Erste Fundamentalform

Eine Fläche sei durch eine auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$ definierte Abbildung

${\displaystyle X\colon U\to \mathbb {R} ^{3},\quad (u,v)\mapsto X(u,v)}$

gegeben, also durch ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ parametrisiert. Für den durch die Parameterwerte ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ bestimmten Punkt der Fläche sind die Koeffizienten der ersten Fundamentalform folgendermaßen definiert:

${\displaystyle E(u,v)=X_{u}(u,v)\cdot X_{u}(u,v)=|X_{u}(u,v)|^{2}}$

${\displaystyle F(u,v)=X_{u}(u,v)\cdot X_{v}(u,v)}$

${\displaystyle G(u,v)=X_{v}(u,v)\cdot X_{v}(u,v)=|X_{v}(u,v)|^{2}}$

Dabei sind die Vektoren

${\displaystyle X_{u}(u,v)={\frac {\partial X}{\partial u}}(u,v)\quad {\text{und}}\quad X_{v}(u,v)={\frac {\partial X}{\partial v}}(u,v)}$

die ersten partiellen Ableitungen nach den Parametern ${\displaystyle u}$ bzw. ${\displaystyle v}$. Die Malpunkte bezeichnen das Skalarprodukt der Vektoren.

Zur Vereinfachung lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ für die Koeffizienten. Die erste Fundamentalform ist dann die quadratische Form

${\displaystyle I\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ (w_{1},w_{2})\mapsto E\,w_{1}^{2}+2F\,w_{1}w_{2}+G\,w_{2}^{2}}$,

Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet:

${\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}}$

Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:

${\displaystyle g_{11}=E;\quad g_{12}=g_{21}=F;\quad g_{22}=G}$

Setzt man ${\displaystyle X_{1}=X_{u}}$ und ${\displaystyle X_{2}=X_{v}}$, so gilt

${\displaystyle g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}}$ für ${\displaystyle i,j=1,2}$.

Die Zahlen ${\displaystyle g_{ij}}$ sind die Koeffizienten des kovarianten metrischen Tensors. Dieser hat also die Matrixdarstellung

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$.

Oft bezeichnet man auch diesen Tensor, also die durch diese Matrix dargestellte Bilinearform, als erste Fundamentalform ${\displaystyle g}$

Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform gilt:

${\displaystyle E\geq 0;\quad G\geq 0;\quad EG-F^{2}\geq 0}$.

Dabei ist ${\displaystyle EG-F^{2}}$ die Diskriminante (also die Determinante der Darstellungsmatrix) der ersten Fundamentalform. Gilt darüber hinaus ${\displaystyle EG-F^{2}>0}$, so folgt daraus auch ${\displaystyle E>0}$ und ${\displaystyle G>0}$ und die erste Fundamentalform ist positiv definit. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${\displaystyle X_{u}}$ und ${\displaystyle X_{v}}$ linear unabhängig sind. Eine Fläche mit positiv definiter erster Fundamentalform heißt differentialgeometrisch regulär oder differentialgeometrisch regulär parametrisiert.

Eine Kurve auf der gegebenen Fläche lässt sich ausdrücken durch zwei reelle Funktionen ${\displaystyle \varphi _{1}}$ und ${\displaystyle \varphi _{2}}$: Jedem möglichen Wert des Parameters ${\displaystyle t}$ wird der auf der Fläche gelegene Punkt ${\displaystyle X(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t))}$ zugeordnet. Sind alle beteiligten Funktionen stetig differenzierbar, so gilt für die Länge des durch ${\displaystyle t\in [a,b]}$ festgelegten Kurvenstücks:

${\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {I({\dot {\varphi }}_{1}(t),{\dot {\varphi }}_{2}(t))}}\,dt=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {E\cdot ({\dot {\varphi }}_{1}(t))^{2}+2F\cdot {\dot {\varphi }}_{1}(t){\dot {\varphi }}_{2}(t)+G\cdot ({\dot {\varphi }}_{2}(t))^{2}}}\,dt}$

Mit Hilfe des Wegelements ${\displaystyle ds={\sqrt {ds^{2}}}}$ ausgedrückt:

${\displaystyle l=\int _{\varphi }ds}$

Der Inhalt eines durch einen Parameterbereich ${\displaystyle B}$ gegebenen Flächenstücks lässt sich berechnen durch

${\displaystyle A=\int \limits _{B}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,d(u,v)}$.

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ lässt sich in sphärischen Koordinaten parametrisieren durch

${\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}r\sin u\cos v\\r\sin u\sin v\\r\cos u\end{pmatrix}}}$.

Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ergibt sich:

${\displaystyle E=X_{u}(u,v)\cdot X_{u}(u,v)={\begin{pmatrix}r\cos u\cos v\\r\cos u\sin v\\-r\sin u\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}r\cos u\cos v\\r\cos u\sin v\\-r\sin u\end{pmatrix}}=r^{2}}$

${\displaystyle F=X_{u}(u,v)\cdot X_{v}(u,v)={\begin{pmatrix}r\cos u\cos v\\r\cos u\sin v\\-r\sin u\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-r\sin u\sin v\\r\sin u\cos v\\0\end{pmatrix}}=0}$

${\displaystyle G=X_{v}(u,v)\cdot X_{v}(u,v)={\begin{pmatrix}-r\sin u\sin v\\r\sin u\cos v\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-r\sin u\sin v\\r\sin u\cos v\\0\end{pmatrix}}=r^{2}\sin ^{2}u}$

Die erste Fundamentalform ist demnach

${\displaystyle ds^{2}=r^{2}\,du^{2}+r^{2}\sin ^{2}(u)\,dv^{2}}$.

Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion ${\displaystyle f}$ über dem Parameterbereich ${\displaystyle U}$, also ${\displaystyle X(u,v)=(u,v,f(u,v))}$ für alle ${\displaystyle (u,v)\in U}$, so gilt:[1]

${\displaystyle X_{u}(u,v)=(1,0,f_{u}),\quad X_{v}(u,v)=(0,1,f_{v})}$

und damit

${\displaystyle E=1+f_{u}^{2},\quad F=f_{u}f_{v},\quad G=1+f_{v}^{2}}$

und

${\displaystyle EG-F^{2}=(1+f_{u}^{2})\,(1+f_{v}^{2})-(f_{u}f_{v})^{2}=1+f_{u}^{2}+f_{v}^{2}}$.

Hierbei bezeichnen ${\displaystyle f_{u}}$ und ${\displaystyle f_{v}}$ die partiellen Ableitungen von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle u}$ bzw. ${\displaystyle v}$.

• Zweite Fundamentalform

1. A. Hartmann: Flächen, Gauß-Krümmung, erste und zweite Fundamentalform, theorema egregium. (PDF; 1,1 MB) Seite 6, Beweis zu Satz 3.4. In: uni-math.gwdg.de. 12. April 2011, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 17. Mai 2017; abgerufen am 7. April 2024.

• Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.