Euler-Rodrigues-Formel

Die Parameter ( ${\displaystyle a,b,c,d}$ ) und ( ${\displaystyle -a,-b,-c,-d}$ ) beschreiben dieselbe Rotation, was daran liegt, dass sie in der Q-Matrix immer paarweise miteinander multipliziert werden und so die Minus-Zeichen neutralisiert werden. Von dieser Symmetrie abgesehen, definieren vier Parameter die Drehmatrix in eindeutiger Weise.

Aus den Parametern ${\displaystyle b,c,d}$ kann ein Vektor ${\displaystyle {\vec {\varphi }}=(b,c,d)^{\top }}$ gebildet werden. Darin bezeichnet das hochgestellte ${\displaystyle \top }$ die transponierte Matrix, sodass ${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$ ein Spaltenvektor ist. Dann gilt für alle ${\displaystyle {\vec {x}}}$:

${\displaystyle Q{\vec {x}}={\vec {x}}+2a{\vec {\varphi }}\times {\vec {x}}+2{\vec {\varphi }}\times ({\vec {\varphi }}\times {\vec {x}}).}$

So motiviert sich die Bezeichnung für ${\displaystyle a}$ als skalarer Parameter und ${\displaystyle b,c,d}$ als Vektorparameter. Mit der Kreuzproduktmatrix

${\displaystyle [{\vec {\varphi }}]_{\times }={\begin{pmatrix}0&-d&c\\d&0&-b\\-c&b&0\end{pmatrix}}}$

zeigt sich

${\displaystyle Q=E_{3}+2a[{\vec {\varphi }}]_{\times }+2[{\vec {\varphi }}]_{\times }[{\vec {\varphi }}]_{\times }=(2a^{2}-1)E_{3}+2a[{\vec {\varphi }}]_{\times }+2{\vec {\varphi }}{\vec {\varphi }}^{\top }}$

Darin ist ${\displaystyle E_{3}}$ die Einheitsmatrix. Diese entsteht bei ${\displaystyle {\vec {\varphi }}={\vec {0}}}$ mit den Euler-Parametern ${\displaystyle (a,b,c,d)=(\pm 1,0,0,0)}$. Bei 180°-Drehungen ist ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle |{\vec {\varphi }}|=1}$.

Jede Drehung in drei Dimensionen ist eindeutig bestimmt durch einen Drehwinkel ${\displaystyle \phi }$ und eine Drehachse, die durch einen Einheitsvektor ${\displaystyle {\vec {e}}=(e_{x},e_{y},e_{z})^{\top }}$ mit ${\displaystyle e_{x}^{2}+e_{y}^{2}+e_{z}^{2}=1}$ definiert wird. Dann lauten die Euler-Parameter der Drehung:

${\displaystyle a=\cos(\phi /2)}$

${\displaystyle b=\sin(\phi /2)e_{x}}$

${\displaystyle c=\sin(\phi /2)e_{y}}$

${\displaystyle d=\sin(\phi /2)e_{z}}$

Wenn ${\displaystyle \phi }$ um eine volle 360°-Drehung zunimmt, entstehen die Euler-Parameter ${\displaystyle (-a,-b,-c,-d)}$, die – wie oben bereits bemerkt – dieselbe Drehung repräsentieren.

Der Vektorparameter lautet hier also ${\displaystyle {\vec {\varphi }}=\sin(\varphi /2){\hat {e}}}$. Mit diesen Parametern und den Doppelwinkelfunktionen entsteht die Rodrigues-Formel für die Drehmatrix:

${\displaystyle Q=E_{3}+\sin(\varphi )[{\hat {e}}]_{\times }+(1-\cos \phi )[{\hat {e}}]_{\times }[{\hat {e}}]_{\times }}$

Ist die Drehmatrix ${\displaystyle Q}$ gegeben und sind die Euler-Parameter gesucht, dann werden sie wie folgt gewonnen[1]. Hat ${\displaystyle Q}$ nur positive Diagonalelemente, dann ist

${\displaystyle \operatorname {Sp} (Q)=3a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}=4a^{2}-1\quad \rightarrow \quad a=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\operatorname {Sp} (Q)+1}}}$

Die restlichen Parameter entstehen aus

${\displaystyle q_{i}={\frac {Q_{kj}-Q_{jk}}{4a}}}$

mit

i	1	2	3
qi	b	c	d
j	2	3	1
k	3	1	2

Sind teilweise negative Diagonalelemente vorhanden, dann sei ${\displaystyle Q_{ii}}$ das größte Diagonalelement und

${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+2Q_{ii}-\operatorname {Sp} (Q)}}}$

Mit diesem Wert und ${\displaystyle j,k}$ aus obiger Tabelle ermittelt sich

${\displaystyle a=\pm {\frac {Q_{kj}-Q_{jk}}{4q_{i}}},\quad q_{j}={\frac {Q_{ji}+Q_{ij}}{4q_{i}}},\quad q_{k}={\frac {Q_{ki}+Q_{ik}}{4q_{i}}}}$

Berechnung der Drehmatrix einmal mit ${\displaystyle a}$ und einmal mit ${\displaystyle -a}$ und Vergleich mit der gegebenen Drehmatrix liefert schließlich das Vorzeichen von ${\displaystyle a}$.

Die Verknüpfung zweier Rotationen ergibt wieder eine Rotation. Aus Euler-Parametern ${\displaystyle a_{1},b_{1},c_{1},d_{1}}$ für die erste Drehung ${\displaystyle Q_{1}}$ und ${\displaystyle a_{2},b_{2},c_{2},d_{2}}$ für die zweite Drehung ${\displaystyle Q_{2}}$ ergibt sich die kombinierte Drehung ${\displaystyle Q_{2}Q_{1}}$ aus erster Drehung und anschließender zweiter Drehung aus den Euler-Parametern

${\displaystyle a=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2}}$

${\displaystyle b=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2}}$

${\displaystyle c=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2}}$

${\displaystyle d=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}}$.

Auch hier gilt wieder ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$, was durch Einsetzen bestätigt werden kann. Letztere Identität hat über

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2})}$

einen direkten Bezug zum Euler’schen Vier-Quadrate-Satz und den Quaternionen.

Die Euler-Parameter können als Komponenten einer Einheitsquaternion angesehen werden. Der Parameter ${\displaystyle a}$ ist ihr reeller Anteil und ${\displaystyle b,c,d}$ ihr imaginärer. Mit den Einheitsquaternionen ${\displaystyle q_{1,2}=a_{1,2}+ib_{1,2}+jc_{1,2}+kd_{1,2}}$, die aus den Euler-Parametern zweier Drehungen ${\displaystyle Q_{1,2}}$ bestehen, können die Euler-Parameter der kombinierten Drehung ${\displaystyle Q_{2}Q_{1}}$ elegant mit dem Produkt der Quaternionen berechnet werden:

${\displaystyle a+ib+jc+kd=q_{1}q_{2}}$

Hier sind ${\displaystyle i,j}$ und ${\displaystyle k}$ die komplex-imaginären Einheiten, die sich mit den Hamilton-Regeln ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$ nicht kommutativ verknüpfen. Beispielsweise ist ${\displaystyle jk=-kj=i}$.

Die unitären 2 × 2-Matrizen

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\sigma _{0},&\quad \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{2}\\\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{1},&\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{3}\end{aligned}}}$

mit der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ der komplexen Zahlen hängen mit den Pauli-Matrizen ${\displaystyle \sigma _{0,1,2,3}}$ zusammen, die im Standardmodell der Elementarteilchenphysik und in der Quantenmechanik verwendet werden.

Die Matrizen ${\displaystyle \sigma _{x,y,z}}$ transformieren sich ähnlich obiger Hamilton-Regeln der komplex-imaginären Einheiten der Quaternionen:

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z}=-E_{2}}$

Entsprechend können diese unitären 2 × 2-Matrizen ebenfalls zur Beschreibung von Rotationen herangezogen werden. Details dazu findet sich bei Quaternion, SU(2) und Spin-Gruppe.

Die zu einer Rotation korrespondierende unitäre 2 × 2-Matrix lautet unter Verwendung der Euler Parameter:

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ \ \,a+\mathrm {i} d&b+\mathrm {i} c\\-b+\mathrm {i} c&a-\mathrm {i} d\end{pmatrix}}=a\,E_{2}+b\,\sigma _{x}+c\,\sigma _{y}+d\,\sigma _{z}=a\,\sigma _{0}+\mathrm {i} b\,\sigma _{2}+\mathrm {i} c\,\sigma _{1}+\mathrm {i} d\,\sigma _{3}}$