FQFT

Die finite Quantenfeldtheorie (FQFT) ist ein Versuch, mit den klassischen Schwierigkeiten der Quantenfeldtheorie (QFT) fertigzuwerden.

Eine dieser klassischen Schwierigkeiten ist die UV-Katastrophe, die in der klassischen Theorie durch eine Renormierung behandelt wird. Probleme dabei sind konzeptioneller und mathematischer Art: Zum einen erhält man so eine Theorie, in der viele Elemente ad hoc oder aus experimentellen Erfahrungen eingesetzt werden müssen, zum anderen gehen viele der Theorie intrinsische Symmetrien verloren, die nach der Renormierung „von Hand“ wieder rekonstruiert werden müssen. Die Schwierigkeiten sind vorwiegend auf mathematische Tatsachen zurückzuführen. Dazu gehört zum Beispiel die Tatsache, dass im Allgemeinen Distributionen im Gegensatz zu Funktionen keine Algebra bilden (zum Beispiel sollte eine Delta-Distribution nicht potenziert werden).

Die FQFT umgeht dieses Problem durch die sogenannte kausale Störungstheorie, die von Ernst Carl Gerlach Stueckelberg, Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, dem Physiker Henri Epstein und Wladimir Glaser entwickelt wurde. Dabei wird die S-Matrix Ordnung für Ordnung konstruiert:

${\displaystyle S(h)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int d^{4}x_{1}\ldots d^{4}x_{n}T_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})h(x_{1})\cdot \ldots \cdot h(x_{n})}$

wobei ${\displaystyle h(x)}$ eine temperierte Testfunktion ist und die ${\displaystyle T_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ operatorwertige Distributionen sind. Die erste Ordnung ${\displaystyle T_{1}(x_{1})}$ spezifiziert dabei das Modell. Alle höheren Ordnungen werden nun induktiv konstruiert, wobei die Kausalität eine wesentliche Rolle spielt. Die Methode von H. Epstein und W. Glaser besteht nun darin, Distributionen mit Träger auf einem generalisierten Vorwärts- und Rückwärtslichtkegel kausal korrekt aufzusplitten (was im Impulsraum bei Theorien mit massiven Feldern durch ein Dispersions-Integral durchgeführt werden kann). Dieses kausale Aufspalten der in der induktiven Konstruktion auftretenden operatorwertigen Distributionen entspricht im Wesentlichen der Zeitordnung von Operatorprodukten, und bei korrekter Behandlung des Problems treten keine UV-Divergenzen auf. Die Konstruktion ist im Allgemeinen jedoch nicht eindeutig: lokale operatorwertige Distributionen, deren Träger auf der sogenannten Diagonalen ${\displaystyle x_{1}=\ldots ...=x_{n}}$ liegen, können zu den ${\displaystyle T_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ gegebenenfalls addiert werden. Die Form dieser lokalen Distributionen ist aber eingeschränkt durch deren Skalenverhalten und allgemeine Symmetriebedingungen (zum Beispiel die Poincaré-Symmetrie). Die FQFT wurde erfolgreich auf diverse Modelltheorien, aber auch auf (massive) Eichtheorien wie z. B. das Standardmodell der Elementarteilchenphysik angewendet.

Während der Berechnung der störungstheoretischen S-Matrix werden die ${\displaystyle h(x)}$ allgemein belassen, und am Schluss kann der adiabatische Limes ${\displaystyle h(x)\rightarrow 1}$ durchgeführt werden, bei dessen Berechnung die Infrarot-Divergenzen kontrolliert und Wirkungsquerschnitte endlich berechnet werden können.