Intervall (Mathematik)

Sei ${\displaystyle a<b}$. Ein beschränktes Intervall mit der unteren Grenze ${\displaystyle a}$ und der oberen Grenze ${\displaystyle b}$ ist abgeschlossen, wenn es beide Grenzen[2] enthält, und offen, wenn beide Grenzen nicht enthalten sind. Ein beschränktes Intervall heißt halboffen, wenn es genau eine der beiden Intervallgrenzen enthält.

${\displaystyle [a,b]:=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$

Das Intervall enthält im Normalfall (${\displaystyle b\geq a}$) sowohl ${\displaystyle a}$ als auch ${\displaystyle b}$. Im Sonderfall ${\displaystyle b<a}$ ist das Intervall leer.

Ein Intervall ist genau dann kompakt, wenn es abgeschlossen und beschränkt ist.

${\displaystyle (a,b)={]a,b[}:=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$

Das Intervall enthält weder ${\displaystyle a}$ noch ${\displaystyle b}$. Die Notation ${\displaystyle (a,b)}$ ist die traditionell verwendete, während ${\displaystyle {]a,b[}}$ auf Bourbaki zurückgeht.[3]

${\displaystyle [a,b)={[a,b[}:=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}}$

Das Intervall enthält im Normalfall (${\displaystyle b>a}$) zwar ${\displaystyle a}$, aber nicht ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle (a,b]={]a,b]}:=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}}$

Das Intervall enthält im Normalfall (${\displaystyle b>a}$) zwar nicht ${\displaystyle a}$, wohl aber ${\displaystyle b}$.

Im Fall von ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b=1}$ heißt ${\displaystyle (a,b)}$ das offene Einheitsintervall und ${\displaystyle [a,b]}$ das abgeschlossene Einheitsintervall.

Wenn auf einer Seite die Intervallgrenze fehlt, es dort also keine Schranke geben soll, spricht man von einem (auf dieser Seite) unbeschränkten Intervall. Meist werden hierfür die bekannten Symbole ${\displaystyle -\infty }$ und ${\displaystyle \infty }$ als „Ersatz“-Intervallgrenzen verwendet, die selbst nie[4] zum Intervall gehören (deshalb die Schreibung mit runder Klammer). In mancher Literatur werden beschränkte Intervalle auch als eigentlich, unbeschränkte als uneigentlich bezeichnet.

Linksseitig unendliches abgeschlossenes Intervall

${\displaystyle (-\infty ,b]={]{-\infty ,b}]}:=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}}$

Es enthält alle Zahlen, die kleiner oder gleich ${\displaystyle b}$ sind.

Linksseitig unendliches offenes Intervall

${\displaystyle (-\infty ,b)={]{-\infty ,b}[}:=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\}}$

Es enthält alle Zahlen, die kleiner als ${\displaystyle b}$ sind.

Rechtsseitig unendliches abgeschlossenes Intervall

${\displaystyle [a,\infty )={[{a,\infty }[}:=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\}}$

Es enthält alle Zahlen, die größer oder gleich ${\displaystyle a}$ sind.

Rechtsseitig unendliches offenes Intervall

${\displaystyle (a,\infty )={]{a,\infty }[}:=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\}}$

Es enthält alle Zahlen, die größer als ${\displaystyle a}$ sind.

Beidseitig unendliches offenes (und zugleich abgeschlossenes) Intervall

${\displaystyle (-\infty ,\infty )={]{-\infty ,\infty }[}:=\mathbb {R} }$

Es enthält alle Zahlen zwischen ${\displaystyle -\infty }$ und ${\displaystyle +\infty }$. Dies entspricht der gesamten Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen.[4]

Bei obiger Definition wird übrigens nicht ${\displaystyle a\leq b}$ gefordert, sodass für ${\displaystyle a>b}$ jedes Intervall leer ist. Daneben existieren auch je nach Anwendung Definitionen, die solche Intervalle nicht erlauben oder im Falle ${\displaystyle a>b}$ einfach die Grenzen vertauschen.

Zur Vermeidung von Verwechslungen mit dem Dezimalkomma wird als Trennzeichen auch das Semikolon (;), selten auch ein senkrechter Strich (|) verwendet, z. B.

${\displaystyle (0,2{,}5]=(0;2{,}5]=(0|2{,}5].}$

Analog definiert man für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ im n-dimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ein beliebiges n-dimensionales Intervall (Quader)

${\displaystyle I:=I_{1}\times \dotsb \times I_{n}}$ mit beliebigen Intervallen ${\displaystyle I_{1},\dotsc ,I_{n}\subseteq \mathbb {R} .}$

Es seien nun ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle a=(a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ und ${\displaystyle b=(b_{1},\dotsc ,b_{n})}$, dann gilt speziell:

Abgeschlossenes Intervall

${\displaystyle [a,b]:=\{(x_{1},\dotsc ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1},\dotsc ,a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\}.}$

Offenes Intervall

${\displaystyle (a,b)={]{a,b}[}:=\{(x_{1},\dotsc ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}<x_{1}<b_{1},\dotsc ,a_{n}<x_{n}<b_{n}\}.}$

Halboffenes (genauer rechtsoffenes) Intervall

${\displaystyle [a,b)={[{a,b}[}:=\{(x_{1},\dotsc ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}\leq x_{1}<b_{1},\dotsc ,a_{n}\leq x_{n}<b_{n}\}.}$

Halboffenes (genauer linksoffenes) Intervall

${\displaystyle (a,b]={]{a,b}]}:=\{(x_{1},\dotsc ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}<x_{1}\leq b_{1},\dotsc ,a_{n}<x_{n}\leq b_{n}\}.}$