2}}{8\pi G}}.}$

Die rechte Seite der letzten Gleichung enthält nur Konstanten, weshalb die rechte und linke Seite der Gleichung während der ganzen Entwicklung des Universums konstant sein müssen.

Mit der Expansion des Universums werden der Skalenfaktor ${\displaystyle a}$ größer und die Dichte ${\displaystyle \rho }$ geringer, da sich die Materie (oder Energie) auf das größere Universum verteilt. Für das Lambda-CDM-Modell, bei dem das Universum die meiste Zeit überwiegend Materie und Strahlung enthält, nimmt der Wert von ${\displaystyle \rho }$ jedoch stärker ab als ${\displaystyle a^{2}}$ zunimmt. Deshalb wird das Produkt ${\displaystyle \rho a^{2}}$ mit der Zeit geringer, und zwar seit der Planck-Ära um einen Faktor von rund ${\displaystyle 10^{60}}$. Deshalb muss ${\displaystyle {\frac {1}{\Omega }}-1\approx {\frac {|1-\Omega |}{\Omega }}}$ um den gleichen Faktor zugenommen haben, damit das gesamte Produkt auf der linken Seite der Gleichung konstant bleibt.

1. Robert H. Dicke: Gravitation and the Universe: Jayne Lectures for 1969. American Philosophical Society, 1970, ISBN 978-0-87169-078-4, S. 62.
2. Alan P. Lightman: Ancient Light: Our Changing View of the Universe. Harvard University Press, 1993, ISBN 978-0-674-03363-4, S. 61 (google.com).
3. Flachheitsproblem. In: Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag, abgerufen am 26. November 2017.
4. J. A. Peacock: Cosmological Physics. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-42270-3.
5. Barbara Ryden: Introduction to Cosmology. Addison-Wesley, San Francisco 2002, ISBN 0-8053-8912-1.
6. Peter Coles, Francesco Lucchin: Cosmology. Wiley, Chichester 1997, ISBN 0-471-95473-X.