Flächenmoment

In den folgenden Kurzbeschreibungen liegt der Balken parallel zur x-Achse des Koordinatensystems und hat die Querschnittsfläche in der y-z-Ebene. Der Balken liegt symmetrisch im Koordinatensystem (genauer: die Hauptträgheitsachsen liegen parallel zu y- und z-Achse).

Das Flächenmoment n-ten Grades hat die folgende allgemeine Form:[1]

${\displaystyle A_{i,j}=\int _{A}y^{i}\;z^{j}\;\mathrm {d} A}$         mit       ${\displaystyle n=i+j}$

Das Flächenmoment 0. Grades entspricht der Querschnittsfläche und hat die Einheit m²:

${\displaystyle A=\int _{A}\mathrm {d} A}$

Die Flächenmomente 1. Grades werden auch als statisches Moment bezeichnet und haben die Einheit m³.

Bezogen auf die y-Achse:

${\displaystyle S_{y}=\int _{A}z\;\mathrm {d} A}$

Bezogen auf die z-Achse:

${\displaystyle S_{z}=\int _{A}y\;\mathrm {d} A}$

Aus diesen Momenten können (bei bekanntem Flächeninhalt ${\displaystyle A}$) die beiden Koordinaten des Schwerpunktes errechnet werden:

${\displaystyle z_{s}={\frac {S_{y}}{A}};\quad y_{s}={\frac {S_{z}}{A}}}$

Die Flächenmomente 2. Grades sind auch unter dem Begriff Flächenträgheitsmoment bekannt und haben die Einheit [m⁴].

Sie geben den Einfluss der Form der Querschnittsfläche eines Balkens auf seine Steifheit an. Aus dem Flächenträgheitsmoment wird auch das Widerstandsmoment abgeleitet, welches den Einfluss der Form der Querschnittsfläche auf die Festigkeit beschreibt.

Flächenmoment 2. Grades bezogen auf die y-Achse:

${\displaystyle I_{y}=\int _{A}z^{2}\;\mathrm {d} A}$

Flächenmoment 2. Grades bezogen auf die z-Achse:

${\displaystyle I_{z}=\int _{A}y^{2}\;\mathrm {d} A}$

biaxiales Flächenträgheitsmoment:

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=-\int _{A}yz\ \mathrm {d} A}$

polares Flächenträgheitsmoment:

${\displaystyle I_{P}=I_{y}+I_{z}=\int _{A}r^{2}\ \mathrm {d} A}$

1. Jens Göttsche, Maritta Petersen: Festigkeitslehre - klipp und klar. Hanser Verlag, 2006, ISBN 978-3-446-40415-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).