Elektrische Suszeptibilität

Im einfachsten Fall ist das Medium homogen und isotrop, d. h. überall im Raum gleich und nicht richtungsabhängig. Die elektrische Suszeptibilität lässt sich dann über den Proportionalitätsfaktor zwischen der elektrischen Flussdichte ${\displaystyle D}$ und dem elektrischen Feld ${\displaystyle E}$ definieren:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\vec {D}}&=\varepsilon _{r}\,\varepsilon _{0}{\vec {E}}\\&=(1+\chi _{e})\,\varepsilon _{0}{\vec {E}}\\\Leftrightarrow \chi _{e}&=\varepsilon _{r}-1\\&={\frac {\|{\vec {D}}\|}{\varepsilon _{0}\|{\vec {E}}\|}}-1\end{alignedat}}}$

Dabei ist

• ε₀ die elektrische Feldkonstante,
• ε_r die relative Permittivität.

Teil der elektrischen Flussdichte ${\displaystyle D}$ ist die elektrische Polarisation ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}}$

Für die Polarisation gilt ebenfalls unter Mitwirkung der elektrischen Suszeptibilität im linearen Fall:

${\displaystyle {\vec {P}}=\chi _{e}\varepsilon _{0}{\vec {E}}}$

Für nicht-isotrope, inhomogene Materialien ist der Zusammenhang zwischen Polarisation ${\displaystyle {\vec {P}}}$ und elektrischem Feld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ nicht linear.

${\displaystyle P_{i}/\varepsilon _{0}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots \!}$

Die ${\displaystyle \chi ^{(i)}}$ sind Tensoren ${\textstyle (i+1)}$-ter Stufe. Die Suszeptibilität setzt sich dann aus verschiedenen Anteilen zusammen. Es gibt den linearen Anteil ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$, der im einfachsten Fall ${\displaystyle \chi _{e}}$ aus der obigen Definition entspricht und sonst Doppelbrechung verursacht, den ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$-Anteil, verantwortlich, für den Pockels-Effekt und den ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$-Anteil, verantwortlich für den Kerr-Effekt. Anteile höherer Ordnung können fast immer vernachlässigt werden.

In einem Festkörper werden Elektronen im Leitungsband als Elektronengas bzw. -Plasma angesehen und können mit der Drude-Theorie in ihrem Verhalten berechnet werden:

Realteil:    ${\displaystyle \chi _{e1}=-\omega _{p}^{2}\cdot {\frac {\tau ^{2}}{1+\omega ^{2}\cdot \tau ^{2}}}}$

Imaginärteil:  ${\displaystyle \chi _{e2}=\omega _{p}^{2}\cdot {\frac {\tau /\omega }{1+\omega ^{2}\cdot \tau ^{2}}}}$

Mit der Plasmafrequenz nach Drude:

${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {Ne^{2}}{\varepsilon _{o}m^{*}}}}$

Darin sind:

• ${\displaystyle \tau }$ = Stoßzeit
• ${\displaystyle \omega }$ = Lichtfrequenz
• ${\displaystyle N}$ = Ladungsträgerdichte
• ${\displaystyle e}$ = Elementarladung
• ${\displaystyle m^{*}}$ = effektive Masse

In jedem Festkörper können Ladungsträger durch Einstrahlung elektromagnetischer Energie in ein anderes Band angehoben werden. Diese Interbandübergänge liefern vor allem absorbierende Beiträge. Für diese Mechanismen muss man zusätzlich noch wissen, wie hoch das Ausgangsband besetzt ist, wie viele Plätze im Zielband noch frei sind, ob der Übergang ein direkter oder indirekter ist usw. Für diese vielen verschiedenen Typen von Interbandübergängen gibt es in der Literatur (siehe z. B.[1]) diverse Ansätze zur direkten Angabe ihrer Beiträge zur elektrischen Suszeptibilität.

Bei einem realen Festkörper sind immer mehrere dieser Interbandübergänge gleichzeitig möglich und tragen in verschiedener Gewichtung zum Gesamtbild bei. Durch Berechnung der resultierenden optischen Spektren (von Reflexion oder auch Absorption) mittels einer Ausgleichungsrechnung mit den eingehenden Parametern können letztere anhand experimenteller Messungen für ein bestimmtes Material ermittelt werden.

Bei niedrigeren Frequenzen als für Interbandübergänge sind als Absorptionsmechanismen Molekülschwingungen und -rotationen (siehe bei IR-Spektroskopie, inklusive Beispielspektren) sowie Polarisationsvorgänge möglich.

Wenn man die genaue Natur eines energieabsorbierenden Mechanismus nicht kennt, kann man für erste Abschätzungen den einfachsten Mechanismus annehmen, der so etwas liefert, den harmonischen Oszillator. Er weist eine Eigenfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}}$ auf und damit eine charakteristische Wellenlänge/Frequenz seiner Absorption. Zusätzlich führt man eine Dämpfung ein (unten durch die Stoßzeit ${\displaystyle \tau }$ repräsentiert), die die Spektralstruktur umso mehr verbreitert, je stärker sie wird, sowie eine Oszillatorenstärke ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \chi _{e1}=A\cdot {\frac {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(\omega /\tau )^{2}}}}$

${\displaystyle \chi _{e2}=A\cdot {\frac {\omega /\tau }{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(\omega /\tau )^{2}}}}$