Eulersche Winkel

Die ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene und die ${\displaystyle X}$-${\displaystyle Y}$-Ebene schneiden sich in einer Geraden ${\displaystyle N}$ (Knotenlinie). Diese steht senkrecht auf der ${\displaystyle z}$-Achse und auf der ${\displaystyle Z}$-Achse.

• Der erste Euler-Winkel ${\displaystyle \alpha }$ (auch ${\displaystyle \varphi }$) ist der Winkel zwischen der ${\displaystyle x}$-Achse und der Geraden ${\displaystyle N}$ (gemessen in Richtung der y-Achse).
• Der zweite Euler-Winkel ${\displaystyle \beta }$ (auch ${\displaystyle \theta }$) ist der Winkel zwischen der ${\displaystyle z}$-Achse und der ${\displaystyle Z}$-Achse.
• Der dritte Euler-Winkel ${\displaystyle \gamma }$ (auch ${\displaystyle \psi }$) ist der Winkel zwischen ${\displaystyle N}$ und der ${\displaystyle X}$-Achse.

Die hier beschriebene Version der eulerschen Winkel, bei der der Winkel ${\displaystyle \alpha }$ von der ${\displaystyle x}$-Achse aus zur Knotenlinie und der Winkel ${\displaystyle \gamma }$ von der Knotenlinie zur ${\displaystyle X}$-Achse gemessen wird, nennt man die Standard-x-Konvention. Entsprechend werden bei der Standard-y-Konvention die Winkel von der ${\displaystyle y}$-Achse zur Knotenlinie und von der Knotenlinie zur ${\displaystyle Y}$-Achse gemessen.

In der klassischen Physik wird meist die Standard-x-Konvention verwendet. Statt wie hier mit ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ und ${\displaystyle \gamma }$ werden die Winkel meist mit ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \theta }$ und ${\displaystyle \psi }$ bezeichnet. In der Quantenmechanik hat sich hingegen die Standard-y-Konvention durchgesetzt. Insbesondere werden die Darstellungen der Drehgruppe SO3 durch sogenannte Wignersche D-Matrizen entsprechend parametrisiert.

Die Drehung ${\displaystyle r}$, welche das ${\displaystyle xyz}$-System in das ${\displaystyle XYZ}$-System dreht, kann in drei Drehungen aufgeteilt werden. Bei der Standard-x-Konvention sind das:

• Zunächst die Drehung ${\displaystyle r_{z}(\alpha )}$ um den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ um die ${\displaystyle z}$-Achse,
• dann die Drehung ${\displaystyle r_{N}(\beta )}$ um den Winkel ${\displaystyle \beta }$ um die Knotenlinie ${\displaystyle N}$,
• zuletzt die Drehung ${\displaystyle r_{Z}(\gamma )}$ um den Winkel ${\displaystyle \gamma }$ um die ${\displaystyle Z}$-Achse.

Bei diesen Drehungen entstehen nacheinander neue Koordinatensysteme:

• ursprüngliches Koordinatensystem: ${\displaystyle x}$-, ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle z}$-Achse
• nach der ersten Drehung: ${\displaystyle x'}$-, ${\displaystyle y'}$- und ${\displaystyle z'}$-Achse
• nach der zweiten Drehung: ${\displaystyle x''}$-, ${\displaystyle y''}$- und ${\displaystyle z''}$-Achse
• nach der dritten Drehung: ${\displaystyle x'''}$-, ${\displaystyle y'''}$- und ${\displaystyle z'''}$-Achse (bzw. ${\displaystyle X}$-, ${\displaystyle Y}$- und ${\displaystyle Z}$-Achse)

Die Drehung um ${\displaystyle N}$ ist also eine Drehung um die ${\displaystyle x'}$-Achse, die Drehung um die ${\displaystyle Z}$-Achse eine Drehung um die ${\displaystyle z''}$-Achse. Die Gesamtdrehung ${\displaystyle r}$ setzt sich also aus den Drehungen ${\displaystyle r_{z}(\alpha )}$, ${\displaystyle r_{x'}(\beta )}$ und ${\displaystyle r_{z''}(\gamma )}$ zusammen:

${\displaystyle r=r_{z''}(\gamma )\circ r_{x'}(\beta )\circ r_{z}(\alpha )}$

Die Reihenfolge der Drehachsen ist also: ${\displaystyle z}$-Achse → ${\displaystyle x'}$-Achse → ${\displaystyle z''}$-Achse oder kurz ${\displaystyle z}$-${\displaystyle x'}$-${\displaystyle z''}$.

Eine solche Zerlegung in Drehungen, bei denen jeweils um die mitgedrehten Koordinatenachsen gedreht wird, nennt man intrinsische Drehfolge.

Eulerwinkel bei extrinsischen Einzeldrehungen in der Reihenfolge ${\displaystyle z}$-${\displaystyle x}$-${\displaystyle z}$ mit den Winkeln ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha }$. blau: Ausgangslage des Koordinatensystems, rot: Ziellage, grün: Schnittgerade der beiden xy-Ebenen.

Dieselbe Drehung ${\displaystyle r}$ kann auch durch drei Einzeldrehungen um die ursprünglichen Koordinatenachsen beschrieben werden. Dabei bleiben die Winkel gleich, aber die Reihenfolge der Drehungen kehrt sich um, und die Zwischenlagen ${\displaystyle x'y'z'}$ und ${\displaystyle x''y''z''}$ sind andere als bei der intrinsischen Drehung: Zuerst wird der Körper um den Winkel ${\displaystyle \gamma }$ um die ${\displaystyle z}$-Achse gedreht, dann um ${\displaystyle \beta }$ um die ${\displaystyle x}$-Achse (der Winkel zwischen der ${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle x''}$-Achse ist derselbe wie der zwischen der ${\displaystyle x}$- und der ${\displaystyle x'}$-Achse, nämlich ${\displaystyle \gamma }$) und zuletzt um den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ um die ${\displaystyle z}$-Achse (dabei wird die ${\displaystyle x}$-Achse in die Knotenlinie ${\displaystyle N}$ gedreht und der Winkel zwischen ${\displaystyle N}$ und der ${\displaystyle X}$-Achse ist ${\displaystyle \gamma }$). Eine algebraische Begründung findet sich weiter unten im Abschnitt Matrix-Herleitung im allgemeinen Fall. Es ist also

${\displaystyle r=r_{z}(\alpha )\circ r_{x}(\beta )\circ r_{z}(\gamma )}$.

Eine solche Drehfolge, bei der immer um die ursprünglichen Koordinatenachsen gedreht wird, heißt extrinsische Drehfolge.

Die Beschreibungen durch intrinsische und durch extrinsische Drehungen sind also äquivalent. Die Beschreibung durch intrinsische Drehungen ist jedoch anschaulicher, während die Beschreibung durch extrinsische Drehungen mathematisch leichter zugänglich ist.

Die Drehungen um die Eulerschen Winkel können mit Hilfe von Drehmatrizen, deren Einträge Sinus- und Kosinus-Werte der Euler-Winkel sind, beschrieben werden. Dabei unterscheidet man zwischen Abbildungsmatrizen und Koordinatentransformationsmatrizen. Im Folgenden werden diese Matrizen für die Standard-x-Konvention angegeben. Die Matrizen für die Standard-y-Konvention erhält man analog, indem man statt der elementaren Drehmatrix für die Drehung um die x-Achse die Drehmatrix für die Drehung um die y-Achse verwendet.

Bei einer aktiven Drehung (Alibi-Drehung) werden die Punkte und Vektoren des Raums gedreht. Das Koordinatensystem wird festgehalten. Die Drehmatrix ${\displaystyle R}$ ist die Abbildungsmatrix dieser Abbildung. Die Koordinaten des gedrehten Vektors ${\displaystyle {\vec {w}}=r({\vec {v}})}$ ergeben sich aus den Koordinaten des ursprünglichen Punkts ${\displaystyle {\vec {v}}}$ durch Multiplikation mit der Drehmatrix:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{x}\\w_{y}\\w_{z}\\\end{pmatrix}}=R{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\\end{pmatrix}}\,.}$

Die Abbildungsmatrizen für Drehungen um die Koordinatenachsen (elementare Drehmatrizen) lauten:

${\displaystyle R_{x}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}},\quad R_{y}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}},\quad R_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

für die Drehung um den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ um die ${\displaystyle x}$-Achse, die ${\displaystyle y}$-Achse und die ${\displaystyle z}$-Achse.

Die Drehmatrix der zusammengesetzten Drehung erhält man durch Matrixmultiplikation aus den Matrizen der einzelnen Drehungen. Da die elementaren Drehmatrizen die Drehungen um die ursprünglichen Koordinatenachsen beschreiben, verwendet man die extrinsische Drehfolge

${\displaystyle r=r_{z}(\alpha )\circ r_{x}(\beta )\circ r_{z}(\gamma )}$

und erhält die Abbildungsmatrix

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{zxz}&=R_{z}(\alpha )\,R_{x}(\beta )\,R_{z}(\gamma )\\&={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Transformationsmatrizen beschreiben Koordinatentransformationen vom ursprünglichen (raumfesten) Koordinatensystem ins gedrehte (körperfeste) oder umgekehrt. Die Transformationsmatrix für die Koordinatentransformation vom körperfesten Koordinatensystem ins raumfeste stimmt mit der oben beschriebenen Abbildungsmatrix überein, die Matrix für die umgekehrte Transformation ist die Transponierte dieser Matrix. Hat der Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ im raumfesten Koordinatensystem die Koordinaten ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$ und im körperfesten die Koordinaten ${\displaystyle v_{X},v_{Y},v_{Z}}$, so gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}&=R_{zxz}{\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}\\&=R_{z}(\alpha )\,R_{x}(\beta )\,R_{z}(\gamma ){\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}&=R_{zxz}^{T}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}\\&=R_{z}(\gamma )^{T}\,R_{x}(\beta )^{T}\,R_{z}(\alpha )^{T}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \gamma &\sin \gamma &0\\-\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &\sin \beta \\0&-\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \beta \cos \gamma \\\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Es gibt sechs verschiedene Möglichkeiten, die Achsen für eigentliche Eulerwinkel zu wählen. Bei allen ist die erste und die dritte Achse die gleiche. Die sechs Möglichkeiten sind:

• ${\displaystyle z}$-${\displaystyle x'}$-${\displaystyle z''}$ (intrinsisch) bzw. ${\displaystyle z}$-${\displaystyle x}$-${\displaystyle z}$ (extrinsisch): Standard-x-Konvention
• ${\displaystyle z}$-${\displaystyle y'}$-${\displaystyle z''}$ (intrinsisch) bzw. ${\displaystyle z}$-${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$ (extrinsisch): Standard-y-Konvention
• ${\displaystyle y}$-${\displaystyle z'}$-${\displaystyle y''}$ (intrinsisch) bzw. ${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$-${\displaystyle y}$ (extrinsisch)
• ${\displaystyle y}$-${\displaystyle x'}$-${\displaystyle y''}$ (intrinsisch) bzw. ${\displaystyle y}$-${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$ (extrinsisch)
• ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y'}$-${\displaystyle x''}$ (intrinsisch) bzw. ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-${\displaystyle x}$ (extrinsisch)
• ${\displaystyle x}$-${\displaystyle z'}$-${\displaystyle x''}$ (intrinsisch) bzw. ${\displaystyle x}$-${\displaystyle z}$-${\displaystyle x}$ (extrinsisch)

Drehfolge z, y′, x″ (Gier-Nick-Roll)
blau: raumfestes Koordinatensystem
grün: y'-Achse = Knotenlinie N(y′)
rot: körperfestes Koordinatensystem
Anmerkung: ${\displaystyle \theta }$ ist hier negativ.

Gier-, Nick- und Rollwinkel${\displaystyle (\psi ,\theta ,\varphi )}$ als Lagewinkel eines Flugzeugs

Die in der Luftfahrt, Schifffahrt und dem Automobilbau angewendeten und genormten (Luftfahrt: DIN 9300; Automobilbau: DIN ISO 8855) Drehfolgen gehören in die Gruppe der Tait-Bryan-Drehungen. In den Normen sind die Namen Gier-, Nick- und Roll-Winkel (engl. yaw, pitch and roll angle) für die drei Euler-Winkel vorgeschrieben. Durch die drei Drehungen wird das erdfeste ${\displaystyle xyz}$-System (engl. world frame) in das körperfeste ${\displaystyle XYZ}$-Koordinatensystem (engl. body frame) gedreht.

Intrinsische Reihenfolge ${\displaystyle z}$-${\displaystyle y'}$-${\displaystyle x''}$ (Gier-Nick-Roll-Winkel):

• Mit dem im erdfesten System gemessenen Gierwinkel ${\displaystyle \psi }$ (auch Steuerkurs oder Azimut genannt) wird um die ${\displaystyle z}$-Achse gedreht. Die ${\displaystyle y}$-Achse wird zur Knotenachse ${\displaystyle N(y')}$.
  Hauptwertebereich: ${\displaystyle -\pi <\psi \leq \pi }$. Die Drehrichtung ist mathematisch positiv (gegen den Uhrzeigersinn)
• Mit dem gegen die Erdoberfläche (${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene) gemessenen Nickwinkel ${\displaystyle \theta }$ wird um die Knotenachse ${\displaystyle N(y')}$ gedreht. Es entsteht die fahrzeugfeste ${\displaystyle X}$-Achse.
  Hauptwertebereich: ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$. Die Drehrichtung ist mathematisch positiv.

• Der Rollwinkel ${\displaystyle \varphi }$ (auch Wankwinkel genannt) beschreibt die Drehung um die fahrzeugfeste ${\displaystyle X}$-Achse. Es entstehen die fahrzeugfesten Achsen ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Z}$.
  Hauptwertebereich: ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$. Die Drehrichtung ist mathematisch positiv.

Extrinsisch entspricht dies der Reihenfolge ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$ (Roll-Nick-Gier-Winkel).

Statt der Kleinbuchstaben ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \theta }$ und ${\displaystyle \varphi }$ werden auch die entsprechenden Großbuchstaben ${\displaystyle \Psi }$, ${\displaystyle \Theta }$ und ${\displaystyle \Phi }$ verwendet.

Die Koordinatentransformation vom körperfesten ins raumfeste Koordinatensystem wird durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{GNR}&=R_{z}(\psi )\,R_{y}(\theta )\,R_{x}(\varphi )\\&={\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \psi &\sin \varphi \sin \theta \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi &\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi \\\cos \theta \sin \psi &\sin \varphi \sin \theta \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi &\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi \\-\sin \theta &\sin \varphi \cos \theta &\cos \varphi \cos \theta \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

beschrieben. Die umgekehrte Transformation vom raumfesten ins körperfeste Koordinatensystem wird durch die Transponierte dieser Matrix beschrieben. (Eigentlich die Inverse, aber bei Drehmatrizen stimmt die inverse mit der transponierten Matrix überein.)

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{GNR}^{T}&=R_{x}(\varphi )^{T}\,R_{y}(\theta )^{T}\,R_{z}(\psi )^{T}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &\sin \varphi \\0&-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \psi &\sin \psi &0\\-\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \psi &\cos \theta \sin \psi &-\sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi &\sin \varphi \sin \theta \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi &\sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi &\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi &\cos \varphi \cos \theta \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Das bedeutet: Hat der Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ im raumfesten System die Koordinaten ${\displaystyle v_{x}}$, ${\displaystyle v_{y}}$, ${\displaystyle v_{z}}$ und im körperfesten System die Koordinaten ${\displaystyle v_{X}}$, ${\displaystyle v_{Y}}$, ${\displaystyle v_{Z}}$, so gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \psi &\sin \varphi \sin \theta \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi &\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi \\\cos \theta \sin \psi &\sin \varphi \sin \theta \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi &\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi \\-\sin \theta &\sin \varphi \cos \theta &\cos \varphi \cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{X}\\v_{Y}\\v_{Z}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &\sin \varphi \\0&-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \psi &\sin \psi &0\\-\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \psi &\cos \theta \sin \psi &-\sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi &\sin \varphi \sin \theta \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi &\sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi &\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi &\cos \varphi \cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Der Gewichtsvektor ${\displaystyle {\vec {G}}}$ hat im erdfesten ${\displaystyle xyz}$-Koordinatensystem nur eine ${\displaystyle z}$-Komponente (in Richtung Erdmittelpunkt):

${\displaystyle {\vec {G}}_{E}={\begin{pmatrix}0\\0\\mg\end{pmatrix}}}$

Die Transformation ins flugzeugfeste Koordinatensystem geschieht dann durch Multiplikation des erdfesten Gewichtsvektors ${\displaystyle {\vec {G}}_{E}}$ mit der Transformationsmatrix ${\displaystyle R_{GNR}^{T}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {G}}_{F}&=R_{GNR}^{T}\,{\vec {G}}_{E}\\&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \psi &\cos \theta \sin \psi &-\sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi &\sin \varphi \sin \theta \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi &\sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi &\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi &\cos \varphi \cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\mg\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\ldots &\ldots &-\sin \theta \\\ldots &\ldots &\sin \varphi \cos \theta \\\ldots &\ldots &\cos \varphi \cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\mg\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi \cos \theta \end{pmatrix}}mg\end{aligned}}}$

Physikalisch richtig wirkt die Gewichtskraft ${\displaystyle {\vec {G}}}$ bei vorhandenem Nickwinkel ${\displaystyle \theta }$ im Flugzeug beispielsweise auch nach hinten (in negative ${\displaystyle X}$-Richtung).