Energieerhaltungssatz

Zwei beliebige Wege in einem konservativen Kraftfeld

Bei der Bewegung einer Punktmasse in einem konservativen Kraftfeld bleibt die Summe von kinetischer Energie ${\displaystyle T}$ und potentieller Energie ${\displaystyle V,}$ die Gesamtenergie ${\displaystyle E=T+V,}$ erhalten. Dabei ist die Kraft der negative Gradient der potentiellen Energie (oftmals im Jargon auch einfach als Potential bezeichnet)

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V}$.

Bewegt sich eine Punktmasse mit der Zeit ${\displaystyle t}$ in solch einem Kraftfeld auf beliebigen Wegen ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ von einem Startpunkt zu einem Ziel, so ist für die Arbeit, die dabei an der Punktmasse verrichtet wird, der Weg unerheblich. Unabhängig vom Weg ist die verrichtete Arbeit die Differenz der potentiellen Energien an Start und Ziel.

Für eine Punktmasse ${\displaystyle m}$ in einem Potential ${\displaystyle V}$ gelten die Newtonschen Bewegungsgleichungen in der folgenden Form:

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=\mathbf {F} =-\nabla V}$

Das Skalarprodukt mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ liefert auf der linken Seite der Gleichung:

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}\cdot {\dot {\mathbf {x} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {x} }}\cdot {\dot {\mathbf {x} }}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}\right)={\dot {T}}}$

Hier ist ${\displaystyle {\dot {T}}}$ die zeitlich abgeleitete kinetische Energie, die durch die von der Kraft an der Punktmasse verrichtete Arbeit verändert wird. Unter Heranziehung der Kettenregel ergibt sich auf der rechten Seite:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {x} }}(t)&=-\nabla V(\mathbf {x} )\cdot {\dot {\mathbf {x} }}(t)\\&=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial V(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} x_{i}(t)}{\mathrm {d} t}}\\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {x} (t))=-{\dot {V}}\end{aligned}}}$

Eine Integration über die Zeit liefert nun die benötigte Arbeit entlang einer beliebigen (stückweise stetig differenzierbaren) physikalischen Bahn mit der jeweiligen potentiellen Energie ${\displaystyle V_{1}}$ am Start und ${\displaystyle V_{2}}$ am Ziel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{\ddot {\mathbf {x} }}(t)\cdot {\dot {\mathbf {x} }}(t)\;\mathrm {d} t&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {T}}\,\mathrm {d} t=T_{2}-T_{1}\\=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {x} }}(t)\ \mathrm {d} t&=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {V}}\ \mathrm {d} t=-\int _{V_{1}}^{V_{2}}\mathrm {d} V=-V_{2}+V_{1}\\\rightarrow \quad T_{2}-T_{1}&=-V_{2}+V_{1}\end{aligned}}}$

Ordnet man die Terme um, so erhält man:

${\displaystyle T_{1}+V_{1}=T_{2}+V_{2}}$

Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist nach einer Verschiebung der Punktmasse noch dieselbe. Dies ist der Energieerhaltungssatz für Punktmassen.

Kann, beispielsweise bei einem Pendel, die Reibung vernachlässigt werden, so ändert sich die Summe von potentieller und kinetischer Energie nicht mit der Zeit. Lenkt man das Pendel aus, so schwingt es zwischen zwei Umkehrpunkten und erreicht seine höchste Geschwindigkeit am Ort des Potentialminimums. An den Umkehrpunkten ist die kinetische Energie null und die potentielle Energie maximal. Unabhängig von der Position des Pendels hat die Summe aus kinetischer und potentieller Energie den durch die anfängliche Auslenkung vorgegebenen Wert.

Eine auf einen realen Körper wirkende Kraft führt nicht nur zu einer Beschleunigung seines Schwerpunkts, sondern auch zu einer mehr oder weniger ausgeprägten Deformation. In der Hyperelastizität gibt es ein Potential, die Formänderungsenergie ${\displaystyle W}$, deren Zeitableitung die Verformungsleistung ${\displaystyle L}$ ist:

${\displaystyle L:={\dot {W}}}$

Verformungsarbeit wird also vollständig und dissipationslos in Formänderungsenergie umgesetzt und das wegunabhängig. Die geleistete Verformungsarbeit ist immer die Differenz der Formänderungsenergie am Start und Ziel. Die Leistung der an einen hyperelastischen Körper von außen angreifenden Kräfte teilt sich auf in eine Beschleunigung (auch eine Winkelbeschleunigung, die ebenfalls zur kinetischen Energie beiträgt) und eine (reversible) Verformung:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {V}}\ \mathrm {d} t=&\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {T}}\ \mathrm {d} t+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {W}}\ \mathrm {d} t\\\rightarrow \quad -V_{2}+V_{1}=&\ T_{2}-T_{1}+W_{2}-W_{1}\end{aligned}}}$

In diesem System ist die Summe aus kinetischer, potentieller und Formänderungsenergie über die Zeit konstant:

${\displaystyle T_{1}+V_{1}+W_{1}=T_{2}+V_{2}+W_{2}}$

Das ist der Erhaltungssatz für die mechanische Energie deformierbarer, hyperelastischer Körper in einem konservativen Kraftfeld.

Jedes thermodynamische System verfügt über einen bestimmten „Vorrat“ an Energie. Dieser setzt sich aus einem äußeren Anteil ${\displaystyle E_{\text{a}}}$ und einem inneren Anteil ${\displaystyle E_{\text{i}}}$ (innere Energie) zusammen. Die Summe aus beiden Anteilen ergibt die Gesamtenergie eines thermodynamischen Systems, wobei man in der chemischen Thermodynamik die Änderung des äußeren Anteils gleich null setzt (${\displaystyle \mathrm {d} E_{\mathrm {a} }=0}$). Unter dieser Voraussetzung gelangt man zum ersten Hauptsatz der Thermodynamik:

„Die innere Energie ist eine Eigenschaft der stofflichen Bestandteile eines Systems und kann nicht erzeugt oder vernichtet werden. Die innere Energie ist eine Zustandsgröße.“

Für abgeschlossene Systeme gilt daher, dass die innere Energie konstant und demzufolge ihre Änderung gleich null ist. Für geschlossene Systeme lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik:

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W}$

mit der inneren Energie ${\displaystyle U}$, der Wärme ${\displaystyle Q}$ und der Arbeit ${\displaystyle W}$.

Elektromagnetische Felder sind oft nur ein Teilsystem, das an andere Systeme, zum Beispiel geladene Teilchen mit einer gewissen Ladung, Masse und Geschwindigkeit, gekoppelt ist. Die Energiebilanz in der Elektrodynamik, also der Energiestrom in Feldern und der Austausch mit anderen Teilsystemen, wird durch den Satz von Poynting beschrieben.

Ein Körper der Masse ${\displaystyle m}$, der sich mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ bewegt, hat in der speziellen Relativitätstheorie die Energie

${\displaystyle E(v)={\frac {m\ c^{2}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$,

wobei ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit ist. In Ruhe hat er die Ruheenergie

${\displaystyle E_{\text{Ruhe}}=m\ c^{2}}$.

Für kleine Geschwindigkeiten (${\displaystyle v\ll c}$, Taylorentwicklung in ${\displaystyle \left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}$) ist die Energie näherungsweise gleich der Summe aus der Ruheenergie und der kinetischen Energie nach der Newtonschen Mechanik

${\displaystyle E\approx m\ c^{2}+{\frac {1}{2}}\ m\ v^{2}}$.

Bei hochenergetischen Teilchen ist diese Näherung messbar falsch. Nur die Summe der relativistischen Energien bleibt in Teilchenreaktionen erhalten.

Die Betrachtung des Universums mit Mitteln der allgemeinen Relativitätstheorie zeigt, dass der Energieerhaltungssatz auf das Universum als Ganzes nicht anwendbar ist. Insbesondere kann die Gravitationsenergie nicht immer eindeutig in einer Weise definiert werden, die für das Universum als Ganzes gilt. Die Gesamtenergie des Weltalls bleibt demnach weder erhalten noch geht sie verloren – sie ist nicht definierbar.[5]

Die Energie eines quantenmechanischen Zustands bleibt erhalten, wenn der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt. Quantenmechanische Zustände, die sich mit der Zeit messbar ändern, sind keine Energieeigenzustände; in ihnen bleibt aber zumindest der Erwartungswert der Energie erhalten.