Filtrierter Kolimes

Die Indexmenge ${\displaystyle (I,\leq )}$ sei eine feste gerichtete Menge.

Ein induktives System ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ besteht aus Objekten (beispielsweise Mengen, Gruppen oder topologischen Räumen) ${\displaystyle X_{i}}$ für die Indizes ${\displaystyle i\in I}$ sowie Übergangsabbildungen

${\displaystyle f_{ij}\colon X_{i}\to X_{j}}$ für ${\displaystyle i\leq j}$,

die mit der jeweiligen Struktur verträglich sind (d. h. Mengenabbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen topologischer Räume) und folgende Bedingungen erfüllen

1. ${\displaystyle f_{ii}=\operatorname {id} _{X_{i}}}$ für alle ${\displaystyle i}$ die identische Abbildung auf ${\displaystyle X_{i}}$ und
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ für alle ${\displaystyle i\leq j\leq k}$.

Der induktive Limes eines induktiven Systems ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ ist ein Objekt ${\displaystyle \mathrm {colim} _{n}X_{n}}$ zusammen mit Abbildungen

${\displaystyle u_{i}\colon X_{i}\to \mathrm {colim} _{n}\,X_{n}}$,

die mit den ${\displaystyle f_{ij}}$ kompatibel sind, d. h.

${\displaystyle u_{i}=u_{j}\circ f_{ij}}$ für ${\displaystyle i\leq j}$

mit der folgenden universellen Eigenschaft:

Kompatible Systeme von Abbildungen der ${\displaystyle X_{i}}$ in ein beliebiges Testobjekt ${\displaystyle T}$ entsprechen Abbildungen von ${\displaystyle \mathrm {colim} _{n}X_{n}}$ nach ${\displaystyle T}$.

Das bedeutet: Wann immer Abbildungen ${\displaystyle t_{i}\colon X_{i}\to T}$ gegeben sind, für die

${\displaystyle t_{i}=t_{j}\circ f_{ij}}$ für ${\displaystyle i\leq j}$

gilt, gibt es eine eindeutige Abbildung

${\displaystyle c\colon \mathrm {colim} _{n}\,X_{n}\to T}$,

von der die Abbildungen ${\displaystyle t_{i}}$ „herkommen“, d. h.

${\displaystyle t_{i}=c\circ u_{i}}$.

Der induktive Limes eines induktiven Systems (X_i, f_i,j) von Mengen kann explizit konstruiert werden als eine Menge von Äquivalenzklassen

${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}/\sim }$

in der disjunkten Vereinigung ${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$. Hierbei sollen Elemente ${\displaystyle x\in X_{i}}$ und ${\displaystyle y\in X_{j}}$ äquivalent sein, wenn ein ${\displaystyle k\in I}$ existiert, für das ${\displaystyle f_{ik}(x)=f_{jk}(y)\in X_{k}}$ gilt.