Einsteinsche Feldgleichungen

Zur Aufstellung der Feldgleichungen sind zunächst physikalische Überlegungen notwendig, da die Form der Gleichungen postuliert werden muss. Der physikalische Ausgangspunkt von Einsteins Überlegungen ist das Äquivalenzprinzip: Masse und Energie sind äquivalent und jede Form der Energie induziert schwere Masse.

So wie in der newtonschen Gravitationstheorie die Masse das Gravitationsfeld verursacht, ist der natürlichste Ansatz für deren Verallgemeinerung, dass das Gravitationsfeld mathematisch von der Gestalt des Energie-Impuls-Tensors ${\displaystyle \ T_{\mu \nu }}$ abhängig ist. Nun ist ${\displaystyle \ T_{\mu \nu }}$ kein beliebiger symmetrischer Tensor, da er ${\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=0}$ erfüllen muss. Das heißt, die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors muss lokal, bei fester Raum- und Zeitkoordinate, verschwinden, damit der Energie- und Impulserhaltungssatz aufrechterhalten wird. Im Beitrag des Energie-Impuls-Tensors wird das Äquivalenzprinzip berücksichtigt. Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet neben der Massen-Energiedichte (Masse bzw. Energie pro Raumvolumen) aber auch weitere Beiträge, zum Beispiel den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann.

Entsprechend dem Äquivalenzprinzip sollte die Wirkung der Gravitation als Krümmung der Raumzeit dargestellt werden. Dem Energie-Impuls-Tensor als Quelle des Feldes sollte dementsprechend auf der anderen Seite der Gleichung ein Tensor gleicher Form gegenüberstehen, der die geometrischen Eigenschaften (Krümmung) der Raumzeit beschreibt, der Einsteintensor ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$, aufgebaut aus dem grundlegenden metrischen Tensor und daraus abgeleiteten Krümmungs-Kovarianten und -Invarianten (siehe unten). Die Feldgleichungen nehmen also die Form an:

${\displaystyle \ G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

Die Konstante ${\displaystyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$ heißt einsteinsche Gravitationskonstante oder einfach Einsteinkonstante und wird als Proportionalitätskonstante angenommen (${\displaystyle G}$ ist die Gravitationskonstante).

Aus den bisherigen Überlegungen ergeben sich zusammengefasst diese Forderungen:

1. ${\displaystyle \ G_{\mu \nu }=0}$    für eine flache Raumzeit, d. h. in Abwesenheit von Gravitation.
2. ${\displaystyle \ \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=0}$   für die Energie-Impuls-Erhaltung.
3. ${\displaystyle \ \nabla _{\nu }G^{\mu \nu }=0}$  aufgrund obiger Forderung für ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$.
4. ${\displaystyle \ T_{\mu \nu }}$  ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, daher muss dies auch für ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ gelten.
5. ${\displaystyle \ G_{\mu \nu }}$  ist dementsprechend eine Kombination aus den grundlegenden geometrischen Kovarianten, die (symmetrische) Tensoren zweiter Stufe sind, dem Krümmungstensor ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ und dem metrischen Tensor ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$.

Aus diesen Forderungen ergeben sich die Feldgleichungen:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$.

Hierbei ist ${\displaystyle G}$ die Gravitationskonstante, ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit, ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ der Ricci-Tensor, ${\displaystyle R}$ der Krümmungsskalar und ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ der metrische Tensor.

Die Feldgleichungen können auch mit umgekehrtem Vorzeichen vor der Einsteinkonstanten definiert werden

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=-\kappa T_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$.

Dieses Vorzeichen ist rein von der verwendeten Konvention abhängig und physikalisch nicht bedeutend; beide Konventionen sind weit verbreitet.

Die Feldgleichungen können auch umgeformt und dargestellt werden als

${\displaystyle R_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)}$.

Hierbei ist ${\displaystyle T=T_{\mu }^{\mu }=g^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$ der Laue-Skalar.

Die obigen Forderungen gestatten auch einen Term proportional dem metrischen Tensor auf der linken Seite, was zu Feldgleichungen mit einer kosmologischen Konstanten führt (siehe unten).

Zu den Feldgleichungen kommt noch die Bewegungsgleichung für sich auf einer Geodäte bewegende Testteilchen hinzu, die sogenannte Geodätengleichung (siehe Allgemeine Relativitätstheorie). Insgesamt drückt sich in den Feld- und Bewegungsgleichungen eine dynamische gegenseitige Beeinflussung von Energie-Impuls-Verteilung und Geometrie der Raumzeit aus.

Die Feldgleichungen bilden ein System von 16 gekoppelten partiellen Differentialgleichungen, die durch Symmetrien auf 10 reduziert werden. Außerdem gibt es die vier Bianchi-Identitäten, die sich aus der Energie-Impuls-Erhaltung ergeben und das System weiter reduzieren. Es sind eine ganze Reihe exakter Lösungen bekannt, die meist bestimmten zusätzlichen Symmetrieforderungen genügen. Im materiefreien Raum haben die Feldgleichungen hyperbolischen Charakter, das heißt die Lösungen entsprechen Wellengleichungen (mit der Lichtgeschwindigkeit als maximaler Ausbreitungsgeschwindigkeit). Im Allgemeinen können sie nur numerisch gelöst werden, wofür es ausgefeilte Techniken und ein eigenes Spezialgebiet (Numerische Relativität) gibt. Es gibt auch einige exakte mathematische Resultate wie die Wohlgestelltheit des Cauchy-Problems (Yvonne Choquet-Bruhat), die Singularitäten-Theoreme von Roger Penrose und Stephen Hawking oder Resultate von Demetrios Christodoulou über die Stabilität des Minkowskiraums (mit Sergiu Klainerman) und die Instabilität nackter Singularitäten.

Im Grenzfall schwacher Gravitationsfelder und kleiner Geschwindigkeiten ergeben sich die üblichen newtonschen Gravitationsgleichungen einer Massenverteilung (und die sich hier ergebenden Gleichungen sind damit als partielle Differentialgleichungen vom elliptischen Typ). Bei kleinen Feldern wurde zudem die Post-Newton-Näherung entwickelt, um beispielsweise die allgemeine Relativitätstheorie mit alternativen Gravitationstheorien anhand von Beobachtungen vergleichen zu können.

Betrachtet man beispielsweise den Außenraum von Sternen, wo sich als Näherung keine Materie aufhält, so wird ${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$ gesetzt. Man nennt dann

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=0}$

die Vakuumfeldgleichungen und ihre Lösungen Vakuumlösungen. Durch Multiplizieren mit ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ergibt sich mithilfe von ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$ und ${\displaystyle g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4}$[1] die Folgerung, dass im Vakuum ${\displaystyle R=0}$ und damit

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$.

Für die Umgebung einer nicht rotierenden und elektrisch neutralen Kugel der Masse ${\displaystyle M}$ erhält man in Kugelkoordinaten hieraus beispielsweise die äußere Schwarzschild-Lösung, deren Linienelement die Form

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-c^{2}{\Bigl (}1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}{\Bigr )}\,\mathrm {d} t^{2}+{\Bigl (}1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}{\Bigr )}^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}}$

besitzt.

Die Invariante der Theorie, ${\displaystyle \mathrm {d} s,}$ verallgemeinert den speziell-relativistischen Begriff der Eigenzeit, unter anderem durch Berücksichtigung der Gravitation des betrachteten Himmelskörpers. Besonderheiten ergeben sich bei Unterschreiten eines kritischen Wertes für den Radius ${\displaystyle r}$, nämlich für ${\displaystyle r<2GM/c^{2}}$ (siehe Schwarzes Loch).

Wird für ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ der elektromagnetische Energie-Impuls-Tensor

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu }{}^{\alpha }F_{\alpha \nu }+{\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }g_{\mu \nu }\right)}$

in die Feldgleichungen eingesetzt

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\,\left(F_{\mu }{}^{\alpha }F_{\alpha \nu }+{\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }g_{\mu \nu }\right)}$

so spricht man von den Einstein-Maxwell-Gleichungen.

Ausgehend von den oben angegebenen Grundannahmen lässt sich ein weiterer additiver Term zum Einsteintensor hinzuzufügen, der aus einer Konstanten ${\displaystyle \Lambda }$ und dem metrischen Tensor besteht. Damit ist die Forderung der Divergenzfreiheit noch immer erfüllt und so nehmen die Feldgleichungen die Form

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$

an. Hierbei ist ${\displaystyle \Lambda }$ die kosmologische Konstante, die von Einstein in die Feldgleichungen eingebaut und so gewählt wurde, dass das Universum statisch wird; dies war die damals sinnvollste Anschauung. Es stellte sich jedoch heraus, dass das so von der Theorie beschriebene Universum instabil ist. Als Edwin Hubble schließlich nachwies, dass das Universum expandiert, verwarf Einstein seine Konstante. Heute jedoch spielt sie erneut eine Rolle durch Ergebnisse der beobachtenden Kosmologie ab den 1990er Jahren.

• Albert Einstein: Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, S. 844–847, 25. November 1915.
• Max Kohler: Beiträge zum kosmologischen Problem und zur Lichtausbreitung in Schwerefeldern. In: Annalen der Physik, Band 408, Nr. 2 (1933), S. 129–161.
• Max Kohler: Zur Herleitung der Feldgleichungen in der allgemein-relativistischen Gravitationstheorie. In: Zeitschrift für Physik 134/3 (1953), S. 306–316.
• Bernd G. Schmidt: Einstein's field equations and their physical implications. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67073-4.
• Hans Stephani: Exact solutions of Einstein's field equations. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-46136-7.
• Yvonne Choquet-Bruhat: General relativity and the Einstein equations. Oxford Univ. Press, Oxford 2009, ISBN 978-0-19-923072-3.

• Video: Einsteinsche Feldgleichungen. Jörn Loviscach 2004, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19911.

1. allgemeiner die Anzahl Dimensionen, da ${\displaystyle g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }}$ die Spur der Einheitsmatrix ist