Elektrodynamik

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  Ein durch einen Leiter fließender Strom ${\displaystyle \textstyle I}$ erzeugt um den Leiter ein magnetisches Wirbelfeld ${\displaystyle \textstyle B.}$
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  Zeitliche Änderungen des magnetischen Flusses ${\displaystyle \textstyle B}$ erzeugen ein elektrisches Wirbelfeld ${\displaystyle \textstyle E.}$
• 
  Lorentzkraft ${\displaystyle \textstyle F}$ auf eine in einem elektrischen Feld ${\displaystyle \textstyle E}$ und einem magnetischen Feld ${\displaystyle \textstyle B}$ mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle \textstyle v}$ bewegte Ladung ${\displaystyle \textstyle +q.}$

Das Zusammenspiel von elektromagnetischen Feldern und elektrischen Ladungen wird grundlegend durch die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} {\vec {B}}&=0,&\operatorname {rot} {\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}&=0\,,\\\operatorname {div} {\vec {E}}&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,,&\operatorname {rot} {\vec {B}}-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}&=\mu _{0}\,{\vec {j}}.\end{aligned}}}$

und die Lorentzkraft

${\displaystyle {\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})}$

bestimmt.

Daraus ergeben sich mit Hilfe der Materialgleichungen der Elektrodynamik die makroskopischen Maxwell-Gleichungen. Diese sind Gleichungen für die effektiven Felder, die in Materie auftreten.

Weiter spielen (daraus ableitbar) eine wichtige Rolle:

1. die Kontinuitätsgleichung ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} {\vec {j}}=0}$, die besagt, dass die Ladung erhalten bleibt,
2. der Satz von Poynting, der besagt, dass die Energie von Teilchen und Feldern insgesamt erhalten bleibt.

Die homogenen Maxwellgleichungen

${\displaystyle {\text{div}}\,{\vec {B}}=0}$

und

${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=0}$

können durch die Einführung der elektromagnetischen Potentiale gemäß

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {rot} \,{\vec {A}}}$

und

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\text{grad}}\,\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$

in einem sternförmigen Gebiet identisch gelöst werden (Poincaré-Lemma). Dabei bezeichnet ${\displaystyle \phi }$ das sogenannte skalare Potential und ${\displaystyle {\vec {A}}}$ das Vektorpotential. Da die physikalischen Felder nur durch Ableitungen der Potentiale gegeben sind, hat man gewisse Freiheiten, die Potentiale abzuändern und trotzdem dieselben physikalischen Felder zurückzuerhalten. Beispielsweise ergeben ${\displaystyle {\vec {A}}'}$ und ${\displaystyle {\vec {A}}}$ dasselbe ${\displaystyle B}$-Feld, wenn man sie durch

${\displaystyle {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\text{grad}}\,\Lambda }$

miteinander in Beziehung setzt. Fordert man auch, dass sich bei einer solchen Transformation dasselbe ${\displaystyle E}$-Feld ergibt, muss sich ${\displaystyle \phi }$ wie

${\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$

transformieren. Eine solche Transformation wird Eichtransformation genannt. In der Elektrodynamik werden zwei Eichungen oft verwendet. Erstens die sogenannte Coulomb-Eichung oder Strahlungseichung

${\displaystyle {\text{div}}\,{\vec {A}}=0}$

und zweitens die Lorenz-Eichung

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\text{div}}\,{\vec {A}}=0}$.

Die Lorenz-Eichung hat dabei den Vorteil relativistisch invariant zu sein und sich bei einem Wechsel zwischen zwei Inertialsystemen strukturell nicht zu ändern. Die Coulomb-Eichung ist zwar nicht relativistisch invariant, aber wird eher bei der kanonischen Quantisierung der Elektrodynamik verwendet.

Setzt man die ${\displaystyle E}$- und ${\displaystyle B}$-Felder und die Vakuum-Materialgleichungen in die inhomogenen Maxwellgleichungen ein und eicht die Potentiale gemäß der Lorenz-Eichung, entkoppeln die inhomogenen Maxwellgleichungen und die Potentiale erfüllen inhomogene Wellengleichungen[1]

${\displaystyle \Box \phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,,\,\Box {\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}\,.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \Box }$ den D’Alembert-Operator.

Die Elektrostatik ist der Spezialfall unbewegter elektrischer Ladungen und statischer (sich nicht mit der Zeit ändernder) elektrischer Felder. Sie kann in Grenzen auch verwendet werden, solange die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Ladungen und die Änderungen der Felder klein sind.

Die Magnetostatik beschäftigt sich mit dem Spezialfall konstanter Ströme in insgesamt ungeladenen Leitern und konstanter Magnetfelder. Sie kann für hinreichend langsam veränderliche Ströme und Magnetfelder verwendet werden.

Die Kombination aus beiden, Elektromagnetismus, kann beschrieben werden als Elektrodynamik der nicht zu stark beschleunigten Ladungen. Die meisten Vorgänge in elektrischen Schaltkreisen (z. B. Spule, Kondensator, Transformator) lassen sich bereits auf dieser Ebene beschreiben. Ein stationäres elektrisches oder magnetisches Feld bleibt nahe seiner Quelle, wie zum Beispiel das Erdmagnetfeld. Ein sich veränderndes elektromagnetisches Feld kann sich jedoch von seinem Ursprung entfernen. Das Feld bildet eine elektromagnetische Welle im Zusammenspiel zwischen magnetischem und elektrischem Feld. Diese Abstrahlung elektromagnetischer Wellen wird in der Elektrostatik vernachlässigt. Die Beschreibung des elektromagnetischen Feldes beschränkt sich hier also auf das Nahfeld.

Elektromagnetische Wellen hingegen sind die einzige Form des elektromagnetischen Feldes, die auch unabhängig von einer Quelle existieren kann. Sie werden zwar von Quellen erzeugt, können aber nach ihrer Erzeugung unabhängig von der Quelle weiterexistieren. Da Licht sich als elektromagnetische Welle beschreiben lässt, ist auch die Optik letztlich ein Spezialfall der Elektrodynamik.

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist die Elektrodynamik nicht Galilei-invariant. Das bedeutet, wenn man, wie in der klassischen Mechanik, einen absoluten, euklidischen Raum und eine davon unabhängige absolute Zeit annimmt, dann gelten die Maxwellgleichungen nicht in jedem Inertialsystem.

Einfaches Beispiel: Ein mit konstanter Geschwindigkeit fliegendes, geladenes Teilchen ist von einem elektrischen und einem magnetischen Feld umgeben. Ein zweites, mit gleicher Geschwindigkeit fliegendes und gleich geladenes Teilchen erfährt durch das elektrische Feld des ersten Teilchens eine abstoßende Kraft, da sich gleichnamige Ladungen gegenseitig abstoßen; gleichzeitig erfährt es durch dessen Magnetfeld eine anziehende Lorentzkraft, die die Abstoßung teilweise kompensiert. Bei Lichtgeschwindigkeit wäre diese Kompensation vollständig. In dem Inertialsystem, in dem beide Teilchen ruhen, gibt es kein magnetisches Feld und damit keine Lorentzkraft. Dort wirkt nur die abstoßende Coulombkraft, so dass das Teilchen stärker beschleunigt wird als im ursprünglichen Bezugssystem, in dem sich beide Ladungen bewegen. Dies widerspricht der newtonschen Physik, bei der die Beschleunigung nicht vom Bezugssystem abhängt.

Diese Erkenntnis führte zunächst zu der Annahme, dass es in der Elektrodynamik ein bevorzugtes Bezugssystem gäbe (Äthersystem). Versuche, die Geschwindigkeit der Erde gegen den Äther zu messen, schlugen jedoch fehl, so zum Beispiel das Michelson-Morley-Experiment. Hendrik Antoon Lorentz löste dieses Problem mit einer modifizierten Äthertheorie (Lorentzsche Äthertheorie), die jedoch von Albert Einstein mit seiner speziellen Relativitätstheorie abgelöst wurde. Einstein ersetzte Newtons absoluten Raum und absolute Zeit durch eine vierdimensionale Raumzeit. In der Relativitätstheorie tritt an die Stelle der Galilei-Invarianz die Lorentz-Invarianz, die von der Elektrodynamik erfüllt wird.

In der Tat lässt sich die Verringerung der Beschleunigung und damit die magnetische Kraft im obigen Beispiel als Folge der Längenkontraktion und Zeitdilatation erklären, wenn man die im bewegten System gemachten Beobachtungen in ein ruhendes System zurücktransformiert. In gewisser Weise lässt sich daher die Existenz von magnetischen Phänomenen letztlich auf die Struktur von Raum und Zeit zurückführen, wie sie in der Relativitätstheorie beschrieben wird. Unter diesem Gesichtspunkt erscheint auch die Struktur der Grundgleichungen für statische Magnetfelder mit ihren Kreuzprodukten weniger verwunderlich.

In der manifest Lorentz-forminvarianten Beschreibung der Elektrodynamik bilden das skalare Potential und das Vektorpotential einen Vierervektor, analog zum Vierervektor von Raum und Zeit, so dass die Lorentz-Transformationen analog auch auf die elektromagnetischen Potentiale angewendet werden können. Bei einer speziellen Lorentz-Transformation mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle z}$-Richtung gelten für die Felder im gebräuchlichen SI-Einheitensystem die Transformationsgleichungen:

${\displaystyle E'_{x}={\frac {E_{x}-vB_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$	${\displaystyle B'_{x}={\frac {B_{x}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$
${\displaystyle E'_{y}={\frac {E_{y}+vB_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$	${\displaystyle B'_{y}={\frac {B_{y}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$
${\displaystyle E'_{z}=E_{z}\,}$	${\displaystyle B'_{z}=B_{z}\,}$

(In cgs-Einheiten sind diese Gleichungen nur unwesentlich modifiziert: Man muss formal nur ${\displaystyle {\vec {B}}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {B}}'}$ durch ${\displaystyle {\vec {B}}/c}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {B}}'/c}$ substituieren.)