Epanechnikov-Kern

Der Epanechnikov-Kern (nach W. A. Jepanetschnikow) ist derjenige Kern, der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:

1. ${\displaystyle k(x)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
2. ${\displaystyle \int k(x)\,{\mathrm {d} }x=1}$
3. ${\displaystyle \int x^{2}k(x)\,{\mathrm {d} }x=1}$
4. ${\displaystyle \int k^{2}(x)\,{\mathrm {d} }x}$ wird minimiert.

Zeichnung des Epanechnikov-Kerns

Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers. Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form ${\displaystyle a+bx^{2}}$.

Wir wollen die numerischen Faktoren ${\displaystyle a,b}$ des Kerns in Kontext setzen. Betrachte dazu zunächst die normierte Familie ${\displaystyle k_{n,d}(x)}$, deren Terme im Interval ${\displaystyle [-d,d]}$ eine Hügelform annehmen und welche für große n gegen die rechteckige Verteilung der Höhe ${\displaystyle {\tfrac {1}{2d}}}$ konvergiert:

${\displaystyle k_{n,d}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2d}}\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)\left(1-\left({\frac {x}{d}}\right)^{2n}\right)&,|x|\leq d\\0&,|x|>d\end{cases}}}$

Für diese gilt

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}k_{n,d}(x)\,{\mathrm {d} }x={\frac {d^{2n}}{4n+1}}.}$

Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral für ${\displaystyle n=1}$ auf Eins. Für ${\displaystyle \left({\tfrac {d}{\sqrt {4+1}}}\right)^{2}=1}$ wählen wir also ${\displaystyle k_{E}:=k_{1,{\sqrt {5}}}}$[1]:

${\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4{\sqrt {5}}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{5}}\right)&,|x|\leq {\sqrt {5}}\\0&,|x|>{\sqrt {5}}\end{cases}}}$

Mitunter wird auch der Kern mit ${\displaystyle d=1}$ als Epanechnikov-Kern bezeichnet, der dementsprechend die Eigenschaft 3 nicht erfüllt:

${\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4}}(1-x^{2})&,|x|\leq 1\\0&,|x|>1\end{cases}}}$