Exponentialsumme

Eine Exponentialsumme ist in der analytischen Zahlentheorie eine endliche Summe der Form

S_{f}(N)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n)\right)

für ein $N\in \mathbb {N}$ , wobei $f:[1,N]\to \mathbb {R}$ eine (üblicherweise glatte) Funktion und $e(x):=e^{2\pi ix}$ ist.

Exponentialsummen werden insbesondere in der russischen Literatur (z. B. bei Iwan Winogradow) auch als trigonometrische Summen bezeichnet.

Ist $f$ ein reelles Polynom, so bezeichnet man $S_{f}(N)$ auch als Weyl-Summe, benannt nach Hermann Weyl.[1]

Eigenschaften

Die Funktion $e(x)$ nennt man additiver Charakter auf $\mathbb {R}$ , $f$ nennt man Amplitudenfunktion und $N$ Länge der Summe.

Der Shift des Argumentes wird mit

S_{f}(N,M):=\sum \limits _{M<n\leq N+M}e\left(f(n)\right)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n+M)\right)

notiert, wobei $f$ nun auf dem Interval $[M+1,M+N]$ definiert sein muss.

Komplexe Verallgemeinerung

Exponentialsummen können für eine reelle Folge $(a_{n})_{1\leq n\leq N}$ auch auf

\sum \limits _{1\leq n\leq N}a_{n}e\left(f(n)\right)

verallgemeinert werden. Dies entspricht der obigen Definition mit der Wahl einer komplexen Funktion $f:[1,N]\to \mathbb {C}$ , da

a_{n}=e^{-2\pi \operatorname {Im} (f(n))}.

Noch allgemeiner definiert man

S_{\Phi ,F}(N_{1};\dots ;N_{r})=\sum \limits _{1\leq x_{1}\leq N_{1}}\cdots \sum \limits _{1\leq x_{r}\leq N_{r}}\Phi (x_{1},\dots ,x_{r})e\left(F(x_{1},\dots ,x_{r})\right)

für eine beliebige komplex-wertige Funktion $\Phi$ und eine reell-wertige Funktion $F$ .[2]

Geschichte

Weyl veröffentlichte 1916 als Erster eine Anwendung von Exponentialsummen in der Zahlentheorie (siehe Gleichverteilung modulo 1).[3] 1921 entwickelte er eine Methode um Weyl-Summen abzuschätzen, welche heute als Weyls Methode bezeichnet wird.[4]

1921[5] und 1922[6] veröffentlichte Johannes van der Corput zwei Arbeiten, aus der eine weitere Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen hervorging und heute als Van der Corputs Methode bezeichnet wird.

1935[7] und 1936[8] veröffentlichte Iwan Winogradow eine weitere Methode zur Abschätzung von Weyl-Summen.[9] Zusätzlich veröffentlichte er 1937 eine Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen mit Primzahlen.[10][11] Beide Methoden werden heute als Winogradows Methode bezeichnet.

Literatur

Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.
Arkhipov, G. I. und Chubarikov, V. N. und Karatsuba, A. A.: Trigonometric sums in number theory and analysis. Transl. from the Russian. In: Berlin: Walter de Gruyter (Hrsg.): De Gruyter Expo. Math. Band 39, 2004, ISBN 3-11-019798-7, doi:10.1515/9783110197983.

Einzelnachweise

B. M. Bredikhin: Weyl sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.
A. A. Karatsuba: Trigonometric sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.
Hermann Weyl: Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. In: Math. Ann. Band 77, 1916, S. 313–352.
Hermann Weyl: Zur Abschatzung von $\zeta (1+t\mathrm {i} )$ . In: Math. Zeit. Band 10, 1921, S. 88–101.
J. G. van der Corput: Zahlentheoretische Abschätzungen. In: Mathematische Annalen. Band 84, 1921, S. 53–79 (eudml.org).
J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. Band 87, 1922, S. 39–65, doi:10.1007/BF01458035.
I. M . Winogradow: On Weyl's sums. In: Mat. Sbornik. Band 42, 1935, S. 521–530.
I. M . Winogradow: A new method of estimation of trigonometrical sums. In: Mat. Sbornik. Band 43, Nr. 1, 1936, S. 175–188.
Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.
I. M . Winogradow: The representation of an odd number as a sum of three prime numbers. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR. Band 15, Nr. 2, 1937, S. 291–294.
I. M . Winogradow: Some theorems concerning the theory of prime numbers. In: Mat. Sb. Band 44, Nr. 2, 1937, S. 179–196.

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[1] B. M. Bredikhin: Weyl sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.

[2] A. A. Karatsuba: Trigonometric sum. In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.

[3] Hermann Weyl: Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. In: Math. Ann. Band 77, 1916, S. 313–352.

[4] Hermann Weyl: Zur Abschatzung von $\zeta (1+t\mathrm {i} )$ . In: Math. Zeit. Band 10, 1921, S. 88–101.

[5] J. G. van der Corput: Zahlentheoretische Abschätzungen. In: Mathematische Annalen. Band 84, 1921, S. 53–79 (eudml.org).

[6] J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. Band 87, 1922, S. 39–65, doi:10.1007/BF01458035.

[7] I. M . Winogradow: On Weyl's sums. In: Mat. Sbornik. Band 42, 1935, S. 521–530.

[8] I. M . Winogradow: A new method of estimation of trigonometrical sums. In: Mat. Sbornik. Band 43, Nr. 1, 1936, S. 175–188.

[9] Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Colloquium Publications. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.

[10] I. M . Winogradow: The representation of an odd number as a sum of three prime numbers. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR. Band 15, Nr. 2, 1937, S. 291–294.

[11] I. M . Winogradow: Some theorems concerning the theory of prime numbers. In: Mat. Sb. Band 44, Nr. 2, 1937, S. 179–196.