Faserprodukt

Sind Morphismen ${\displaystyle \xi :X\rightarrow S}$ und ${\displaystyle v:Y\rightarrow S}$ in einer Kategorie gegeben, so heißt ein Objekt ${\displaystyle X\times _{S}Y}$ zusammen mit Morphismen

${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\colon X\times _{S}Y\to X}$ und ${\displaystyle \mathrm {pr} _{2}\colon X\times _{S}Y\to Y,}$

den sogenannten kanonischen Projektionen, ein Faserprodukt von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ über ${\displaystyle S}$, wenn ${\displaystyle \xi \circ \mathrm {pr} _{1}=v\circ \mathrm {pr} _{2}}$ und die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Zu jedem Paar von Morphismen ${\displaystyle (f:T\rightarrow X,\,g:T\rightarrow Y)}$ von einem Testobjekt ${\displaystyle T}$ nach ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle Y}$, für das

${\displaystyle \xi f=\upsilon g}$ (als Morphismen ${\displaystyle T\rightarrow S}$)

gilt, gibt es genau einen Morphismus

${\displaystyle c\colon T\to X\times _{S}Y,}$

so dass

${\displaystyle f=\mathrm {pr} _{1}\circ c}$ und ${\displaystyle g=\mathrm {pr} _{2}\circ c}$

gilt.

Anders formuliert: die Funktoren

${\displaystyle \mathrm {Hom} (T,X\times _{S}Y)}$ und ${\displaystyle \mathrm {Hom} (T,X)\times _{\mathrm {Hom} (T,S)}\mathrm {Hom} (T,Y)}$

sind via ${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}}$ und ${\displaystyle \mathrm {pr} _{2}}$ natürlich äquivalent.

Bei einer allgemeineren Herangehensweise werden derartige Paare von Morphismen ${\displaystyle f\operatorname {\colon } T\rightarrow X}$ und ${\displaystyle g\operatorname {\colon } T\rightarrow Y}$ von einem Objekt ${\displaystyle T}$ nach ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle Y}$ als Faserprodukt, Pullback, kartesisches oder Pullback-Quadrat bezeichnet, für die gilt:

1. ${\displaystyle \xi f=\upsilon g}$ (als Morphismen ${\displaystyle T\to S}$)
2. jedes weitere Paar von Morphismen ${\displaystyle f'\operatorname {\colon } T'\rightarrow X}$ und ${\displaystyle g'\operatorname {\colon } T'\rightarrow Y}$ von einem Objekt ${\displaystyle T'}$ nach ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle Y}$, für die ${\displaystyle \xi f'=\upsilon g'}$ gilt, ist über einen eindeutig bestimmten Morphismus ${\displaystyle e\operatorname {\colon } T'\rightarrow T}$ mit dem ersten Paar von Morphismen vertauschbar, d. h. ${\displaystyle g'=ge}$ und ${\displaystyle f'=fe.}$

Die Morphismen von Pullbacks bilden ein kommutatives Diagramm:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}T&{\xrightarrow[{}]{f}}&X\\g\!\downarrow &&\downarrow \!\xi \\Y&{\xrightarrow[{\upsilon }]{}}&S\\\end{array}}}$

Dieses Diagramm stellt einen Kegel über dem Diagramm ${\displaystyle X{\xrightarrow {\xi }}S{\xleftarrow {\upsilon }}Y}$ dar, bei dem der „mittlere“ Pfeil (der zwischen ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle S}$) weggelassen wurde. Die zweite Bedingung drückt aus, dass das Pullback ein Limes aller solchen Kegel ist. Man sagt, ${\displaystyle f}$ entstehe durch Zurückziehen (engl. pull back) von ${\displaystyle \upsilon }$ entlang ${\displaystyle \xi }$ und ${\displaystyle g}$ entstehe durch Zurückziehen von ${\displaystyle \xi }$ entlang ${\displaystyle \upsilon }$ [1][2][3]

Gelegentlich werden auch derartige Paare von Morphismen (${\displaystyle f\colon T\to X,g\colon T\to Y}$) von einem Objekt ${\displaystyle T}$ nach ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle Y}$, für die lediglich

${\displaystyle \xi f=\upsilon g}$ (als Morphismen ${\displaystyle T\to S}$)

gilt, als Pullback-Kegel bezeichnet; Morphismen von Pullback-Kegeln sind über entsprechende kommutative Diagramme definiert. Das Faserprodukt ist dann ein Endobjekt der Kategorie der möglichen Pullback-Kegel über dem Diagramm ${\displaystyle X{\xrightarrow {\xi }}S{\xleftarrow {\upsilon }}Y.}$[4][5]

Die Komponenten ${\displaystyle T,f}$ und ${\displaystyle g}$ des Faserproduktes aus der Definition über Morphismen müssen nicht eindeutig bestimmt sein, sind aber eindeutig bis auf Isomorphie. D. h., ist ${\displaystyle T'}$ zusammen mit Abbildungen ${\displaystyle f'}$ und ${\displaystyle g'}$ ein weiteres derartiges Faserprodukt, so sind ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle T'}$ isomorph und ${\displaystyle f'}$ und ${\displaystyle g'}$ eindeutig durch ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ bestimmt. Für ein und dasselbe Objekt ${\displaystyle T}$ kann es ebenfalls verschiedene Möglichkeiten für die Morphismen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ geben. Die verschiedenen Varianten sind dann aber wiederum durch einen Isomorphismus (von ${\displaystyle T}$ auf sich selbst) eindeutig durch einander bestimmt.

Auch ${\displaystyle X\times _{S}Y}$ aus der Definition über Objekte ist im Allgemeinen nur ein Symbol für mehrere mögliche, jeweils zueinander isomorphe Objekte. Es wird jedoch gewöhnlich eine Standarddarstellung für ${\displaystyle X\times _{S}Y}$ angegeben; z. B. in der Kategorie der Mengen die Menge:

${\displaystyle D=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\ \mathrm {und} \ \xi (x)=\upsilon (y)\}\cong X\times _{S}Y}$[1]

Die Bezeichnungen werden nicht ganz einheitlich verwendet. Gemeinhin wird in mathematischen Texten mit Faserprodukt eher das sich ergebende Objekt der Produktbildung bezeichnet, während mit Pullback das sich ergebende Paar von Abbildungen bezeichnet wird. Hinzu kommt noch die verallgemeinerte Bezeichnung des Faserproduktes als Produkt über …. Mit kartesisches oder Pullback-Quadrat wird dann auch eher die Gesamtkonstruktion oder das Pullback-Diagramm bezeichnet. Letztlich werden die Bezeichnungen jedoch synonym gedeutet und werden nur unterschiedlich eingesetzt, um jeweils einen bestimmten Aspekt des Faserproduktes ins Zentrum der Betrachtung zu rücken.[6][7][8]