Fermi-Dirac-Integral
In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac) mit Index definiert als
wobei die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben
dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.
Anwendung für F1/2
Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen sowie , sodass :
Näherung für F1/2
Das Integral lässt sich für verschiedene Wertebereiche von näherungsweise lösen:
Der relative Fehler dieser Näherungslösung beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei und bei ). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich durch zwei Funktionen annähern:
- für
- für
Darstellung mit Polylogarithmen
Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als
- .
Wegen
folgt daraus
- .
Literatur
- J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067–1076, 1982.