Euler-Produkt

Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.[1]

Definition

Sei $f$ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und $F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$ die entsprechende Dirichlet-Reihe von $f$ . Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl $s$ absolut konvergiert, dann gilt

F(s)=\prod _{p\ {\rm {prim}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}

.

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion $f$ vereinfacht sich dieses Produkt zu

F(s)=\prod _{p\ \operatorname {prim} }{\frac {1}{1-f(p)p^{-s}}}

.

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte.[2] Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert $\textstyle \lim _{N\to \infty }P_{N}$ der Folge endlicher Produkte $P_{N}$ , die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Beweis

Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.

Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe $F(s)$ auch jeder Faktor $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}$ absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes $N$ das Partialprodukt

F_{N}(s)=\prod _{p\leq N \atop p\ {\text{Primzahl}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}

existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen $2=p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{j}\leq N<p_{j+1}$ :

F_{N}(s)=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}.

Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von $f$ benutzt. Damit folgt

F_{N}(s)=\sum _{n\leq N}{\frac {f(n)}{n^{s}}}+\sum _{n>N}{'}{\frac {f(n)}{n^{s}}},

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle $n>N$ summiert wird, deren Primteiler sämtlich $\leq N$ sind. Damit folgt: für jedes $\varepsilon >0$ existiert ein $N>0$ mit

|F(s)-F_{N}(s)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|<\varepsilon .

Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte $F_{N}(s)$ für jedes $s$ im Bereich der absoluten Konvergenz gegen $F(s)$ (sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.

Das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion

Formulierung

Im Fall $f(n)=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist $f$ offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle $\operatorname {Re} (s)>1$

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}.

Die Funktion $\zeta (s)$ ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.

Herleitung von Euler

Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge $M\subset \mathbb {N}$ und eine Primzahl $p$ , so dass $1\in M$ und $pM\subset M$ . Ist also $m\in M$ , so folgt ebenfalls $pm\in M$ . Dann gilt ganz allgemein für $\operatorname {Re} (s)>1$

\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}-\sum _{m\in M}{\frac {1}{(pm)^{s}}}=\sum _{m\in M\setminus pM}{\frac {1}{m^{s}}}.

Bezeichnen wir jetzt $p_{n}$ als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und $M_{k}$ als die Menge der Zahlen, die nicht durch $p_{1},\dots ,p_{k}$ teilbar sind (z. B. $M_{1}=\{1,3,5,7,\dots \}$ ). Setze zudem $M_{0}:=\mathbb {N}$ . Dann hat jedes $M_{k}$ die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl $p_{k+1}$ und es gilt $M_{k+1}=M_{k}\setminus p_{k+1}M_{k}$ . Also:

\left(1-{\frac {1}{p_{k+1}^{s}}}\right)\sum _{m\in M_{k}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}

und damit induktiv

\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}.

Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich

\lim _{k\to \infty }\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\lim _{k\to \infty }\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}=1,

da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Euler Product. In: MathWorld (englisch).
S.A. Stepanov: Euler product. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).Vorlage:EoM/id

Einzelnachweise

Euler-Produkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-79569-8, S. 53.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Euler-Produkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.

[2] Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-79569-8, S. 53.