Ersatzschaltungen des Bipolartransistors

Da Datenblätter meist in Englisch verfasst sind, muss man auch die verwendeten Formelzeichen übersetzen können. Im Wesentlichen sind dies:

Die anderen Bezeichnungen können beibehalten werden.

Ebers-Moll-Modell eines npn-Transistors

Das Ebers-Moll-Modell (nach John Lewis Moll und Jewell James Ebers, 1954) ist das einfachste Modell für den Bipolartransistor. Es hat nur drei Parameter und beschreibt damit die wichtigsten Effekte. Das Ebers-Moll-Modell wird mit Hilfe eines Dioden-Ersatzschaltbildes dargestellt.

Ein npn-Transistor besteht aus zwei antiseriellen pn-Übergängen (Dioden) mit gemeinsamer p-Zone. Diese Übergänge werden als Emitter-Diode (Basis-Emitter-Diode; BE-Diode) und Kollektor-Diode (Basis-Kollektor-Diode; BC-Diode) bezeichnet. Durch die dünne Basis (p-Zone) im Bipolartransistor fließt der Großteil des Stromes über den Emitter ab. Daher besteht das Ebers-Moll-Modell zusätzlich zu den beiden Dioden aus zwei gesteuerten Stromquellen, die den Stromfluss durch die Basis beschreiben. Die Stromquellen verhalten sich genauer gesagt als Stromsenken. Damit sich ${\displaystyle I_{\mathrm {C} }}$ ausbilden kann, ist der Transistor in einem geeigneten Stromkreis zu betreiben, den eine tatsächlich existierende Energiequelle speist. Für den pnp-Transistor werden die Vorzeichen einfach umgedreht.

Zusätzlich wird noch ein Steuerfaktor für den Normalbetrieb ${\displaystyle A_{N}\approx 0{,}98\dots 0{,}998}$ sowie den Inversbetrieb ${\displaystyle A_{I}\approx 0{,}5\dots 0{,}9}$ verwendet, um den unsymmetrischen Aufbau eines realen npn-Transistors zu berücksichtigen.

${\displaystyle I_{D,N}=I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{D,I}=I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{C}=A_{N}\,I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)-I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{E}=-I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+A_{I}\,I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{B}=\left(1-A_{N}\right)\,I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+\left(1-A_{I}\right)\,I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)}$

Im Normalbetrieb sperrt die BC-Diode da ${\displaystyle U_{BC}<0}$ und kann deshalb vernachlässigt werden. Zusätzlich kann die zugehörige Exponentialfunktion durch −1 ersetzt werden, da ${\displaystyle U_{BE}\gg U_{T}}$ ist. Umgekehrt sperrt im Inversbetrieb die BE-Diode, wodurch man auch in diesem Fall eine Vereinfachung der Gleichung auf dieselbe Weise erhält.

Reduzierte Ebers-Moll-Modelle für den npn-Transistor

Normalbetrieb	Inversbetrieb
${\displaystyle I_{C}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}}$ ${\displaystyle I_{E}=-{\frac {1}{A_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}}$ ${\displaystyle I_{B}=-{\frac {1-A_{N}}{A_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}={\frac {1}{B_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}}$ mit ${\displaystyle A_{N}=-{\frac {I_{C}}{I_{E}}}\approx 0{,}98\dots 0{,}998}$ ${\displaystyle B_{N}={\frac {A_{N}}{1-A_{N}}}=-{\frac {I_{C}}{I_{B}}}\approx 50\dots 500}$	${\displaystyle I_{C}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}}$ ${\displaystyle I_{E}=-{\frac {1}{A_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}}$ ${\displaystyle I_{B}=-{\frac {1-A_{I}}{A_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}={\frac {1}{B_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}}$ mit ${\displaystyle A_{I}=-{\frac {I_{E}}{I_{C}}}\approx 0{,}5\dots 0{,}9}$ ${\displaystyle B_{I}={\frac {A_{I}}{1-A_{I}}}=-{\frac {I_{E}}{I_{B}}}\approx 1\dots 10}$

Wenn man den Bipolartransistor als Schalter einsetzt, kommt dieser vom Normalbetrieb in den Sättigungsbetrieb. Hier ist vor allem die minimal erreichbare Kollektor-Emitter-Spannung ${\displaystyle U_{CE,sat}(I_{B},\,I_{C})}$ interessant. Aufgelöst für diese Spannung erhält man die Gleichung

${\displaystyle U_{CE,sat}(I_{B},\,I_{C})=U_{T}\,\ln {\frac {B_{N}\,\left(1+B_{I}\right)\,\left(B_{I}\,I_{B}+I_{C}\right)}{B_{I}^{2}\,\left(B_{N}\,I_{B}-I_{C}\right)}}}$

Bei ${\displaystyle 0<I_{C}<B_{N}\,I_{B}}$ gilt ${\displaystyle U_{CE,sat}\approx 20\dots 200\,\mathrm {mV} }$. Das Minimum erhält man bei ${\displaystyle I_{C}=0}$:

${\displaystyle U_{CE,sat}\left(I_{C}=0\right)=U_{T}\,\ln \left(1+{\frac {1}{B_{I}}}\right)=-U_{T}\,\ln A_{I}}$

Für den Inversbetrieb vertauscht man Emitter und Kollektor. Dadurch erhält man für die Sättigung mit ${\displaystyle I_{E}=0}$:

${\displaystyle U_{EC,sat}\left(I_{E}=0\right)=U_{T}\,\ln \left(1+{\frac {1}{B_{N}}}\right)=-U_{T}\,\ln A_{N}}$

Da ${\displaystyle A_{I}<A_{N}<1}$ gilt ${\displaystyle U_{EC,sat}(I_{E}=0)<U_{CE,sat}(I_{C}=0)}$. Dabei gilt üblicherweise ${\displaystyle U_{CE,sat}(I_{C}=0)\approx 2\dots 20\,\mathrm {mV} }$ und ${\displaystyle U_{EC,sat}(I_{E}=0)\approx 0{,}05\dots 0{,}5\,\mathrm {mV} }$.

Transportmodell eines npn-Transistors

Durch die Umformung der beiden Stromquellen des Ebers-Moll-Modells in eine einzige gesteuerte Stromquelle erhält man das Transportmodell des Bipolartransistors. Das Transportmodell beschreibt das Gleichstromverhalten. Emitter- und Kollektor-Diode werden dabei als ideal angenommen und der durch die Basis fließende Strom wird als Transportstrom ${\displaystyle I_{T}}$ getrennt berechnet. Für das Transportmodell gelten die folgenden Gleichungen:

${\displaystyle I_{B,N}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{B,I}={\frac {I_{S}}{B_{I}}}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{B}=I_{B,N}+I_{B,I}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+{\frac {I_{S}}{B_{I}}}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{T}=B_{N}\,I_{B,N}-B_{I}\,I_{B,I}=I_{S}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}\right)}$

${\displaystyle I_{C}=I_{S}\,\left[e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-\left(1+{\frac {1}{B_{I}}}\right)\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}+{\frac {1}{B_{I}}}\right]}$

${\displaystyle I_{E}=I_{S}\,\left[e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-\left(1+{\frac {1}{B_{N}}}\right)\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}+{\frac {1}{B_{N}}}\right]}$

Vereinfachtes Transportmodell für den Normalbetrieb eines npn-Transistors

Da für den Normalbetrieb die Sperrströme vernachlässigt werden können, erhält man das reduzierte Transportmodell mit:

${\displaystyle I_{C}=B_{N}\,I_{B}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}}$

${\displaystyle I_{B}={\frac {I_{C}}{B_{N}}}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}}$

${\displaystyle I_{E}=-\left(I_{C}+I_{B}\right)=-\left(1+B_{N}\right)\,I_{B}}$

Erweitertes Transportmodell eines npn-Transistors

Um das statische Verhalten des Bipolartransistors besser modellieren zu können, muss das Transportmodell entsprechend erweitert werden. Dabei sind vor allem die folgenden Effekte zu berücksichtigen:

• Leckströme
• Hochstromeffekt
• Early-Effekt

Für das um diese Effekte erweiterte Transportmodell gelten im Allgemeinen die Zusammenhänge:

${\displaystyle I_{B}=I_{B,N}+I_{B,I}+I_{B,E}+I_{B,C}}$

${\displaystyle I_{C}={\frac {B_{N}}{q_{B}}}\,I_{B,N}-\left({\frac {B_{I}}{q_{B}}}+1\right)\,I_{B,I}-I_{B,C}}$

${\displaystyle I_{E}=-\left({\frac {B_{N}}{q_{B}}}+1\right)\,I_{B},N+{\frac {B_{I}}{q_{B}}}\,I_{B,I}-I_{BE}}$

was sich aus den im Weiteren erläuterten Formeln ergibt.

Die Leckströme, die durch die Ladungsträgerrekombination in den pn-Übergängen erzeugt wird werden zu den jeweiligen Strömen der Kollektor- und der Emitter-Diode hinzuaddiert. Das wird erreicht, indem man den Dioden im Transportmodell jeweils eine weitere Diode parallelschaltet. Diese zusätzlichen Dioden werden über die Leck-Sättigungs-Sperrströme ${\displaystyle I_{S,E}}$ und ${\displaystyle I_{S,C}}$, sowie über die Emissionskoeffizienten ${\displaystyle n_{E}\approx 1{,}5}$ und ${\displaystyle n_{C}\approx 2}$ beschrieben.

${\displaystyle I_{B,E}=I_{S,E}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{n_{E}\,U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{B,C}=I_{S,C}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{n_{C}\,U_{T}}}-1\right)}$

Wenn der Strom durch den Transistor sehr stark ist, ist der Transportstrom eines realen Transistors durch die hohe Ladungsträgerkonzentration in der Basis kleiner als durch das Grundmodell dargestellt. Dieser Effekt wird auch als Hochstromeffekt bzw. als starke Injektion bezeichnet.

Zusätzlich beeinflussen die Spannungen ${\displaystyle U_{BE}}$ und ${\displaystyle U_{BC}}$ die effektive Dicke der Basiszone und wirken sich somit auf den Transportstrom ${\displaystyle I_{T}}$ aus. Dieser Effekt ist als Early-Effekt bekannt.

Der Hochstrom- und der Early-Effekt wird durch die Größe der Dimension Zahl ${\displaystyle q_{B}}$ dargestellt.

${\displaystyle I_{T}={\frac {B_{N}\,I_{B,N}-B_{I}\,I_{B,I}}{q_{B}}}={\frac {I_{S}}{q_{B}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}\right)}$

${\displaystyle q_{B}}$ ist dabei die relative Majoritätsträgerladung und setzt sich aus der Größe des Early-Effekts ${\displaystyle q_{\text{Early}}}$ und der Größe des Hochstromeffektes ${\displaystyle q_{\text{Hoch}}}$ zusammen:

${\displaystyle q_{B}={\frac {q_{\text{Early}}}{2}}\,\left(1+{\sqrt {1+4\,q_{\text{Hoch}}}}\right)}$

${\displaystyle q_{\text{Early}}={\frac {1}{1-{\frac {U_{BE}}{U_{A,I}}}-{\frac {U_{BC}}{U_{A,N}}}}}}$

${\displaystyle q_{\text{Hoch}}={\frac {I_{S}}{I_{K,N}}}\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+{\frac {I_{S}}{I_{K,I}}}\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle U_{A,N}}$ und ${\displaystyle U_{A,I}}$ sind die Early-Spannungen mit ${\displaystyle U_{A}\approx 30\dots 150\,\mathrm {V} }$. ${\displaystyle I_{K,N}}$ und ${\displaystyle I_{K,I}}$ sind die Knieströme der starken Injektion. Die Größe der Knieströme ist von der Größe und damit der Bauform des Transistors abhängig und liegen im Milliampere- (Kleinleistungtransitor) bis Amperebereich (Leistungstransistor).

Gummel-Plot mit U_CE = konst.

Bei der Betrachtung des Kollektorstromes kommt die Auswirkung des Faktors ${\displaystyle q_{B}}$ besonders zur Geltung. Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man:

${\displaystyle I_{C}={\frac {B_{N}\,I_{B,N}}{q_{B}}}={\frac {I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}}{q_{B}}}}$

Bei kleinen bis mittleren Stromgrößen ${\displaystyle I_{C}<I_{K,N}}$ gilt ${\displaystyle q_{\text{Hoch}}\ll 1}$ und somit ${\displaystyle q_{B}\approx q_{\text{Early}}}$. Zusätzlich gilt

${\displaystyle U_{BC}=U_{BE}-U_{CS}\approx -U_{CE}}$

da ${\displaystyle U_{BE}\approx 0{,}6\dots 0{,}8\,\mathrm {V} }$. Somit erhält man eine Näherungsgleichung für den Early-Effekt:

${\displaystyle q_{\text{Early}}\approx {\frac {1}{1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}}}}$

und durch Einsetzen in ${\displaystyle I_{C}}$ erhält man:

${\displaystyle I_{C}\approx I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)}$

Bei großen Strömen ${\displaystyle I_{C}\to \infty }$ ist ${\displaystyle q_{\text{Hoch}}\gg 1}$ und somit ${\displaystyle q_{B}\approx q_{\text{Early}}\,{\sqrt {q_{\text{Hoch}}}}}$. Durch Einsetzen erhält man:

${\displaystyle I_{C}\approx {\sqrt {I_{S}\,I_{K,N}}}\,e^{\frac {U_{BE}}{2\,U_{T}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)}$

Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man für ${\displaystyle I_{B}}$ die Gleichung

${\displaystyle I_{B}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}+I_{S,E}\,e^{\frac {U_{BE}}{n_{E}\,U_{T}}}}$

Für die Stromverstärkung B gilt der Zusammenhang

${\displaystyle B={\frac {I_{C}}{I_{B}}}={\frac {B_{N}}{q_{B}+B_{N}\,\left({\frac {q_{B}}{I_{S}}}\right)^{\frac {1}{n_{E}}}\,I_{S,E}\,I_{C}^{{\frac {1}{n_{E}}}-1}}}}$

Zudem ist die Stromverstärkung B von U_BE und U_CE abhängig, da auch I_C und q_B von diesen Spannungen abhängig sind.

Der Verlauf der Stromverstärkung wird zur Näherung in drei Abschnitte unterteilt:

1. Leckstrombereich

Bei kleinen Kollektorströmen dominiert der Leckstromanteil I_B,E im Basisstrom I_B. Dieser Bereich wird folglich als Leckstrombereich bezeichnet. In diesem Bereich gilt aufgrund der Dominanz des Leckstromes die Näherung ${\displaystyle I_{B}\approx I_{B,E}}$ und ${\displaystyle q_{B}\approx q_{1}}$. Daraus ergibt sich die Vereinfachung:

${\displaystyle B\approx {\frac {I_{C}^{1-{\frac {1}{n_{E}}}}}{I_{S,E}\,\left({\frac {q_{1}}{I_{S}}}\right)^{\frac {1}{n_{E}}}}}\sim I_{C}^{1-{\frac {1}{n_{E}}}}\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)^{\frac {1}{n_{E}}}}$

Mit ${\displaystyle n_{E}\approx 1{,}5}$ erhält man ${\displaystyle B\sim I_{C}^{\frac {1}{3}}}$. Damit ist die Verstärkung B in diesem Bereich kleiner als bei mittelgroßen Kollektorströmen und wird mit steigendem Kollektorstrom ${\displaystyle I_{C}}$ ebenfalls größer.

2. Normalbereich

Bei mittleren Kollektorströmen gilt die Näherung ${\displaystyle I_{B}\approx I_{B,N}}$ und daraus folgend:

${\displaystyle B\approx B_{N}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)}$

Daraus ergibt sich ein maximaler Wert, sowie nur eine geringe Abhängigkeit von ${\displaystyle I_{C}}$, für die Verstärkung B in diesem Bereich. Deshalb werden Transistoren bevorzugt in diesem Bereich betrieben.

3. Hochstrombereich

Bei großen Kollektorströmen kommt es zum Hochstromeffekt. Über den Zusammenhang ${\displaystyle I_{B}\approx I_{B,N}}$ erhält man den Zusammenhang:

${\displaystyle B\approx {\frac {B_{N}}{q_{B}}}\approx B_{N}\,{\frac {I_{K,N}}{I_{C}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)^{2}}$

Die Stromverstärkung B ist somit indirekt proportional zu I_C, was bedeutet, dass die Stromverstärkung mit steigendem Kollektorstrom stark abnimmt.

Abhängigkeit der Verstärkung B vom Kollektorstrom I_C in doppellogarithmischer Darstellung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung U_CE

Die maximale Stromverstärkung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung wird mit B_max(U_CE) bezeichnet. Für Transistoren mit großem Kniestrom I_K,N und kleinem Leckstrom I_S,E ist der Normalbereich so breit, dass der tatsächliche Verlauf von B mit der Näherungsgeraden in diesem Bereich eine Tangente bildet. Im Schnittpunkt gilt B_max(U_CE) = B_0,max = B_N, wobei B_0,max bei U_CE = 0 auftritt. Bei Transistoren mit kleinem Kniestrom und großem Leckstrom hingegen fällt der Normalbereich sehr schmal aus, wobei die Verstärkung unterhalb der Näherungsgeraden bleibt und damit B < B_N gilt.

Um Bahnwiderstände erweitertes Transportmodell

Lage der Bahnwiderstände im Halbleiter des Bipolartransistors

Da das Halbleitermaterial für den elektrischen Strom einen Widerstand darstellt, muss dieser Widerstand in Form der Bahnwiderstände dargestellt werden. Man unterscheidet zwischen dem Emitterbahnwiderstand R_E, dem Kollektorbahnwiderstand R_C und dem Basisbahnwiderstand R_B.

Emitterbahnwiderstand

Aufgrund der starken Dotierung und des geringen Längen-zu-Querschnitt-Verhältnisses des Emitters hat R_E nur einen kleinen Betrag. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_E etwa 0,1 Ω bis 1 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,01 Ω bis 0,1 Ω.

Kollektorbahnwiderstand

Der Kollektorbahnwiderstand wird vor allem durch die schwach dotierte Kollektorzone verursacht. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_C etwa 1 Ω bis 10 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,1 Ω bis 1 Ω.

Basiswiderstand

Der Basiswiderstand wird aus dem externen Basiswiderstand R_Be und dem internen Basiswiderstand R_Bi gebildet. Der externe Basiswiderstand tritt zwischen dem Kontakt der Basis und der aktiven Basiszone auf, während der interne Basiswiderstand quer in der aktiven Basiszone zwischen Emitter und Kollektor auftritt. Bei großen Strömen hat der interne Basiswiderstand nur begrenzt Einfluss, da sich der Strom aufgrund der Stromverdrängung an der Basiszone konzentriert. Zusätzlich wirkt der Early-Effekt, der die Dicke der Basiszone beeinflusst. Diese Effekte werden in der Konstante q_B zusammengefasst.

Der Basiswiderstand ergibt sich folglich aus:

${\displaystyle R_{B}=R_{Be}+{\frac {R_{Bi}}{q_{B}}}}$

Für den Normalbetrieb folgt durch Auflösen von q_B:

${\displaystyle R_{B}={\begin{cases}R_{Be}+R_{Bi}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)&{\text{wenn}}\quad I_{C}<I_{K,N}\\R_{Be}&{\text{wenn}}\quad I_{C}\to \infty \end{cases}}}$

Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_Be etwa 10 Ω bis 100 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 1 Ω bis 10 Ω. R_Bi ist etwa drei- bis viermal so groß wie R_Be.

Lateraler integrierter pnp-Transistor

Vertikaler integrierter npn-Transistor

Bei integrierten Transistoren ist bei vertikalen npn-Transistoren zwischen Substrat und Kollektor, sowie bei lateralen pnp-Transistoren zwischen Substrat und Basis, konstruktionsbedingt—wie in den nebenstehenden Abbildungen dargestellt—ein pn-Übergang, die sog. Substrat-Diode. Diese Substrat-Diode wird als herkömmliche pn-Diode über die Shockley-Formel beschrieben. Für den Sättigungssperrstrom I_S wird der Sättigungssperrstrom der Substratdiode I_S,S eingesetzt:

${\displaystyle I_{D,S}=I_{S,S}\left(e^{\frac {U_{SB}}{U_{T}}}-1\right)}$ (lateral)

${\displaystyle I_{D,S}=I_{S,S}\left(e^{\frac {U_{SC}}{U_{T}}}-1\right)}$ (vertikal)

Da die Substrat-Diode üblicherweise nicht beschaltet wird, ist keine Modellierung erforderlich. Bei (fehlerhafter) Beschaltung kann jedoch ein Strom fließen und muss in diesem Fall auch berücksichtigt werden.

Bei der Ansteuerung mit sinus- oder pulsförmigen Signalen muss auch das dynamische Verhalten des Transistors beachtet werden. Dafür benötigt man, wie bei der Diode, die im Transistor auftretenden Sperr- und Diffusionskapazitäten.

Bei einem einzelnen Bipolartransistor treten zwei und bei integrierten Transistoren drei Sperrschichtkapazitäten auf. Die Emitterdiode ist durch die Emittersperrschichtkapazität ${\displaystyle C_{S,E}\left(U_{B',E'}\right)}$ charakterisiert. Die Kollektordiode wird durch die Kollektorsperrschichtkapazität ${\displaystyle C_{C,E}}$ beschrieben, welche sich aus der internen Sperrschichtkapazität ${\displaystyle C_{S,Ci}}$ der aktiven Zone bei ${\displaystyle B'}$ und der externen Sperrschichtkapazität ${\displaystyle C_{S,Ce}}$ beim Basisanschluss ${\displaystyle B}$ zusammen. Die Anteile der internen und externen Sperrschichtkapazität an der Kollektorsperrschichtkapazität wird durch den Parameter ${\displaystyle x_{CSC}}$ dargestellt:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{S,C}&=C_{S,Ci}+C_{S,Ce}\\C_{S,Ci}\left(U_{B'C'}\right)&=x_{CSC}\cdot C_{S,C}\left(U_{B'C'}\right)\\C_{S,Ce}\left(U_{B'C'}\right)&=\left(1-x_{CSC}\right)\cdot C_{S,C}\left(U_{B'C'}\right)\end{aligned}}}$

Bei Einzeltransistoren liegt der Faktor ${\displaystyle x_{CSC}}$ meistens zwischen 0,5 und 1, was bedeutet, dass ${\displaystyle C_{S,Ce}\leq C_{S,Ci}}$ ist. Bei integrierten Transistoren ist ${\displaystyle x_{CSC}<0{,}5}$ und damit ${\displaystyle C_{S,Ce}>C_{S,Ci}}$.

Bei integrierten Transistoren tritt zusätzlich die Sperrschichtkapazität der Substratdiode ${\displaystyle C_{S,S}}$ auf. Diese wirkt bei integrierten vertikalen npn-Transistoren am internen Kollektor ${\displaystyle C'}$ und bei integrierten lateralen npn-Transistoren an der internen Basis ${\displaystyle B'}$. Daher gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{S,S}&=C_{S,S}\left(U_{SC'}\right)\qquad {\text{(vertikal)}}\\C_{S,S}&=C_{S,S}\left(U_{SB'}\right)\qquad {\text{(lateral)}}\end{aligned}}}$

Beim Transistor treten zwei Diffusionskapazitäten auf: die Diffusionskapazität der Emitterdiode ${\displaystyle C_{D,N}}$ und die Diffusionskapazität der Kollektordiode ${\displaystyle C_{D,I}}$. In diesen werden die Emitterdiffusionsladung ${\displaystyle Q_{D,N}}$ und die Kollektordiffusionsladung ${\displaystyle Q_{D,I}}$ gespeichert. Die Diffusionsladungen ergeben sich aus dem Transportstrom ${\displaystyle I_{T}}$, welcher vom Kollektor zum Emitter fließt (siehe auch Transportmodell).

${\displaystyle Q_{D,N}=\tau _{N}\,B_{N}\,I_{B,N}=\tau _{N}\,I_{S}\,\left(e^{\frac {U_{B'E'}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle Q_{D,I}=\tau _{N}\,B_{I}\,I_{B,I}=\tau _{I}\,I_{S}\left(e^{\frac {U_{B'C'}}{U_{T}}}-1\right)}$

Wobei die Zeitkonstanten ${\displaystyle \tau _{N}}$ und ${\displaystyle \tau _{I}}$ als Transit-Zeit bezeichnet werden. Durch Differentiation ergeben sich aus diesen Gleichungen die Diffusionskapazitäten:

${\displaystyle C_{D,N}\left(U_{B'E'}\right)={\frac {\mathrm {d} \,Q_{D,N}}{\mathrm {d} \,U_{B',E'}}}={\frac {\tau _{N}\,I_{S}}{U_{T}}}\,e^{\frac {U_{B',E'}}{U_{T}}}}$

${\displaystyle C_{D,I}\left(U_{B'C'}\right)={\frac {\mathrm {d} \,Q_{D,I}}{\mathrm {d} \,U_{B',C'}}}={\frac {\tau _{N}\,I_{S}}{U_{T}}}\,e^{\frac {U_{B',C'}}{U_{T}}}}$

Die Diffusionskapazitäten ${\displaystyle C_{D,N}}$ und ${\displaystyle C_{D,I}}$ treten parallel zu den Sperrschichtkapazitäten ${\displaystyle C_{S,E}}$ und ${\displaystyle C_{S,Ci}}$ auf. Im Normalbetrieb ist die Kollektor-Diffusionskapazität ${\displaystyle C_{D,I}}$ aufgrund der geringen inneren Basis-Kollektor-Spannung ${\displaystyle U_{B',C'}}$ im Vergleich zur inneren Kollektor-Sperrschicht-Kapazität ${\displaystyle C_{S,Ci}}$ sehr klein und kann daher vernachlässigt werden. ${\displaystyle C_{D,I}}$ kann infolge der Vernachlässigung von ${\displaystyle C_{D,I}}$ mit einer konstanten Transitzeit beschrieben werden, wodurch ${\displaystyle \tau _{N}=\tau _{0,I}}$ angenommen wird.

Wenn der Transitstrom klein ist gilt ${\displaystyle C_{D,N}<C_{D,N}}$, bei großem Transitstrom hingegen gilt ${\displaystyle C_{D,N}>C_{D,N}}$. Um das korrekt darstellen zu können muss ${\displaystyle \tau _{N}}$ in der Ersatzschaltung genau modelliert werden. Eine Zunahme von ${\displaystyle \tau _{N}}$ gei großen Strömen wirkt sich als Abnahme der Grenzfrequenzen und der Schaltgeschwindigkeit des Transistors aus.

Aufgrund des Hochstromeffektes nimmt die Diffusionsladung überproportional zu. Die Transitzeit ist daher nicht konstant und nimmt mit steigendem Strom zu. Der Early-Effekt wirkt sich ebenfalls aus, da dieser die effektive Dicke der der Basiszone und damit die in der Basiszone gespeicherte Ladung verändert. Da jedoch mit den Parametern ${\displaystyle I_{K,N}}$ und ${\displaystyle U_{A,N}}$ keine präzise Beschreibung möglich ist, wird eine empirisch bestimmte Gleichung zur Beschreibung verwendet:

Verlauf von ${\displaystyle {\frac {\tau _{N}}{\tau _{0,N}}}}$ in doppellogarithmischer Darstellung

${\displaystyle \tau _{N}=\tau _{0,N}\,\left[1+x_{\tau ,N}\,\left(3\,x^{2}-2\,x^{3}\right)\,2^{\frac {U_{B'C'}}{U_{\tau ,N}}}\right]}$

wobei der Faktor x für das Polynom über die folgende Gleichung definiert ist:

${\displaystyle x={\frac {B_{N}\,I_{B,N}}{B_{N}\,I_{B,N}+I_{\tau ,N}}}={\frac {1}{1+{\frac {I_{\tau ,N}}{B_{N}\,I_{B,N}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {I_{\tau _{N}}}{I_{S}\,\left(e^{\frac {U_{B'E'}}{U_{T}}}-1\right)}}}}}$

Zusätzlich ist ${\displaystyle \tau _{0},N}$ die ideale Transitzeit, ${\displaystyle x_{\tau _{N}}}$ der Koeffizient der Transitzeit, ${\displaystyle I_{K,N}}$ der Transitzeit-Kniestrom und ${\displaystyle U_{\tau ,N}}$ die Transitzeit-Spannung. Der Koeffizient der Transitzeit ${\displaystyle x_{\tau _{N}}}$ gibt an, wie stark ${\displaystyle \tau _{N}}$ bei ${\displaystyle U_{B'C'}=0\,\mathrm {V} }$ zunehmen kann:

${\displaystyle \lim _{I_{B,B}\to \infty }\tau _{N}=\tau _{0,N}\,\left(1+x_{\tau ,N}\right)\quad \forall {U_{B'C'}=0\,\mathrm {V} }}$

Die Hälfte der maximalen Zunahme erhält man bei ${\displaystyle I_{\tau ,N}=B_{N}\,I_{B,N}}$:

${\displaystyle \tau _{N}=\tau _{0,N}\,\left(1+{\frac {x_{\tau ,N}}{2}}\right)\quad \forall \left(B_{N}\,I_{B,N}=I_{\tau ,N}\right)\land \left(U_{B'C'}=0\right)}$

Daraus folgt, dass wenn die Spannung ${\displaystyle U_{B'C'}}$ um den Betrag der Spannung ${\displaystyle U_{\tau ,N}}$ sinkt, steigt ${\displaystyle \tau _{N}}$ nur noch mit der halben Geschwindigkeit. d. h. für ${\displaystyle U_{B'C'}=-n\,U_{\tau ,N}}$ ist die Zunahme von ${\displaystyle \tau _{N}}$ um den Faktor ${\displaystyle 2^{n}}$ kleiner.

Das statische Kleinsignalmodell beschreibt das Kleinsignalverhalten bei niedrigen Frequenzen und wird deshalb auch als Gleichstrom-Kleinsignalersatzschaltbild bezeichnet.

Aus dem Gummel-Poon-Modell wird durch Linearisierung im Arbeitspunkt das lineare Kleinsignalmodell. Der Arbeitspunkt wird in einem Bereich gewählt, in dem der Transistor nach erfolgter Dimensionierung arbeiten soll. Üblicherweise ist das der Normalbetrieb, weshalb im Weiteren Modelle für den Normalbetrieb gezeigt werden. Nach denselben Prinzipien kann man jedoch auch Modelle für die anderen Transistor-Betriebsarten erstellen.

Die Linearisierung des Gummel-Poon-Modells erfolgt, indem man die Kapazitäten weglässt – da diese bei Gleichstrom nicht wirken – und die Sperrströme vernachlässigt – also I_B,I, I_B,C und I_D,S gleich Null setzt.

Statisches Kleinsignalmodell durch Vernachlässigung von Kapazitäten und Sperrströmen im Gummel-Poon-Modell

Statisches Kleinsignalmodell nach der Linearisierung von IB und IC

Weiters werden die nichtlinearen Größen ${\displaystyle I_{B}=I_{B,N}\left(U_{B'E'}\right)+I_{B,E}\left(U_{B'E'}\right)}$ sowie ${\displaystyle I_{C}=I_{T}\left(U_{B'E'},U_{C'E'}\right)}$ im Arbeitspunkt A linearisiert:

${\displaystyle S={\frac {\partial I_{C}}{\partial U_{B'E'}}}={\frac {I_{C,A}}{U_{T}}}\,\left(1-{\frac {U_{T}}{q_{B}}}\,{\frac {\partial q_{B}}{\partial U_{B'E'}}}\right)\quad \forall {A}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{BE}}}={\frac {\partial I_{B}}{\partial U_{B'E'}}}={\frac {I_{S}}{B_{N}\,U_{T}}}\,e^{\frac {U_{B'E',A}}{U_{T}}}+{\frac {I_{S,E}}{n_{E}\,U_{T}}}\,{\frac {U_{B'E',A}}{n_{E}\,U_{T}}}\quad \forall {A}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{CE}}}={\frac {\partial I_{C}}{\partial U_{C'E'}}}={\frac {I_{C,A}}{U_{A,N}+U_{C'E',A}-U_{B'E',A}\,\left(1+{\frac {U_{A,N}}{U_{A,I}}}\right)}}\quad \forall {A}}$

In der Praxis werden zur weiteren Vereinfachung auch die Bahnwiderstände nicht berücksichtigt. Daraus erhält man das vereinfachte statische Kleinsignalmodell. Bei einer zusätzlichen Vernachlässigung des Early-Effektes durch ${\displaystyle r_{CE}\to \infty }$ erhält man des Weiteren eine alternative Darstellungsart dieses vereinfachten Modells, welche durch Linearisierung aus dem vereinfachten statischen Kleinsignalmodell erstellt wird. Die alternative Darstellungsart ist aufgrund des vernachlässigten Early-Effekts jedoch nur Ausnahmefällen brauchbar, da die Berechnung anhand dieser Vereinfachung meist zu unbrauchbaren Ergebnissen führt. In der Literatur findet man zudem oft eine Darstellung mit einem zusätzlichen Widerstand zwischen Basis und Kollektor, der sich durch die Linearisierung der Kollektor-Basis-Diode aus dem Ebers-Moll-Modell ergibt, jedoch nicht zur Modellierung des Early-Effekts dient.

Vereinfachtes statisches Kleinsignalmodell mit vernachlässigten Bahnwiderständen

Umgeformtes vereinfachtes statisches Kleinsignalmodell unter zusätzlicher Vernachlässigung des Early-Effekts

Es gelten die Gleichungen

${\displaystyle r_{E}={\frac {1}{S+{\frac {1}{r_{BE}}}}}\approx {\frac {1}{S}}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{1+\beta }}=S\,r_{E}}$

Das Gummel-Poon-Modell, benannt nach seinen geistigen Vätern Hermann Gummel und H. C. Poon, ist das vollständige Modell eines Bipolar-Transistors und wird zur Schaltungssimulation – etwa in PSpice – verwendet. Es basiert auf dem Transportmodell und modelliert alle statischen und dynamischen Effekte in diesem. Die Formelzeichen sind zu Beginn des Artikels aufgelistet.

Gummel-Poon-Modell eines npn-Bipolartransistors

Falls einige Werte im Datenblatt des Transistors nicht angegeben sind, werden (z. B. in PSpice) Standardwerte verwendet. In PSpice werden kommen folgende Standardwerte zur Anwendung:

Ein Standardwert von 0 oder ∞ bedeutet, dass der entsprechende Parameter so gesetzt wird, dass dieser Parameter keinen Einfluss auf die Berechnung hat und auf diese Weise nicht modelliert wird.

Zudem werden in PSpice einige weitere Effekte berücksichtigt, die im PSpice-Referenzhandbuch[5] beschrieben werden, wofür das in PSpice verwendete Modell entsprechend erweitert wurde.

Dynamisches Kleinsignalmodell des Bipolartransistors

Wenn man das vollständige statische Kleinsignalmodell um die Sperrschicht- und Diffusionskapazitäten erweitert, erhält man das dynamische Kleinsignalmodell.

Die Emitterkapazität ${\displaystyle C_{E}}$ setzt sich aus der Emitter-Sperrschicht-Kapazität ${\displaystyle C_{S},E}$ und der Diffusionskapazität für den Normalbetrieb ${\displaystyle C_{D,N}}$ zusammen:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{E}=&\,C_{S,E}\left(U_{B'E',A}\right)\\&+C_{D,N}\left(U_{B'E',A}\right)\end{aligned}}}$

Die interne Kollektorkapazität ${\displaystyle C_{Ci}}$ entspricht der internen Kollektor-Sperrschicht-Kapazität, da die interne Diffusionskapazität ${\displaystyle C_{D,I}}$ wegen ${\displaystyle U_{BC}\leq 0}$ vernachlässigbar klein ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{Ci}&=C_{S,Ci}\left(U_{B'C',A}\right)+C_{D,I}\left(U_{B'C',A}\right)\\&\approx C_{S,Ci}\left(U_{B'C',A}\right)\end{aligned}}}$