Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, eine Verallgemeinerung der Exponential-Verteilung und ein Spezialfall der Gamma-Verteilung. Sie wurde von Agner Krarup Erlang für die statistische Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.

Die Erlang-Verteilung wird in der Warteschlangentheorie verwendet, um die Verteilung der Zeitspanne zwischen Ereignissen eines Poisson-Prozesses, beispielsweise der Ankunft von Kunden, zu erfassen, sowie in der Qualitätssicherung zur Beschreibung von Lebensdauern. In Callcentern wird diese Verteilung für die Personaleinsatzplanung genutzt, um die Anzahl der benötigten Agenten auf Grund des erwarteten Anrufvolumens im Zeitintervall zu bestimmen.

Die Erlang-Verteilungsdichte liefert die Verteilung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach Verstreichen des Orts- oder Zeitabstands das -te Ereignis eintritt, wenn man Ereignisse pro Einheitsintervall erwartet (siehe Herleitung). Sie beschreibt eine Kette von nacheinander erfolgenden Ereignissen. Der wahrscheinlichste Abstand bis zum -ten Ereignis (Modus) ist kleiner als der Mittelwert (Erwartungswert), weil kürzere Ereignisabstände häufiger auftreten. Füllt man die der Größe nach sortierten Abstände der jeweiligen Einzelereignisse in ein Histogramm, so zeigt dieses dementsprechend eine Exponential-Verteilung.[1]

Dichte der Erlang-Verteilung,

Definition

Die Erlang-Verteilung mit den Parametern (einer positiven reellen Zahl) und (einer natürlichen Zahl) ist eine spezielle Gammaverteilung, die durch die Dichtefunktion

festgelegt wird, und die sich von der allgemeinen Gammaverteilung durch die Beschränkung auf natürliche Zahlen im zweiten Parameter unterscheidet.

Für eine Erlang-verteilte Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb des Intervalls liegt, durch die Verteilungsfunktion

gegeben, wobei bzw. die unvollständige Gammafunktion bezeichnet.

Herleitung und Interpretation

Die Erlang-Verteilung kann interpretiert werden als die Wahrscheinlichkeitsdichte, nach einer Zeit das -te Ereignis zu erhalten. Dabei seien die Ereignisse poissonverteilt.

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass das -te Ereignis im Zeitintervall ist. Dies ist offensichtlich die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse im Intervall sind, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ereignis in ist. Da die Ereignisse poissonverteilt und unabhängig in disjunkten Intervallen sind, ist dies:

.

Dies ist in erster Ordnung :

,

so dass sich die Erlang-Verteilung ergibt als:

.

Eigenschaften

Da eine Erlang-verteilte Zufallsvariable die Summe von unabhängig und identisch mit Parameter exponentialverteilten Zufallsvariablen ist, ergeben sich die folgenden Eigenschaften.

Erwartungswert

Die Erlang-Verteilung besitzt den Erwartungswert

Varianz

Analog ergibt sich die Varianz zu

Modus

Der Modus, das Maximum der Dichte, liegt bei

Charakteristische Funktion

Aus der charakteristischen Funktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen erhält man die einer Erlang-verteilten Zufallsvariable:

Momenterzeugende Funktion

Analog ergibt sich für die momenterzeugende Funktion

Entropie

Die Entropie der Erlang-Verteilung beträgt

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Exponentialverteilung

  • Die Erlang-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, denn sie geht für in diese über .
  • Es seien viele, alle mit dem gleichen Parameter exponentialverteilte Zufallsvariablen , die stochastisch unabhängig sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable Erlang-verteilt mit den Parametern und .

Beziehung zur Poisson-Verteilung

  • Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung bestimmt, die zufällige Zeit bis zum -ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
  • Die Erlang-Verteilung ist die zur Poisson-Verteilung konjugierte Verteilung.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Eine Erlang-Verteilung kann als Faltung von gleichmäßig stetig verteilten Funktionen erzeugt werden:

Beziehung zur Gamma-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter und Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit natürlichem Formparameter (und inversem Skalenparameter ).

Literatur

  • Klaus Heinz: Mathematisch-statistische Untersuchungen über die Erlang-Verteilung. Springer, Wiesbaden 1969, ISBN 978-3-663-06379-7.

Einzelnachweise

  1. Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen Oslo Tromsø S. 98.
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