Erblicher Ring

In der Mathematik liefert die Länge einer projektiven Auflösung eines Moduls über einem Ring ${\displaystyle R}$ in einem gewissen Sinne ein Maß dafür, wie „kompliziert“ der Modul ist.

Ein Ring ${\displaystyle R}$ heißt erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven ${\displaystyle R}$-Moduls projektiv ist.[1] Das heißt, jede minimale projektive Auflösung eines Moduls stoppt bereits nach zwei Schritten.

Bei nicht-kommutativen Ringen unterscheidet man zwischen Links- und Rechtserblichkeit: Ein Ring ${\displaystyle R}$ heißt links-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven ${\displaystyle R}$-Linksmoduls projektiv ist.[2] Entsprechend heißt ein Ring ${\displaystyle R}$ rechts-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven ${\displaystyle R}$-Rechtsmoduls projektiv ist. Es gibt Ringe, die links- aber nicht rechts-erblich sind, und umgekehrt (s. u.).