Ergodische Transformation

Es sei ${\displaystyle \mu }$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ und ${\displaystyle T\colon \Omega \to \Omega }$ eine maßerhaltende Abbildung.

Dann ist ${\displaystyle T}$ eine ergodische Transformation, genau dann wenn für jede Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, die ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ erfüllt, immer entweder

${\displaystyle \mu (A)=0\,{\text{ oder }}\,\mu (A)=1}$

gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ das Urbild von ${\displaystyle A}$ unter ${\displaystyle T}$.

Es lassen sich noch weitere, äquivalente Definitionen angeben:

• Kompakt lautet die obige Definition, dass die σ-Algebra der T-invarianten Ereignisse ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ eine μ-triviale σ-Algebra sein soll.
• Äquivalent dazu ist, dass jede ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-messbare Funktion fast sicher konstant ist.
• Alternativ kann man auch fordern, dass die einzigen ${\displaystyle T}$-invarianten Funktionen ${\displaystyle f\in L^{1}(\Omega ,\mu )}$ die konstanten Funktionen sind. Dabei heißt eine Funktion ${\displaystyle T}$-invariant, wenn für fast alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ die Gleichung ${\displaystyle f(Tx)=f(x)}$ gilt.

• Falls ${\displaystyle T}$ invertierbar ist, dann gilt: weil alle Orbits

${\displaystyle \left\{T^{n}x,n\in \mathbb {Z} \right\}}$

(mit ${\displaystyle x\in \Omega }$) einer ergodischen Transformation ${\displaystyle T}$-invariant sind, muss insbesondere genau ein Orbit Maß 1 und alle anderen Orbits Maß 0 haben. Insbesondere definiert eine invertierbare ergodische Transformation eine ergodische Wirkung der Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

• Für ergodische Transformationen gilt der Birkhoffsche Ergodensatz:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}f(T^{j}x)=\int _{\Omega }fd\mu }$

für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ und jede Funktion ${\displaystyle f\in L^{1}(\Omega ,\mu )}$.

• Winkelverdopplung

Das Lebesgue-Maß ist ein ergodisches Maß für die Winkelverdopplungsabbildung ${\displaystyle T\colon \left[0,1\right]\to \left[0,1\right]}$.

• Bäcker-Transformation

Das Lebesgue-Maß ist ein ergodisches Maß für die Bäcker-Transformation ${\displaystyle T\colon \left[0,1\right]\to \left[0,1\right]}$

${\displaystyle T(x_{n}):={\begin{cases}2x_{n}&{\mbox{falls }}x_{n}\in [0,1/2]\\2-2x_{n}&{\mbox{falls }}x_{n}\in (1/2,1]\end{cases}}}$

• Rotation auf dem Einheitskreis

Betrachte das System ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,T)}$ bestehend aus der Menge ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$, der Borel-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(\Omega )}$, dem Lebesguemaß ${\displaystyle P=\lambda }$ und der Abbildung ${\displaystyle T:\Omega \to \Omega ,\;x\mapsto x+\alpha {\bmod {1}}}$. Dieses System ist für alle ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ maßerhaltend. Es ist zudem genau dann ergodisch, wenn ${\displaystyle \alpha }$ nicht rational ist, sprich wenn gilt ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$.

• Bernoulli-Shift

Betrachte den Grundraum der ${\displaystyle 0}$-${\displaystyle 1}$-Folgen ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ mit zugehöriger Produkt-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und zugehörigem unendlichen Produktmaß ${\displaystyle P}$ definiert durch ${\displaystyle P_{i}(\{0\})=P_{i}(\{1\})={\frac {1}{2}}}$. Bei der Bernoulli-Abbildung ${\displaystyle T}$ handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum ${\displaystyle \Omega }$, das heißt ${\displaystyle T}$ ist definiert als

${\displaystyle T:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} },\;T(x)_{n}:=x_{n+1}}$

Dann ist das 4-Tupel ${\displaystyle (\{0,1\}^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}},P,T)}$ ein ergodisches dynamisches System.

• Gauß-Abbildung

Sei der Grundraum ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$ und ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}([0,1])}$ die entsprechende Borelsche σ-Algebra. Definiere die Gauß-Abbildung ${\displaystyle T}$ durch

${\displaystyle T:[0,1]\to [0,1],\;T(x):={\begin{cases}{\tfrac {1}{x}}{\bmod {1}}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

Falls nun als Maß das Gaußmaß ${\displaystyle {\text{v}}(A):={\tfrac {1}{\ln(2)}}\int _{A}\,{\tfrac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} \lambda (x)}$, ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}([0,1])}$, gewählt wird, so handelt es sich bei ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),T,v)}$ um ein ergodisches dynamisches System.

• A. Katok und B. Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. ISBN 0-521-34187-6
• B. Bekka und M. Mayer: Ergodic Theory and Topological Dynamics of Group Actions on Homogeneous Spaces. London Math. Soc. Lec. Notes #269. Cambridge U. Press, Cambridge, 2000. ISBN 0-521-66030-0

• C.Walkden: Ergodic Theory (Kapitel 5)