Fahnenkomplex

In der Mathematik sind Fahnenkomplexe bestimmte Simplizialkomplexe, die in Graphentheorie, Geometrischer Topologie und Geometrischer Gruppentheorie eine Rolle spielen.

Ein Fahnenkomplex.

Definition

Ein Fahnenkomplex ist ein abstrakter Simplizialkomplex, der die folgende Bedingung ("Gromov's no $\Delta$ -condition") erfüllt: wenn $S$ eine Menge von Ecken ist, so dass je zwei Ecken aus $S$ zu einem gemeinsamen Simplex gehören, dann bilden die Ecken von $S$ einen Simplex.

Beispiele

Ein Graph $\Gamma$ ist ein Fahnenkomplex genau dann wenn $girth(\Gamma )\geq 4$ gilt. Hierbei bezeichnet $girth(\Gamma )$ die Länge eines kürzesten Kreises in $\Gamma$ .

$Petersen-Graph: g i r t h ( Γ ) = 5 {\displaystyle girth(\Gamma )=5}$
Petersen-Graph: $girth(\Gamma )=5$
$Heawood-Graph: g i r t h ( Γ ) = 6 {\displaystyle girth(\Gamma )=6}$
Heawood-Graph: $girth(\Gamma )=6$
$McGee-Graph g i r t h ( Γ ) = 7 {\displaystyle girth(\Gamma )=7}$
McGee-Graph $girth(\Gamma )=7$
$Tutte–Coxeter-Graph g i r t h ( Γ ) = 8 {\displaystyle girth(\Gamma )=8}$
Tutte–Coxeter-Graph $girth(\Gamma )=8$

Literatur

Daniel Wise: From Riches to Raags: 3-Manifolds, Right-Angled Artin Groups, and Cubical Geometry, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 2012; 141 pp; softcover, ISBN 0-8218-8800-5

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