Einschnürungssatz

Seien ${\displaystyle x_{n}}$ und ${\displaystyle y_{n}}$ zwei reelle Folgen mit ${\displaystyle x_{n}\rightarrow a}$, ${\displaystyle y_{n}\rightarrow a}$ und ${\displaystyle x_{n}\leq y_{n}}$ für fast alle (alle bis auf endlich viele) ${\displaystyle n}$. Ist ${\displaystyle w_{n}}$ eine weitere Folge mit ${\displaystyle x_{n}\leq w_{n}\leq y_{n}}$ für fast alle ${\displaystyle n}$, so konvergiert ${\displaystyle w_{n}}$, und zwar ebenfalls gegen ${\displaystyle a}$.[1]

Es sei ${\displaystyle I}$ ein Intervall, das einen Wert ${\displaystyle a}$ enthält. Es seien ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ auf ${\displaystyle I\setminus \lbrace a\rbrace }$ definierte Funktionen. Wenn für jedes ${\displaystyle x\neq a}$ aus ${\displaystyle I}$ gilt

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x),}$

sowie

${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L}$,

dann ist ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$.

${\displaystyle a}$ muss nicht inmitten von ${\displaystyle I}$ liegen. Ist ${\displaystyle a}$ Randpunkt von ${\displaystyle I}$, so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links- bzw. rechtsseitige. Ähnliches gilt auch für unendliche Intervalle: Ist beispielsweise ${\displaystyle I=[0,\infty )}$, so gilt der Satz auch für die Grenzwertuntersuchung ${\displaystyle x\to \infty }$.

Zum Beweis folgt aus den Annahmen direkt

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L}$,

so dass die Ungleichungen tatsächlich Gleichungen sind und ${\displaystyle f}$ daher auch gegen ${\displaystyle L}$ strebt.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie der Satz praktisch angewendet wird.

Beispiel 1

f (blau) mit Schrankenfunktionen g (rot) und h (grün)

Man betrachte ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \!\left({\tfrac {1}{x}}\right)}$, das auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ außer für ${\displaystyle x=0}$ definiert ist. Den Grenzwert für ${\displaystyle x\to 0}$ auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei ${\displaystyle x=0}$ nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von de L’Hospital kann auch nicht angewendet werden, da ${\displaystyle \sin \!\left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ überall oszilliert und keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.

Da die Sinusfunktion betragsmäßig durch 1 begrenzt ist, ist ${\displaystyle x^{2}}$ betragsmäßig eine passende Schranke für ${\displaystyle f}$. In anderen Worten gilt mit ${\displaystyle g(x)=-x^{2}}$ und ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}-1&\leq &\sin {\frac {1}{x}}&\leq &1\\-x^{2}&\leq &x^{2}\sin {\frac {1}{x}}&\leq &x^{2}\\g(x)&\leq &f(x)&\leq &h(x)\end{matrix}}}$

${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ sind Polynomfunktionen und deshalb stetig, daher gilt

${\displaystyle \lim _{x\to 0}g(x)=\lim _{x\to 0}h(x)=0}$.

Aus dem Einschnürungssatz folgt nun

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0}$.

Beispiel 3

${\displaystyle {\begin{aligned}&\,F(\triangle ADF)\geq F({\text{Sektor}}\,ADB)\geq F(\triangle ADB)\\\Rightarrow &\,{\frac {1}{2}}\cdot \tan(x)\cdot 1\geq {\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi \geq {\frac {1}{2}}\cdot \sin(x)\cdot 1\\\Rightarrow &\,{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\geq x\geq \sin(x)\\\Rightarrow &\,{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{x}}\leq {\frac {1}{\sin(x)}}\\\Rightarrow &\,\cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1\end{aligned}}}$

Durch elementargeometrische Überlegungen am Einheitskreis (siehe Zeichnung rechts) lässt sich zeigen, dass

${\displaystyle \cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1}$.[2]

Wegen

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\cos(x)=1}$

folgt mit dem Einschnürungssatz

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$.

Dieser Grenzwert ist bei der Bestimmung der Ableitungsfunktion des Sinus behilflich.

Die Hauptidee dieses Beweises ist es, die relativen Unterschiede der Funktionen ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ zu betrachten. Dies hat den Effekt, dass die untere Schrankenfunktion konstant null ist, was den Beweis im Detail deutlich einfacher macht. Der allgemeine Fall wird dann auf algebraischem Wege bewiesen. Im Spezialfall ${\displaystyle g(x)=0}$ und ${\displaystyle L=0}$ gilt

${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$.

Sei ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein fester Wert. Gemäß der Definition des Grenzwerts einer Funktion existiert nun ein ${\displaystyle \delta >0}$, sodass

wenn gilt ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$, dann ist ${\displaystyle |h(x)|<\varepsilon }$.

Für alle ${\displaystyle x\neq a}$ aus ${\displaystyle I}$ gilt gemäß Annahme

${\displaystyle 0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$,

also gilt

${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|}$.

Daraus schließt man, dass

wenn gilt ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$, dann ist ${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon }$.

Damit ist bewiesen, dass

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$.

Für beliebige ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle L}$ gilt nun für jedes ${\displaystyle x\neq a}$ aus ${\displaystyle I}$

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$.

Nun subtrahiert man ${\displaystyle g(x)}$ von jedem Ausdruck:

${\displaystyle 0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)}$.

Da für ${\displaystyle x\to a}$ sowohl ${\displaystyle g(x)}$ als auch ${\displaystyle h(x)}$ gegen ${\displaystyle L}$ streben gilt

${\displaystyle h(x)-g(x)\to L-L=0}$.

Mit dem oben bewiesenen Spezialfall folgt

${\displaystyle f(x)-g(x)\to 0}$ für ${\displaystyle x\to a}$

und daraus dann

${\displaystyle f(x)=(f(x)-g(x))+g(x)\to 0+L=L}$.

Eine maßtheoretische Verallgemeinerung ist der Satz von Pratt, bei dem durch die Einschnürung mittels lokal nach Maß konvergenten Funktionenfolgen auf die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Integration der eingeschnürten Funktionenfolge sowie auf die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschlossen werden kann.

• Wolfgang Walter: Analysis 1. Springer, 5-te Auflage, 2013, ISBN 9783662056981, S. 63, 119

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz – Lern- und Lehrmaterialien

• C. Sean Bohun: The Squeeze Theorem. 9. Februar 2013, abgerufen am 6. April 2013 (englisch, PDF).
• Joseph M. Ling: Examples on Limits of Functions: The Squeeze Theorem. (PDF; 96 kB) 2. Oktober 2001, archiviert vom Original am 20. September 2008; abgerufen am 9. Februar 2013 (englisch).

1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Mathematische Leitfäden. 17. Auflage. Teil 1. Vieweg+Teubner (Springer), Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 152 (Auszug).
2. Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, ISBN 9783322986283, S. 80-81. Siehe auch Salman Khan : Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (Video, Khan Academy (englisch))