Einsmatrix

Eine Einsmatrix lässt sich auch als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen:

${\displaystyle 1\!\!1_{mn}=1\!\!1_{m}\otimes 1\!\!1_{n}=1\!\!1_{m}\cdot (1\!\!1_{n})^{T}}$.

Die Transponierte einer Einsmatrix ist wieder eine Einsmatrix, also

${\displaystyle (1\!\!1_{mn})^{T}=1\!\!1_{nm}}$.

Die Einsmatrix ${\displaystyle 1\!\!1_{mn}}$ ist zudem das neutrale Element in dem Matrizenring ${\displaystyle (R^{m\times n},+,\circ )}$, wobei ${\displaystyle A+B}$ die Matrizenaddition und ${\displaystyle A\circ B}$ das Hadamard-Produkt sind. Damit gilt für alle Matrizen ${\displaystyle A\in R^{m\times n}}$

${\displaystyle A\circ 1\!\!1_{mn}=1\!\!1_{mn}\circ A=A}$.

Ist nun ${\displaystyle R}$ ein Körper, dann gilt für den Rang einer Einsmatrix

${\displaystyle \operatorname {rang} (1\!\!1_{mn})=1}$.

Die Determinante einer quadratischen Einsmatrix ist dann

${\displaystyle \det(1\!\!1_{nn})={\begin{cases}0&{\text{falls}}~n>1,\\1&{\text{falls}}~n=1.\end{cases}}}$

Die Spur einer quadratischen Einsmatrix über den reellen oder komplexen Zahlen ist

${\displaystyle \operatorname {spur} (1\!\!1_{nn})=n}$.

Das charakteristische Polynom einer reellen oder komplexen Einsmatrix ${\displaystyle 1_{nn}}$ ergibt sich als

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{n-1}(\lambda -n)}$.

Die Eigenwerte sind entsprechend

${\displaystyle \lambda _{1}=n}$   und   ${\displaystyle \lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0}$.

Zugehörige Eigenvektoren sind

${\displaystyle (1,\ldots ,1)^{T}}$   und   ${\displaystyle (1,-1,0,\ldots ,0)^{T},\ldots ,(0,\ldots ,0,1,-1)^{T}}$.

Für das Produkt zweier reeller oder komplexer Einsmatrizen passender Größe gilt

${\displaystyle 1\!\!1_{mn}\cdot 1\!\!1_{no}=n\cdot 1\!\!1_{mo}}$.

Damit berechnet sich die ${\displaystyle k}$-te Potenz einer quadratischen Einsmatrix für ${\displaystyle k\geq 1}$ als

${\displaystyle (1\!\!1_{nn})^{k}=n^{k-1}1\!\!1_{nn}}$.

Daher ist die Matrix ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}1\!\!1_{nn}}$ idempotent, das heißt

${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}1\!\!1_{nn}\cdot {\tfrac {1}{n}}1\!\!1_{nn}={\tfrac {1}{n}}1\!\!1_{nn}}$.

Für das Matrixexponential der Einsmatrix gilt

${\displaystyle \exp(1\!\!1_{nn})=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1\!\!1_{nn})^{k}}{k!}}=I_{n}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n^{k-1}}{k!}}\cdot 1\!\!1_{nn}=I_{n}+{\frac {e^{n}-1}{n}}\cdot 1\!\!1_{nn}}$,

wobei ${\displaystyle I_{n}}$ die Einheitsmatrix der Größe ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle e}$ die Eulersche Zahl sind.