Quantenverschränkung

Verschränkte Zustände sind häufig. Ein verschränkter Zustand entsteht jedes Mal, wenn zwei Teilsysteme miteinander wechselwirken (z. B. miteinander kollidieren) und es danach verschiedene, aber aufeinander abgestimmte Möglichkeiten gibt, wie sie sich weiter verhalten (z. B., in welche Richtung sie nach dem Zusammenstoßen weiterfliegen). Alle diese Möglichkeiten haben nach der Quantenmechanik eine gewisse Wahrscheinlichkeit, mit der sie in entsprechend aufeinander abgestimmter Weise im Zustand des Gesamtsystems bis zum Moment der quantenmechanischen Messung vertreten sein müssen.

Die Verschränkung wird beendet, sobald man eines der Teilsysteme auf einen bestimmten seiner Zustände festlegt. Dann geht sofort auch ein anderes Teilsystem, das durch die Verschränkung mit dem ersten Teilsystem verknüpft war, in denjenigen Zustand über, der dem durch die Beobachtung festgestellten Zustand des ersten Teilsystems zugeordnet war. Der Zustand des Gesamtsystems zeigt dann keine Verschränkung mehr, denn beide Teilsysteme für sich betrachtet sind nun in einem je eigenen bestimmten Zustand.

Als weiteres Beispiel neben dem Zustand nach einem Stoßprozess sei der Grundzustand des Wasserstoffatoms genannt, in dem sich die Spins von Elektron und Proton zum Atomspin Null addieren. Die beteiligten Zustände der beiden Teilchen sind die, in denen sie ihren Spin parallel bzw. antiparallel zur z-Richtung ausgerichtet haben. Im Grundzustand des Atoms findet man für das Elektron wie für das Proton beide Zustände mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Legt man durch eine Messung im Magnetfeld den Spin des Elektrons auf eine dieser Möglichkeiten fest, z. B. auf die (+z)-Richtung, dann erhält der Spin des Protons definitiv auch einen wohlbestimmten Zustand – und zwar den in (−z)-Richtung, was durch eine nachfolgende Messung am Proton bestätigt werden kann. Der Zustand des Atoms ist danach aber ein anderer, nicht verschränkter Zustand, der wiederum als eine Überlagerung der beiden verschränkten Zustände mit Atomspin Null und Eins, jeweils mit gleicher Amplitude, dargestellt werden kann.

Das heißt, wenn man ein verschränktes System in einem gegebenen Zustand hat und durch gleichzeitige Messungen an mehreren Teilsystemen deren Zustand feststellt, dann liegen die Messergebnisse für jedes einzelne Teilsystem nicht fest, sind aber korreliert. Die Unbestimmtheit der Zustände der verschränkten Teilsysteme vor der Beobachtung zusammen mit diesen Korrelationen zwischen den zusammengehörigen Beobachtungsergebnissen stellt eines der größten Probleme für das Verständnis der Quantenphysik dar. Albert Einstein, der dies im Jahr 1935 als Erster in einem Gedankenexperiment theoretisch klar herausarbeitete (siehe EPR-Paradoxon), schloss daraus, dass die Quantenmechanik noch kein zutreffendes Bild von der physikalischen Realität geben könne, denn an eine – so wörtlich – „spukhafte Fernwirkung“, mit der die Messung an einem Teilsystem das Ergebnis der Messung am anderen beeinflussen könnte, um die Korrelationen zu erzeugen, wollte er nicht glauben.

Die Verschränkung und ihre Folgen gehören zu denjenigen Konsequenzen der Quantenmechanik, die zum klassischen (Alltags-)Verständnis besonders deutlich im Widerspruch stehen, und haben damit den meisten Widerstand gegen diese Theorie als ganze hervorgerufen. Auf das Phänomen hat unter der Bezeichnung „Wahrscheinlichkeitsabhängigkeiten“ J. v. Neumann im Jahr 1932 aufmerksam gemacht.[4] Die Bezeichnung als Verschränkung wurde 1935 von Erwin Schrödinger eingeführt.[5] Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen formulierten 1935 den EPR-Effekt, nach dem die Quantenverschränkung zur Verletzung des klassischen Prinzips des lokalen Realismus führen würde, was von Einstein in einem berühmten Zitat als „spukhafte Fernwirkung“ („spooky action at a distance“) bezeichnet wurde. Jedoch konnten die Vorhersagen der Quantenmechanik durch Experimente höchst erfolgreich belegt werden.[6][7]

Viele Wissenschaftler führten dies irrtümlicherweise auf noch unbekannte, deterministische „verborgene Variablen“ zurück, die sowohl dem lokalen Realismus unterworfen seien als auch alle Quantenphänomene erklären könnten. Doch 1964 zeigte John Stewart Bell theoretisch, dass man diese Frage experimentell entscheiden kann. Nach der Bellschen Ungleichung können die Korrelationen durch Quantenverschränkung stärker sein als mit einer beliebigen lokal-realistischen Theorie mit verborgenen Variablen zu erklären wäre. Dies wurde durch Experimente bestätigt, sodass die Quantenverschränkung heute als physikalisches Phänomen allgemein (außer von wenigen Abweichlern) anerkannt ist. John Clauser (erster Test der Bellschen Ungleichung 1972), Alain Aspect und Anton Zeilinger erhielten dafür 2022 den Nobelpreis für Physik. Von Bell stammt auch die Veranschaulichung von Verschränkung und EPR-Effekt anhand des Vergleichs mit „Bertlmanns Socken“.

2008 wurde von der Gruppe um Nicolas Gisin in einem Experiment überdies eine untere Grenze für die Geschwindigkeit einer angenommenen „spukhaften Fernwirkung“ gesetzt: Demnach müssten zwei Photonen, die bezüglich der Polarisation verschränkt waren, mit wenigstens 10.000-facher Lichtgeschwindigkeit kommunizieren, wenn sie denn das Messergebnis der Polarisation an einem Photon an das andere senden würden.[8] Eine solche Kommunikation würde der Relativitätstheorie eklatant widersprechen und unter anderem bedeuten, dass Zeitschleifen möglich wären.

Die Korrelationen durch Verschränkung verletzen nicht die Relativitätstheorie. Zwar liegt immer die Interpretation nahe, die Korrelationen könnten nur durch eine überlichtschnelle Wechselwirkung der verschränkten Teilsysteme zustande kommen. Es handelt sich aber nicht um eine Wechselwirkung, denn hierbei kann keine Information übertragen werden. Die Kausalität ist somit nicht verletzt. Dafür gibt es folgende Gründe:

• Quantenmechanische Messungen sind probabilistisch, das heißt nicht streng kausal.
• Das No-Cloning-Theorem verbietet die statistische Überprüfung verschränkter Quantenzustände, ohne dass diese dabei verändert werden.
• Das No-Communication-Theorem besagt, dass Messungen an einem quantenmechanischen Teilsystem nicht benutzt werden können, um Informationen zu einem anderen Teilsystem zu übertragen.

Zwar ist Informationsübertragung durch Verschränkung allein nicht möglich, wohl aber mit mehreren verschränkten Systemen in Verbindung mit einem klassischen Informationskanal, siehe Quantenteleportation. Trotz dieses Namens können wegen des benötigten klassischen Informationskanals keine Informationen schneller als das Licht übertragen werden.

Insofern kann die Verschränkung selbst keine klassische Informationsübertragung in der Zeit sein. Anton Zeilinger vermutet daher, dass Quantenereignisse in einem gewissen Sinn unabhängig von Raum und Zeit sind.[9] Dies entspricht dem Zustand des Universums beim Urknall.

Bei Photonen bezieht sich die Verschränkung meist auf die Polarisation. Misst man die Polarisation des einen Photons, ist dadurch die Polarisation des anderen Photons festgelegt (z. B. bei linearer Polarisation um 90° gedreht). Die Photonen werden dabei so miteinander verschränkt, dass alle beide unpolarisiert bleiben, die Schwingungsebene der Lichtwellen also nicht festgelegt ist. Sendet man eines der Photonen durch einen Polarisationsfilter, sodass die Polarisationsrichtung des einen bestimmt wird, steht im gleichen Moment auch fest, was eine Messung der Polarisation am anderen ergeben wird, auch wenn es sich kilometerweit von seinem Partner-Photon entfernt hat.[10]

Photonen können auch hinsichtlich der Flugrichtung verschränkt sein.

Die beiden Gammaquanten der Vernichtungsstrahlung bilden ein verschränktes Photonenpaar. Die Verschränkung betrifft sowohl die Flugrichtungen, die einzeln beliebig sein können, aber zusammen (im Schwerpunktsystem) einander exakt entgegengesetzt sind, als auch die Zirkularpolarisation – bei jedem der Photonen rechts und links gleich häufig, aber bei beiden Photonen immer beide rechts oder beide links. Die Richtungsverschränkung ist Grundlage der verbreiteten medizinischen Anwendung in der Positronen-Emissions-Tomographie (PET).

Verschränkte niederenergetische Photonen können durch die parametrische Fluoreszenz (parametric down-conversion) in nichtlinear optischen Kristallen erzeugt werden. Dabei wird aus einem Photon höherer Energie im Kristall ein verschränktes Paar von Photonen mit je halber Energie erzeugt. Die Richtungen, in die diese beiden Photonen abgestrahlt werden, sind stark miteinander und mit der Richtung des eingestrahlten Photons korreliert, sodass man die so erzeugten verschränkten Photonen gut für Experimente (und andere Anwendungen) nutzen kann (siehe z. B. Quantenradierer).

Bestimmte Atomsorten kann man mit Hilfe eines Lasers derart anregen, dass sie bei ihrer Rückkehr in den Grundzustand ebenfalls ein Paar polarisationsverschränkter Photonen abstrahlen. Diese werden jedoch nahezu unkorreliert in beliebiger Raumrichtung abgestrahlt, sodass sie nicht sehr effizient genutzt werden können.

• Bei jeder quantenmechanischen Messung wird das Messobjekt mit dem Messapparat verschränkt, um an dessen „Zeigerstellung“ den Zustand des Messobjekts ablesen zu können.
• Beim Quantenradierer und Delayed-Choice-Experiment wird der Anschein erweckt, Informationen könnten retrokausal gelöscht werden.
• Quantenschlüsselaustausch: Sicherer Austausch von Schlüsseln zwischen zwei Kommunikationspartnern zur verschlüsselten Übermittlung von Information. Der Austausch ist sicher, weil es nicht möglich ist, ihn ohne bemerkbare Störung abzuhören. Die austauschenden Partner können daher ein eventuelles „Mithören“ beim Schlüsselaustausch bemerken. Während der gewöhnliche Quantenschlüsselaustausch auch ohne Verschränkung möglich ist (z. B. mit dem BB84-Protokoll), erlaubt die Verwendung verschränkter Zustände einen sicheren Quantenschlüsselaustausch selbst dann, wenn man den verwendeten Geräten nicht vertraut (man spricht von geräteunabhängiger bzw. device-independent Sicherheit).[11]
• Quantencomputer: Bei Berechnungen mittels Qubits auf einem Quantencomputer spielt die Verschränkung der Qubits eine zentrale Rolle. Einerseits beruht der wesentliche Vorteil von Quantencomputern (dass manche Probleme durch Quantenalgorithmen mit sehr viel weniger Rechenschritten gelöst werden können als auf konventionellen Computern) auf der Verschränkung vieler Qubits im Verlauf der Rechnung.[12][13] Andererseits verwenden auch die Verfahren zur Quantenfehlerkorrektur, die nötig sind, um die Quantenrechnungen vor Dekohärenz zu schützen, verschränkte Zustände.[14]
• In der Quantenmetrologie werden verschränkte Zustände vieler Teilchen verwendet, um die mit begrenzten Ressourcen (Zahl der verwendeten Teilchen) mögliche Messgenauigkeit zu erhöhen.[15]

Die folgende Diskussion setzt Kenntnisse in der Bra-Ket-Notation und der allgemeinen mathematischen Formulierung der Quantenmechanik voraus.

Es seien zwei Systeme ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit den Hilbert-Räumen ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {A}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {B}}}$ gegeben. Der Hilbert-Raum des zusammengesetzten Systems ist der Tensorproduktraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {A}}\otimes {\mathcal {H}}_{\rm {B}}}$. Das System ${\displaystyle A}$ sei im reinen Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle _{\rm {A}}}$ und System ${\displaystyle B}$ im reinen Zustand ${\displaystyle |\phi \rangle _{\rm {B}}}$. Dann ist der Zustand des zusammengesetzten Systems ebenfalls rein und gegeben durch:

${\displaystyle |\psi \rangle _{\rm {A}}\;|\phi \rangle _{\rm {B}}}$

Reine Zustände, die sich in dieser Form schreiben lassen, nennt man separabel oder Produktzustände.

Wählt man Orthonormalbasen ${\displaystyle \{|i\rangle _{\rm {A}}\}}$ und ${\displaystyle \{|j\rangle _{\rm {B}}\}}$ der Hilbert-Räume ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {A}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {B}}}$, dann kann man die Zustände nach diesen Basen entwickeln und erhält mit komplexen Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$ und ${\displaystyle b_{j}}$:

${\displaystyle |\psi \rangle _{\rm {A}}\;|\phi \rangle _{\rm {B}}=\left(\sum _{i}a_{i}|i\rangle _{\rm {A}}\right)\left(\sum _{j}b_{j}|j\rangle _{\rm {B}}\right)}$

Ein allgemeiner Zustand auf ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {A}}\otimes {\mathcal {H}}_{\rm {B}}}$ hat die Form:

${\displaystyle \sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{\rm {A}}\;|j\rangle _{\rm {B}}}$

Die separablen Zustände von ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {A}}\otimes {\mathcal {H}}_{\rm {B}}}$ sind die, deren Koeffizienten die Darstellung ${\displaystyle c_{ij}=a_{i}b_{j}}$ erlauben, die also wie oben faktorisiert werden können. Ist ein Zustand nicht separabel, so nennt man ihn verschränkt.[16]

Zum Beispiel seien zwei Basisvektoren ${\displaystyle \{|0\rangle _{\rm {A}},|1\rangle _{\rm {A}}\}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {A}}}$ und zwei Basisvektoren ${\displaystyle \{|0\rangle _{\rm {B}},|1\rangle _{\rm {B}}\}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {B}}}$ gegeben. Dann ist der folgende Zustand, der sog. „Singulett-Zustand“, verschränkt:[17]

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle _{\rm {A}}|1\rangle _{\rm {B}}-|1\rangle _{\rm {A}}|0\rangle _{\rm {B}}{\Big )}}$

Wenn das zusammengesetzte System in diesem Zustand ist, haben weder ${\displaystyle A}$ noch ${\displaystyle B}$ einen bestimmten Zustand, sondern ihre Zustände sind überlagert und die Systeme sind in diesem Sinne verschränkt.

Als quantenmechanische Messwerte können nur Eigenwerte hermitescher Operatoren auftreten. Seien nun also „Messoperatoren“ ${\displaystyle \Omega ^{(i)}}$ in jedem der beiden Teilsysteme ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ gegeben, welche die folgenden beiden Eigenwertgleichungen erfüllen:

${\displaystyle \Omega ^{(i)}|0\rangle _{(i)}=\lambda _{0}|0\rangle _{(i)}{\text{ und }}\Omega ^{(i)}|1\rangle _{(i)}=\lambda _{1}|1\rangle _{(i)}}$

Durch das Tensorprodukt mit dem Einsoperator ${\displaystyle I}$ kann man mit obigen Messoperatoren der Teilsysteme einen Operator auf dem Tensorproduktraum erzeugen, wobei das System, an dem gemessen wird, dann im Subskript notiert ist:

${\displaystyle \Omega _{A}=\Omega ^{(A)}\otimes I^{(B)}{\text{ bzw. }}\Omega _{B}=I^{(A)}\otimes \Omega ^{(B)}}$

Man nehme an, Alice beobachte System ${\displaystyle A}$, Bob System ${\displaystyle B}$. Wenn Alice die Messung ${\displaystyle \Omega _{\rm {A}}}$ durchführt, können mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Ergebnisse auftreten:[18]

1. Alice misst ${\displaystyle \lambda _{0}}$, und der Zustand des Systems kollabiert zu ${\displaystyle |0\rangle _{\rm {A}}|1\rangle _{\rm {B}}.}$
2. Alice misst ${\displaystyle \lambda _{1}}$, und der Zustand kollabiert zu ${\displaystyle |1\rangle _{\rm {A}}|0\rangle _{\rm {B}}.}$

Im ersten Fall kann (oder konnte) jede Messung ${\displaystyle \Omega _{\rm {B}}}$ durch Bob immer nur ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ergeben, im zweiten Fall immer nur ${\displaystyle \lambda _{0}}$. Also wurde der Zustand des Systems durch die von Alice durchgeführte Messung verändert, auch wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ räumlich getrennt sind. Hier liegt das EPR-Paradoxon begründet, und auch die sog. Quantenteleportation.

Das Ergebnis von Alices Messung ist zufällig, sie kann nicht den Zustand bestimmen, in den das System kollabiert, und kann daher durch Handlungen an ihrem System keine Informationen zu Bob übertragen. Eine zunächst möglich scheinende Hintertür: Sollte Bob mehrere exakte Duplikate der Zustände machen können, die er empfängt, könnte er auf statistischem Weg Informationen sammeln – das No-Cloning-Theorem beweist aber die Unmöglichkeit des Klonens von Zuständen. Daher wird – wie oben erwähnt – die Kausalität nicht verletzt.

Der Grad der Verschränkung eines Zustandes wird durch die Von-Neumann-Entropie ${\displaystyle S=-{\text{tr}}(\rho _{\text{red}}\ln(\rho _{\text{red}}))}$ des reduzierten Dichteoperators des Zustandes gemessen. Die Von-Neumann-Entropie des reduzierten Dichteoperators eines unverschränkten Zustandes ist null. Dagegen ist die Von-Neumann-Entropie eines reduzierten Dichteoperators eines maximal verschränkten Zustandes (wie z. B. eines Bell-Zustandes) maximal.[19]

Hier sei noch darauf hingewiesen, dass es neben den oben besprochenen verschränkten reinen Zuständen (denen die reinen Produktzustände – ohne Verschränkung – gegenüberstehen) die verschränkten gemischten Zustände gibt (denen die gemischten Produktzustände – ohne Verschränkung – gegenüberstehen).

Ob ein gegebener Zustand verschränkt ist, lässt sich mathematisch aus seiner Dichtematrix bestimmen. Hierzu gibt es verschiedene Verfahren, beispielsweise das Peres-Horodecki-Kriterium oder den Test, ob die Schmidt-Zerlegung des Zustandes mehr als einen Term hat.[20]

Für einen reinen verschränkten Zustand ${\displaystyle |B\rangle }$ eines Systems, das sich aus einem Teilsystem 1 und einem Teilsystem 2 zusammensetzt, gilt ${\displaystyle \rho =|B\rangle \langle B|}$. Bildet man die Partialspur über eines der beiden Systeme (z. B. System 1), so erhält man den reduzierten Dichteoperator ${\displaystyle \rho _{2}:={\text{Spur}}_{1}{\rho }}$. Betrachtet man nun das Quadrat des reduzierten Dichteoperators ${\displaystyle \rho _{2}^{2}}$ und ist dieses ungleich ${\displaystyle \rho _{2}}$, so beschreibt der reduzierte Dichteoperator ein Gemisch[21] und somit beschreibt ${\displaystyle \rho }$ einen verschränkten Zustand. Denn bei einem verschränkten Zustand erzeugt die Messung an einem System ein klassisches Gemisch von Zuständen im anderen System aus Sicht aller Beobachter, die das Messergebnis im ersten System nicht kennen. Läge ein nicht-verschränkter Zustand vor, so würde die Messung an einem System den Zustand im anderen System nicht verändern.

Für gemischte Zustände ist der Test auf Verschränkung im Allgemeinen sehr schwierig (NP-schwer).[22] Teilweise Antworten liefern sogenannte Separabilitätskriterien, deren Verletzung eine hinreichende Bedingung für Verschränkung ist. Das historisch und praktisch wichtigste Kriterium ist die Bell-Ungleichung, deren Verletzung in einem Bell-Test-Experiment ein Nachweis für die Verschränkung des untersuchten Zustands ist.

Verschränkung kann auch quantifiziert werden, das heißt, es gibt mehr und weniger stark verschränkte Zustände. Der Grad an Verschränkung wird durch ein Verschränkungsmaß ausgedrückt.

Juan Maldacena und Leonard Susskind stellten 2013 die Hypothese der Äquivalenz (Gleichwertigkeit) von quantenverschränkten Teilchenpaaren (EPR) und speziellen Wurmlöchern in der Quantengravitation auf als Möglichkeit der Lösung des Informationsparadoxons Schwarzer Löcher und dessen Verschärfung im firewall-Paradoxon.[32]

• Helmut Fink: Die Quantenwelt – unbestimmt und nichtlokal? Interpretation verschränkter Zustände. In: Physik in unserer Zeit. 4/2004, S. 168–173.
• Anton Zeilinger: Einsteins Schleier – Die neue Welt der Quantenphysik. Goldmann, München 2005, ISBN 3-442-15302-6.
• Anton Zeilinger: Einsteins Spuk – Teleportation und weitere Mysterien der Quantenphysik. Bertelsmann, München 2005, ISBN 3-570-00691-3.
• Jürgen Audretsch: Verschränkte Systeme – die Quantenphysik auf neuen Wegen. Wiley-VCH, Weinheim 2005, ISBN 3-527-40452-X.
• Ingemar Bengtsson, Karol Zyczkowski: Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-81451-0 (google.de).
• Andreas Buchleitner u. a.: Entanglement and decoherence – foundations and modern trends. Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-88168-1 (springer.com).
• Ryszard Horodecki, Pawel Horodecki, Michal Horodecki, Karol Horodecki: Quantum Entanglement. Reviews of Modern Physics, Band 81, 2009, S. 865–942, arXiv.org.
• Howard Wiseman: Bell’s theorem still reverberates. Nature Comment, 19. Juni 2014.

• Holger Dambeck: Einsteins Spuk ist Tausende Male schneller als das Licht. Spiegel Online Wissenschaft.
• Jeffrey Bub: Quantum Entanglement and Information. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• André Kramer: Quantenkommunikation im All. Bei: heise.de. Kurzer Artikel.
• Ein interaktiver Zugang zur faszinierenden Welt der Quantenphysik.
• You Can’t Get Entangled Without a Wormhole: Physicist Finds Entanglement Instantly Gives Rise to a Wormhole. In: Science Daily. 5. Dezember 2013 (englisch).
• Rebecca Vogt: Abhörsicherheit. Verschränkte Photonen sollen Kommunikation und Daten schützen. In: Maschinenmarkt.Vogel.de. 19. Juli 2017, abgerufen am 4. November 2022.

1. Johanna L. Miller: Three groups close the loopholes in tests of Bell’s theorem. In: Physics Today. Band 69, Nr. 1, 2016, S. 14, doi:10.1063/PT.3.3039 (englisch).
2. Patrick Fraser, Barry Sanders: Loophole-Free Bell Tests and the Falsification of Local Realism. In: Journal for Student Science and Technology. Band 10, Nr. 1, 2017, S. 23–31, doi:10.13034/jsst.v10i1.164, arxiv:1805.09289.
3. Streng genommen gibt es noch eine dritte Möglichkeit, nämlich eine deterministische und lokal-realistische Theorie, in der aber aufgrund spezieller Anfangsbedingungen alles, insbesondere auch jede Messeinstellung in Bell-Experimenten durch die lokal-realistischen Variablen so vorherbestimmt ist, dass die Bell-Ungleichung verletzt wird. Dieser (kaum verfolgte) Ansatz geht auf John Bell zurück und wird als Superdeterminismus bezeichnet, vgl. z. B. John F. Clauser: Early History of Bell’s Theorem. In: R. A. Bertlmann, A. Zeilinger (Hrsg.): Quantum [Un]speakables. Springer, 2002, S. 88 ff. (englisch, und Referenzen darin).
   Bells ursprünglich unveröffentlichter Aufsatz von 1975 erschien später in J. S. Bell, A. Shimony, M. A. Horne, J. F. Clauser: An Exchange on Local Beables. In: Dialectica. Band 39, Nr. 2, 1985, S. 85–110, doi:10.1111/j.1746-8361.1985.tb01249.x, JSTOR:42970534 (englisch).
4. J. v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer (1932, 1968, 1996), S. 227.
5. Schrödinger, E. "Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, Naturwiss. 23 (1935), 807–812, 823–828, 844–849. Erste Erwähnung S. 827.
6. Casey Blood: A primer on quantum mechanics and its interpretations. In: Quantum Physics (quant-ph) 2010
7. Cole Miller: Principles of Quantum Mechanics. (PDF; 51,5 kB). Abgerufen am 19. Dezember 2021.
8. Daniel Salart, Augustin Baas, Cyril Branciard, Nicolas Gisin, Hugo Zbinden: Testing the speed of ‘spooky action at a distance’. In: Nature. 454, 2008, S. 861–864 (Abstract).
9. Quantenwelt:"Unabhängig von Raum und Zeit". Artikel im Medienportal der Universität Wien vom 3. Januar 2013, [ https://medienportal.univie.ac.at/uniview/forschung/detailansicht/artikel/quantenwelt-unabhaengig-von-raum-und-zeit/?no_cache=1 online] abgerufen am 16. März 2024.
10. Verschränkung mit Ansage Max-Planck-Institut 5. Juli 2012
11. Umesh Vazirani, Thomas Vidick: Fully Device-Independent Quantum Key Distribution. In: Phys. Rev. Lett. Band 113, Nr. 14, 2014, S. 140501, doi:10.1103/physrevlett.113.140501, arxiv:1210.1810.
12. R. Jozsa, N. Linden: On the role of entanglement in quantum computational speed-up. In: Proc. R. Soc. A. Band 459, 2003, S. 2011–2032, doi:10.1098/rspa.2002.1097, arxiv:quant-ph/0201143.
13. John Preskill: Quantum Computing in the NISQ era and beyond. In: Quantum. Band 2, 2018, S. 79, doi:10.22331/q-2018-08-06-79, arxiv:1801.00862.
14. M. A. Nielsen, I. L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge MA 2010, ISBN 978-1-107-00217-3, Kapitel 10: Quantum Error Correction (englisch, wordpress.com [PDF]).
15. V. Giovannetti, S. Lloyd, L. Maccone: Advances in quantum metrology. In: Nature Phot. Band 5, 2011, S. 222–229, doi:10.1038/nphoton.2011.35, arxiv:1102.2318.
16. Mit anderen Worten: Für die Koeffizientenmatrix ${\displaystyle C=(c_{ij})}$ separabler Zustände ${\displaystyle \sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{\rm {A}}\;|j\rangle _{\rm {B}}}$ gilt ${\displaystyle \operatorname {rang} C=1}$, für diejenige verschränkter Zustände hingegen ${\displaystyle \operatorname {rang} C>1}$.
17. Verschränkt wäre auch der sogenannte „mittlere Triplett-Zustand“, bei dem das Minus-Zeichen durch ein Plus-Zeichen ersetzt ist. Mathematisch gesehen ergibt sich nur mit dem Minuszeichen die einfachste („identische“) irreduzible Darstellung bei der Ausreduzierung des Tensorproduktes der Darstellungsräume zweier Einteilchensysteme.
18. Anmerkung: Falls der Eigenwert ${\displaystyle a}$ gemessen wurde, befindet sich das System im Zustand ${\displaystyle {\frac {{\hat {\mathbb {P} }}_{a}{\hat {\rho }}{\hat {\mathbb {P} }}_{a}}{\operatorname {Tr} ({\hat {\mathbb {P} }}_{a}{\hat {\rho }}{\hat {\mathbb {P} }}_{a})}}}$. Für die Wahrscheinlichkeiten, einen Eigenwert eines Operators zu messen, gibt es ebenfalls ein Postulat, siehe dazu Dichteoperator#Eigenschaften.
19. Naresh Chandra, Rama Ghosh: Quantum Entanglement in Electron Optics: Generation, Characterization, and Applications. Springer, 2013, ISBN 3-642-24070-4, S. 43. Google Books.
20. Peter Lambropoulos, David Petrosyan: Fundamentals of Quantum Optics and Quantum Information. ISBN 3-540-34571-X, S. 247. Google Books.
21. Für reine Zustände besteht der Dichteoperator nur aus einem Projektor und ist somit idempotent.
22. L. Gurvits: Classical complexity and quantum entanglement. In: J. Comput. Syst. Sci. Band 69, 2004, S. 448–484, doi:10.1016/j.jcss.2004.06.003, arxiv:quant-ph/0201022.
23. Berkeley Lab Press Release: Untangling the Quantum Entanglement Behind Photosynthesis: Berkeley scientists shine new light on green plant secrets.
24. Mohan Sarovar, Akihito Ishizaki, Graham R. Fleming, K. Birgitta Whaley: Quantum entanglement in photosynthetic light harvesting complexes. In: Nature Physics. Band 6, 2010, S. 462, doi:10.1038/nphys1652, arxiv:0905.3787.
25. Briegel, Popescu, Tiersch: A critical view of transport and entanglement in models of photosynthesis. In: Phil. Trans. R. Soc. A. Band 370, 2012, S. 3771, doi:10.1098/rsta.2011.0202, arxiv:1104.3883.
26. Stuart Hameroff, Roger Penrose: Consciousness in the universe. A review of the ‘Orch OR’ theory. In: Physics of life reviews. Band 11, Nr. 1, 2014, S. 39–78, doi:10.1016/j.plrev.2013.08.002.
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