Quadrik

In kompakter Matrixnotation kann eine Quadrik als eine Menge von Vektoren

${\displaystyle Q=\left\{\mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{n}\mid \mathrm {x^{T}} \mathrm {A} \mathrm {x} +2\mathrm {b^{T}} \mathrm {x} +c=0\right\}}$

beschrieben werden, wobei ${\displaystyle \mathrm {A} =(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ eine symmetrische Matrix und ${\displaystyle \mathrm {b} =(b_{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ sowie ${\displaystyle \mathrm {x} =(x_{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ Spaltenvektoren entsprechender Länge sind. Mit Hilfe der erweiterten Darstellungsmatrix

${\displaystyle \mathrm {\bar {A}} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}}$

und dementsprechend erweiterten Vektor ${\displaystyle \mathrm {\bar {x}} ={\tbinom {\mathrm {x} }{1}}}$ kann eine Quadrik auch kompakt durch die Menge

${\displaystyle Q=\left\{\mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{n}\mid \mathrm {{\bar {x}}^{T}} \mathrm {\bar {A}} \,\mathrm {\bar {x}} =0\right\}}$

in homogenen Koordinaten dargestellt werden.

Bei Quadriken werden drei grundlegende Typen unterschieden. Die Entscheidung, um welchen Typ es sich bei einer gegebenen Quadrik handelt, kann anhand der Ränge der Matrizen ${\displaystyle \mathrm {A} }$, ${\displaystyle (\mathrm {A|b} )}$ und ${\displaystyle \mathrm {\bar {A}} }$ getroffen werden:[1]

• Kegeliger Typ: ${\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {\bar {A}} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}$
• Mittelpunktsquadrik: ${\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {\bar {A}} )>\operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}$
• Parabolischer Typ: ${\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )>\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}$

Eine Quadrik heißt dabei ausgeartet, falls

${\displaystyle \det \mathrm {\bar {A}} =0}$

gilt. Während nichtausgeartete Quadriken in allen Richtungen gekrümmte Hyperflächen bilden, weisen ausgeartete Quadriken in manchen Richtungen geradlinige Strukturen auf oder sind anderweitig degeneriert.

Quadriken lassen sich durch Ähnlichkeitsabbildungen transformieren, ohne dass sich ihr Typ dadurch verändert. Ist ${\displaystyle \mathrm {S} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ eine reguläre Matrix, dann erhält man durch die lineare Transformation ${\displaystyle \mathrm {y} =\mathrm {S^{-1}} \mathrm {x} }$ eine neue Quadrik in den Koordinaten ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$, die der Gleichung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}} &0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S} &0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}AS} &\mathrm {S^{T}b} \\\mathrm {b^{T}S} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}=0}$

genügt. Ebenso erhält man durch eine Parallelverschiebung ${\displaystyle \mathrm {y=x-u} }$ um einen Vektor ${\displaystyle \mathrm {u} \in \mathbb {R} ^{n}}$ eine neue Quadrik, die die Gleichung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {I} &0\\\mathrm {u^{T}} &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {I} &\mathrm {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {Au+b} \\\mathrm {u^{T}A+b^{T}} &\mathrm {u^{T}Au+2b^{T}u} +c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}=0}$

mit der Einheitsmatrix ${\displaystyle \mathrm {I} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ erfüllt. Insbesondere ändert sich der Rang der Matrizen ${\displaystyle \mathrm {A,(A\mid b)} }$ und ${\displaystyle \mathrm {\bar {A}} }$ durch solche Affinitäten nicht.

Ist ${\displaystyle \det(\mathrm {A} )\neq 0}$, so lassen sich beide Methoden mittels ${\displaystyle \mathrm {y=S^{-1}x} }$ und ${\displaystyle \mathrm {z=y+S^{-1}A^{-1}b} }$ zu ${\displaystyle \mathrm {z=S^{-1}(x+A^{-1}b)} }$ kombinieren:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {z^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}} &0\\\mathrm {-b^{T}A^{-1}} &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S} &\mathrm {-A^{-1}b} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {z} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {z^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}AS} &0\\0&\mathrm {-b^{T}A^{-1}b} +c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {z} \\1\end{pmatrix}}=0.}$

Da die Matrix ${\displaystyle \mathrm {A} }$ symmetrisch ist, ist sie orthogonal diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine orthogonale Matrix ${\displaystyle \mathrm {S} }$, so dass ${\displaystyle \mathrm {S^{-1}AS=S^{T}AS=:D} }$ eine Diagonalmatrix ist. Damit kann die Quadrik durch die Bedingung

${\displaystyle \mathrm {z^{T}Dz-b^{T}A^{-1}b} +c=0}$

ausgedrückt werden. Es kommen also keine gemischt-quadratischen und keine linearen Terme mehr vor. Der Mittelpunkt der Quadrik liegt somit bei ${\displaystyle \mathrm {z=0} \Leftrightarrow \mathrm {x=-A^{-1}b} }$.

Durch eine Hauptachsentransformation lässt sich jede Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren. Hierzu wird zunächst eine orthogonale Matrix ${\displaystyle \mathrm {S} }$, beispielsweise eine Dreh- oder Spiegelungsmatrix, derart gewählt, dass ${\displaystyle \mathrm {S^{T}AS} }$ eine Diagonalmatrix ergibt, die die Eigenwerte von ${\displaystyle \mathrm {A} }$ in absteigender Reihenfolge enthält. Im zweiten Schritt wird die transformierte Quadrik derart um einen Vektor ${\displaystyle \mathrm {u} }$ verschoben, dass auch die linearen Terme und der konstante Term weitestgehend verschwinden. Schließlich wird die Quadrik noch so normiert, dass der konstante Term, sofern er nicht null ist, zu eins wird. Dadurch ergeben sich die folgenden drei Normalformen:[1]

• Kegeliger Typ: ${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=0}$   mit   ${\displaystyle 1\leq p\leq r\leq n,\ p\geq r-p}$
• Mittelpunktsquadrik: ${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=1}$   mit   ${\displaystyle 1\leq p\leq r\leq n}$
• Parabolischer Typ: ${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}-2x_{r+1}=0}$   mit   ${\displaystyle 1\leq p\leq r<n,\ p\geq r-p}$

Hinzu kommt als Spezialfall die

• Leere Menge: ${\displaystyle -{\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=1}$   mit   ${\displaystyle 1\leq r\leq n}$

In allen Fällen sind die Koeffizienten ${\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{r}>0}$. Die Kennzahlen ${\displaystyle p=|\{\lambda \in \sigma (\mathrm {A} )\colon \lambda >0\}|}$ und ${\displaystyle r=|\{\lambda \in \sigma (\mathrm {A} )\colon \lambda \neq 0\}|=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}$ ergeben sich dabei aus der Signatur der Matrix ${\displaystyle \mathrm {A} }$.

In einer Dimension ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit einer Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

${\displaystyle Q=\left\{x\in \mathbb {R} \mid ax^{2}+bx+c=0\right\}}$.

Durch Verschiebung (quadratische Ergänzung) und Normierung lassen sich die folgenden zwei Fälle unterscheiden:

Nicht ausgeartete Quadriken		Ausgeartete Quadriken
Zwei Lösungen ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=1}$		Eine Lösung ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}$

In dem verbleibenden Fall ${\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}$ ergibt sich als Lösungsmenge die leere Menge. In allen Fällen ist ${\displaystyle \alpha >0}$.

In der Ebene ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

${\displaystyle Q=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\right\}}$.

Hierbei handelt es sich bis auf degenerierte Fälle um Kegelschnitte, wobei ausgeartete Kegelschnitte, bei denen die Kegelspitze in der Schnittebene enthalten ist, von nicht ausgearteten Kegelschnitten unterschieden werden. Durch Hauptachsentransformation lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:

Nicht ausgeartete Quadriken		Ausgeartete Quadriken
Ellipse ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}$		Zwei schneidende Geraden ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=0}$
Hyperbel ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}$		Zwei parallele Geraden ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=1}$
Parabel ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0}$		Eine Gerade ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}$
		Ein Punkt ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}$

In den beiden verbleibenden Fällen ${\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}$ und ${\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}$ ergibt sich als Lösungsmenge jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$.

Im dreidimensionalen Raum ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit drei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

${\displaystyle Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax^{2}+bxy+cxz+dy^{2}+eyz+fz^{2}+gx+hy+iz+j=0\right\}}$.

Im Raum ist die Vielfalt der Quadriken deutlich größer als in der Ebene. Hier gibt es ebenfalls ausgeartete und nicht ausgeartete Quadriken. Unter den ausgearteten Quadriken finden sich dabei auch einfach gekrümmte Flächen, wie Zylinder und Kegel. Ähnlich wie in zwei Dimensionen lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:[2]

Nicht ausgeartete Quadriken		Ausgeartete Quadriken (gekrümmte Flächen)		Ausgeartete Quadriken (Ebenen u. a.)
Ellipsoid ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}+{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1}$		Elliptischer Kegel ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=0}$		Zwei schneidende Ebenen ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}$
Einschaliges Hyperboloid ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1}$		Elliptischer Zylinder ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}$		Zwei parallele Ebenen ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}$
Zweischaliges Hyperboloid ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=-1}$		Hyperbolischer Zylinder ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}$		Eine Ebene ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}$
Elliptisches Paraboloid ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0}$		Parabolischer Zylinder ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0}$		Eine Gerade ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}$
Hyperbolisches Paraboloid ${\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0}$				Ein Punkt ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=0}$

In den drei verbleibenden Fällen ${\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=1}$, ${\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}$ und ${\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}$ ergibt sich als Lösungsmenge wiederum jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma >0}$.

Für ${\displaystyle \alpha =\beta }$ (bzw. ${\displaystyle \beta =\gamma }$ im Fall des zweischaligen Hyperboloids) erhält man in folgenden Fällen Rotationsflächen, die auch als Drehquadriken bezeichnet werden: Rotationsellipsoid, ein- und zweischaliges Rotationshyperboloid, Rotationsparaboloid, Kreiskegel und Kreiszylinder. Regelflächen, also Flächen, die von einer einparametrigen Geradenschar erzeugt werden, sind Kegel, elliptischer und parabolischer Zylinder, Ebene, einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid. Die letzteren drei Flächen werden sogar von zwei Geradenscharen erzeugt und sind die einzig möglichen doppelt gekrümmten Regelflächen im Raum.