Elementare Sprache

Das Alphabet einer Sprache erster Stufe umfasst folgende Zeichen:

1.  ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\ldots }$  Symbole für Variablen;
2.  ${\displaystyle \neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow }$  Junktoren: nicht, und, oder, wenn – so, genau dann wenn;
3.  ${\displaystyle \forall ,\exists }$  Quantoren: für alle, es gibt;
4.  ${\displaystyle \equiv }$  Gleichheitszeichen;
5.  ${\displaystyle ),(}$  technische Zeichen: Klammersymbole;
6.  sowie

a)  für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ eine (eventuell leere) Menge von ${\displaystyle n}$-stelligen Relationssymbolen, alle zusammen: ${\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots }$;

b)  für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ eine (eventuell leere) Menge von ${\displaystyle n}$-stelligen Funktionssymbolen, alle zusammen: ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$;

c)  eine (eventuell leere) Menge von Symbolen für Konstanten ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$ (siehe Anmerkung unten zu 0-stelligen Funktionen).

Die Menge der Zeichen unter Punkt 1 bis 5 sind die logischen Zeichen; sie sind für alle Sprachen erster Ordnung dieselben; sie werden mit A bezeichnet.

Die Menge der Zeichen unter Punkt 6 bezeichnet man als Symbolmenge (auch Signatur) ${\displaystyle S=\{R_{1},R_{2},\ldots ,f_{1},f_{2},\ldots ,c_{1},c_{2},\ldots \}}$; durch sie wird die spezielle Sprache erster Stufe bestimmt.

• In Alphabeten sind bei sonst identischer Definition die Konstanten aus (6)(c) nicht aufgeführt; dafür sind in (6)(a) nullstellige Relationen und Funktionen erlaubt (${\displaystyle n=0}$), letztere entsprechen den Konstanten aus der obigen Definition (siehe auch Nullstellige Verknüpfungen).
• Die einstelligen Relationen definieren Zusammenfassungen wie sie Mengen oder allgemeiner Klassen entsprechen.

Um den Begriff der Gruppe und die definierenden Axiome zu formalisieren, geht man wie folgt vor:

1. Die Variablen ${\displaystyle x,y,z,\ldots }$ stehen für Elemente der Gruppe; außerdem gibt es eine Konstante ${\displaystyle e}$.
2. Es wird ein Symbol ${\displaystyle \circ }$ eingeführt; dieses steht für die zweistellige Verknüpfung zweier Elemente.
3. Assoziativgesetz: ${\displaystyle \forall x\forall y\forall z(x\circ y)\circ z\equiv x\circ (y\circ z)}$
4. Neutrales Element: ${\displaystyle \forall x(x\circ e\equiv x)}$
5. Inverse Elemente: ${\displaystyle \forall x\exists y(x\circ y\equiv e)}$

In diesem Fall gibt es also ein zweistelliges Funktionssymbol ${\displaystyle \circ }$ sowie eine einzige Konstante ${\displaystyle e}$.

1. Wenn ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$ Terme sind, dann ist ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ eine Formel.
2. Wenn ${\displaystyle R}$ ein ${\displaystyle n}$-stelliges Relationssymbol und ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ Terme sind, dann ist ${\displaystyle R(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ eine Formel.[2]

1. Wenn ${\displaystyle \psi }$ eine Formel ist, dann auch ${\displaystyle \neg \psi }$.
2. Wenn ${\displaystyle \psi }$ und ${\displaystyle \theta }$ Formeln sind, dann auch
   • ${\displaystyle \psi \wedge \theta }$
   • ${\displaystyle \psi \vee \theta }$
   • ${\displaystyle \psi \rightarrow \theta }$
   • ${\displaystyle \psi \leftrightarrow \theta }$

Wenn ${\displaystyle \psi }$ eine Formel und ${\displaystyle x}$ ein beliebiges Variablensymbol ist, dann sind auch

${\displaystyle \exists x\psi }$ und

${\displaystyle \forall x\psi }$

Formeln.

Die elementare Sprache ${\displaystyle L^{S}}$ zur Symbolmenge (Signatur) ${\displaystyle S}$ besteht nun aus allen nach den obigen Regeln gebildeten Formeln.