Filtrierung (Mathematik)

Eine absteigende Filtrierung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ besteht aus Untergruppen ${\textstyle F^{i}G}$ für alle ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$, sodass ${\textstyle F^{i+1}G\subset F^{i}G}$ für alle ${\displaystyle i}$.

Die Filtrierung heißt erschöpfend, falls ${\textstyle G=\cup _{i\in \mathbb {Z} }F^{i}G}$, sie heißt Hausdorff oder separiert, wenn ${\textstyle \cap _{i\in \mathbb {Z} }F^{i}G=0}$. Sie ist nach oben beschränkt, wenn es ein ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ gibt mit ${\textstyle F^{i}G=G}$ bzw. nach unten beschränkt, falls ${\textstyle F^{i}G=0}$ für ein ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$.[2]

Eine aufsteigende Filtrierung einer Algebra ${\displaystyle A}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist eine Sequenz[4] ${\displaystyle \{0\}\subset F_{0}\subset F_{1}\subset \cdots \subset F_{i}\subset \cdots \subset A}$ von Untermoduln von ${\displaystyle A}$, sodass

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$,

und die zudem mit der Multiplikation kompatibel ist:

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N}$ :\qquad F_{m}\cdot F_{n}\subset F_{n+m}} .

1. Für einen Körper ${\displaystyle K}$ ist der Polynomring ${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$ in ${\displaystyle n}$ Variablen natürlich filtriert mit ${\displaystyle F_{i}=K\{X_{1}^{k_{1}}\cdots X_{n}^{k_{n}}|k_{1}+\cdots +k_{n}=i\}}$.
2. Jede graduierte Algebra ist filtriert. Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper, ${\displaystyle {\mathcal {A}}=K\{x,y\}/\sim }$, wobei "${\displaystyle \sim }$" definiert ist durch die Kommutatorrelation ${\displaystyle [x,y]=1}$, d. h. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist nicht kommutativ. Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ein Beispiel für eine Algebra, die filtriert ist, aber nicht graduiert.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ eine Indexmenge.

Dann heißt die Familie von σ-Algebren auf ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$

eine Filtrierung (in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ oder auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$), falls:

für alle ${\displaystyle s,t\in T}$ mit ${\displaystyle s\leq t}$ gilt ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {A}}}$.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ eine Filtrierung, so wird ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$ auch ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum genannt.