Flach (Geometrie)

Es sei ${\displaystyle X}$ eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine ${\displaystyle r}$-dimensionale total-geodätische Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle F\subset X}$ ist ein r-Flach, wenn sie isometrisch zum euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}}$ ist. Daraus folgt insbesondere, dass die Schnittkrümmung dieser Untermannigfaltigkeit konstant Null ist.

Man kann Flachs auch charakterisieren als einfach zusammenhängende, total-geodätische Untermannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung konstant Null ist.

Die Flachs maximaler Dimension in einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ werden als maximale Flachs in ${\displaystyle X}$ bezeichnet.

Im euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sind die affinen Unterräume die einzigen Flachs. Es gibt zwar weitere Untermannigfaltigkeiten verschwindender Schnittkrümmung (z. B. Kreiszylinder im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$), aber diese sind nicht einfach zusammenhängend und deshalb nicht isometrisch zu einem euklidischen Raum.

In Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung sind die Geodäten (1-dimensionale Flachs) bereits die maximalen Flachs, da 2-dimensionale Flachs verschwindende Krümmung hätten.

Es sei ${\displaystyle X=G/K}$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ vom Rang ${\displaystyle r}$, und ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ seine Cartan-Zerlegung. Für ${\displaystyle x\in X}$ sei ${\displaystyle exp_{x}\colon {\mathfrak {p}}\to X}$ die Exponentialabbildung in ${\displaystyle x}$.

Dann sind alle ${\displaystyle x}$ enthaltenden ${\displaystyle r}$-Flachs ${\displaystyle F\subset X}$ von der Form

${\displaystyle F=exp_{x}({\mathfrak {a}})}$

für eine maximal abelsche Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$.

(Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen.)

Weiterhin gibt es zu je zwei Flachs ${\displaystyle F_{1},F_{2}\subset X}$ und je zwei Punkten ${\displaystyle x_{1}\in F_{1},x_{2}\in F_{2}}$ eine Isometrie ${\displaystyle g\in G}$ mit

${\displaystyle g(F_{1})=F_{2},g(x_{1})=x_{2}}$.

Der Rang eines symmetrischen Raumes ist (per Definition) die Dimension eines maximalen Flachs.

• Flache Mannigfaltigkeit

• Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
• Patrick Eberlein: Geometry of nonpositively curved manifolds. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1996. ISBN 0-226-18197-9; 0-226-18198-7