Eilenberg-MacLane-Raum

• Der Kreis ${\displaystyle S^{1}}$ ist ein ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$. (Siehe Example 1B.1 in Algebraic Topology[1])
• Der unendliche reelle projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ ist ein ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$. (Siehe Example 1B.3 in Algebraic Topology[1])
• Der unendliche komplexe projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ ist ein Modell eines ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$. (Siehe Example 4.50. in Algebraic Topology[1])
• Eine Verallgemeinerung von ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ als ein ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$ ist ein unendlich dimensionaler Linsenraum ${\displaystyle L(\infty ,q)}$, definiert durch den Quotienten von ${\displaystyle S^{\infty }}$ unter der freien Operation ${\displaystyle (z\mapsto e^{2\pi im/q}z)}$ für ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} /q}$. ${\displaystyle L(\infty ,q)}$ ist ein ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /q,1)}$. (Siehe Example 1B.4 in Algebraic Topology[1]) Dies folgt, indem man Überlagerungstheorie und die Tatsache, dass die unendlich dimensionale Sphäre ${\displaystyle S^{\infty }}$ zusammenziehbar ist.[2]
• Das Bouquet von ${\displaystyle k}$ Kreisen ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}}$ ist ein ${\displaystyle K(F_{k},1)}$ für die freie Gruppe ${\displaystyle F_{k}}$ mit ${\displaystyle k}$ Erzeugern.
• Das Komplement eines zusammenhängenden Knotens oder Graphen in einer 3-dimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$ ist ein ${\displaystyle K(G,1)}$. (Siehe Example 1B.6 in Algebraic Topology[1]) Dies ist eine Theorem von Christos Papakyriakopoulos.[3]
• Die geschlossene, kompakte orientierbare Fläche ${\displaystyle S_{g}}$ vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 1}$ ist ein ${\displaystyle K(\pi _{1}S_{g},1)}$ für die Flächengruppe ${\displaystyle \pi _{1}S_{g}}$.
• Allgemeiner ist jede Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung (und allgemeiner jeder metrische Raum, dessen universelle Überlagerung ein CAT(0)-Raum ist) ein ${\displaystyle K(G,1)}$. Darunter fallen lokal-symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ, insbesondere hyperbolische Mannigfaltigkeiten. Siehe hierzu auch Satz von Cartan-Hadamard.
• Der Konfigurationsraum von ${\displaystyle n}$ Punkten in der Ebene ist ein ${\displaystyle K(P_{n},1)}$, wobei ${\displaystyle P_{n}}$ die reine Zopfgruppe der n-strängigen Zöpfe ist.
• Entsprechend ist der ${\displaystyle n}$-te ungeordnete Konfigurationsraum von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ein ${\displaystyle K(B_{n},1)}$, wobei ${\displaystyle B_{n}}$ die Zopfgruppe der n-strängigen Zöpfe bezeichnet.
• Das unendliche symmetrische Produkt ${\displaystyle SP(S^{n})}$ einer n-Sphäre ist ein ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$. Allgemeiner ist ${\displaystyle SP(M(G,n))}$ ein ${\displaystyle K(G,n)}$ für jeden Moore-Raum ${\displaystyle M(G,n)}$.

Weitere elementare Beispiele können unter der Berücksichtigung, dass das Produkt ${\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)}$ ein ${\displaystyle K(G\times H,n)}$ ist, konstruiert werden: Beispielsweise ist der n-dimensionale Torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ein ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ^{n},1)}$. (Siehe Example 1B.5 in Algebraic Topology[1])

Für ${\displaystyle n=1}$ und ${\displaystyle G}$ eine beliebige Gruppe ist die Konstruktion eines ${\displaystyle K(G,1)}$ identisch zu der eines klassifizierenden Raumes der Gruppe ${\displaystyle G}$. Beachte, falls ${\displaystyle G}$ ein Torsionselement besitzt, dann ist der jeder CW-Komplex mit Homotopietyp ${\displaystyle K(G,1)}$ bereits unendlichdimensional.

Es gibt mehrere Techniken, höhere Eilenberg-MacLane Räume zu konstruieren. Eine dieser ist einen Moore-Raum ${\displaystyle M(A,n)}$ für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle A}$ zu konstruieren : Betrachte einen Bouquet von n-Sphären, eine für jeden Erzeuger von ${\displaystyle A}$ und realisiere die in ${\displaystyle A}$ geltenden Relationen durch ankleben von ${\displaystyle n+1}$-Zellen entlang entsprechender Abbildung in ${\displaystyle \pi _{n}(\bigvee S^{n})}$ von eben diesem Bouquet. Beachte, dass die niedrigeren Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{i<n}(M(A,n))}$ bereits trivial nach Konstruktion sind. Nun eliminieren wir die höheren Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{i>n}(M(A,n))}$ durch sukzessives Ankleben von Zellen der Dimension größer als ${\displaystyle n+1}$ und definieren ${\displaystyle K(A,n)}$ als direkter Limes unter Inklusion dieser Iteration.

Eine andere nützliche Methode ist die geometrische Realisierung von simplizialen abelschen Gruppen zu nutzen.[4]

Eine weitere simpliziale Konstruktion in Hinsicht auf Klassifizierende Räume und universelle Bündel ist in J. Peter May’s Buch[5] zu finden.

Eine interessante Eigenschaft von ${\displaystyle K(G,n)}$'s ist, dass es für jede abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ und jeden punktierten CW-Komplex ${\displaystyle X}$, für die Menge ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ von Homotopieklassen von punktieren stetigen Abbildungen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle K(G,n)}$ eine natürliche Bijektion mit der ${\displaystyle n}$-ten Singulären Kohomologie ${\displaystyle H^{n}(X,G)}$ des Raumes ${\displaystyle X}$ gibt. In anderen Worten sind die ${\displaystyle K(G,n)'s}$ Repräsentative Räume für singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle G}$. Da

${\displaystyle H^{n}(K(G,n),G)=\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)=\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)=\operatorname {Hom} (G,G)}$

gilt, gibt es ein spezielles Element ${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$, genannt „Fundamentalklasse“, das der Identität in ${\displaystyle G}$ entspricht. Die oben genannten natürliche Bijektion ist ein Pullback dieses Elementes: ${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$. Ähnlichkeiten mit dem Yoneda-Lemma sind zu erkennen.

Ein konstruktiver Beweis dieser Aussage kann hier[6] gefunden werden, ein weiterer, der die Beziehung zwischen Omega-Spektra und reduzierten verallgemeinerten Kohomologietheorien ausnutzt hier[1], und wird unten kurz skizziert.

Der Schleifenraum eines Eilenberg-MacLane-Raumes ist wieder ein Eilenberg-MacLane-Raum: ${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$. Des Weiteren existiert eine Adjunktion zwischen dem Schleifenraum- und Einhängungsfunktor: ${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$, wodurch ${\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]}$ eine abelsche Gruppenstruktur gegeben wird, wobei die Gruppenoperation das Hintereinanderausführen von Schleifen ist. Dadurch ist die oben aufgeführte Bijektion ${\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}$ ein Gruppenisomorphismus.

Außerdem wird durch diese Adjunktion impliziert, dass Eilenberg-MacLane-Räume mit verschiedenen ${\displaystyle n}$ ein Omega-Spektrum, genannt „Eilenberg-MacLane-Spektrum“, bilden. Dieses Spektrum definiert via ${\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]}$ eine reduzierte Kohomologietheorie auf der Kategorie der punktierten CW-Komplexe. Nun existiert für jede reduzierte Kohomologietheorie ${\displaystyle h^{*}}$ auf punktierten CW-Komplexen, die ${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$ für ${\displaystyle n\neq 0}$ erfüllt, eine natürliche Bijektion ${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0}))}$, wobei ${\displaystyle {\tilde {H^{*}}}}$ die reduzierte Singuläre Kohomologie beschreibt. Folglich stimmen diese beiden Kohomologietheorien überein.

Allgemeiner besagt der Darstellungssatz von Brown, dass jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie auf der Kategorie der punktierten CW-Komplexe von einem Omega-Spektrum stammt.

Ähnlich wie bei der singulären Kohomologie finden wir auch eine Verbindung zur singulären Homologie: Für eine feste abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ gibt es Abbildungen auf den stabilen Homotopiegruppen:

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

induziert von der Abbildung ${\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$. Bildet man den direkten Limes über diese Abbildungen, lässt sich nachrechnen, dass dies eine reduzierte Homologietheorie

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}$ auf der Kategorie der CW-Komplexe liefert.

Da ${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$ für ${\displaystyle q\neq 0}$ null wird, stimmt ${\displaystyle h_{*}}$ mit der reduzierten singulären Homologie ${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$ mit Koeffizienten in auf CW-Komplexen überein.

Für feste natürliche Zahlen ${\displaystyle m,n}$ und abelsche Gruppen ${\displaystyle G,H}$ gibt es eine Bijektion zwischen der Menge aller Kohomologieoperationen ${\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$ und ${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$ definiert durch ${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (\alpha )}$, wobei ${\displaystyle \alpha \in H^{m}(K(G,m),G)}$, wie oben, die sogenannte Fundamentalklasse ist.

Daraus folgt unter Verwendung des universellen Koeffiziententheorems und der (m-1)-Zusammenhängigkeit von ${\displaystyle K(G,m)}$, dass Kohomologieoperationen nicht den Grad von Kohomologiegruppen verringern können und graderhaltende Kohomologieoperationen korrespondieren zu Koeffizientenhomomorphismen ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$.

Interessante Beispiele von Kohomologieoperationen sind Steenrod Quadrate und Exponenten, falls ${\displaystyle G=H}$ endliche zyklischen Gruppen sind. Hier wird schnell die Wichtigkeit der Kohomologie der ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)}$'s mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ klar[7]; ausführliche Tabellen dieser Kohomologien sind hier[8] zu finden.

Jeder CW-Komplex lässt sich als Postnikow-Turm zerlegen, d. h. als iterierte Faserung, deren Fasern Eilenberg-MacLane-Räume sind; Genauer eine Sequenz:

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

sodass für jedes ${\displaystyle n}$:

1. es kommutierende Abbildungen ${\displaystyle X\to X_{n}}$ gibt, die Isomorphismen auf ${\displaystyle \pi _{i}}$ für ${\displaystyle i\leq n}$ induzieren,
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ für ${\displaystyle i>n}$,
3. die Abbildungen ${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}}$ Faserungen mit Faser ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ sind.

Dual zu diesem Konstrukt existiert zu jedem CW-Komplex ein Whitehead-Turm, d. h. eine Sequenz von CW-Komplexen:

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$,

sodass für jedes ${\displaystyle n}$:

1. die Abbildungen ${\displaystyle X_{n}\to X}$ einen Isomorphismus auf ${\displaystyle \pi _{i}}$ für ${\displaystyle i>n}$ induzieren,
2. ${\displaystyle X_{n}}$ n-zusammenhängend ist,
3. die Abbildungen ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ sind Faserungen mit Faser ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$.

Mittels Spektralsequenzen können höhere Homotopiegruppen von Sphären aus Postnikov- und Whiteheadtürmen berechnet werden. Beispielsweise werden ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$ und ${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$ mithilfe eines Whiteheadturms von ${\displaystyle S^{3}}$ hier[9] berechnet, allgemeiner werden ${\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3}$ mithilfe eines Postnikovsystems hier[10] untersucht.

Die Gruppenhomologie einer Gruppe ${\displaystyle G}$ (mit Koeffizienten ${\displaystyle A}$) ist per Definition die singuläre Homologie des Eilenberg-MacLane-Raumes ${\displaystyle K(G,1)}$:

${\displaystyle H_{*}(G;A):=H_{*}(K(G,1);A),}$

entsprechend für die Gruppenkohomologie:

${\displaystyle H^{*}(G;A):=H^{*}(K(G,1);A).}$

• S. Eilenberg, S. MacLane: Relations between homology and homotopy groups of spaces Ann. of Math. 46 (1945) pp. 480–509
• S. Eilenberg, S. MacLane: Relations between homology and homotopy groups of spaces. II Ann. of Math. 51 (1950) pp. 514–533
• Kapitel 8.1 in: Edwin H. Spanier, Algebraic topology. Corrected reprint. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981. ISBN 0-387-90646-0
• Allen Hatcher | „Spectral Sequences in Algebraic Topology“ preprint
• Derived functors of the divided power functors

• What is an Eilenberg-MacLane space?
• A K(Z,4) in nature
• (Co)homology of Eilenberg-MacLane spaces K(G,n)

1. Allen Hatcher "Algebraic Topology",Cambridge University Press , 2001. Abgerufen am 14. Juni 2021.
2. general topology - Unit sphere in $\mathbb{R}^\infty$ is contractible? In: Mathematics Stack Exchange. Abgerufen am 1. September 2020.
3. C. D. Papakyriakopoulos: ON DEHN'S LEMMA AND THE ASPHERICITY OF KNOTS. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 43, Nummer 1, Januar 1957, S. 169–172, doi:10.1073/pnas.43.1.169, PMID 16589993, PMC 528404 (freier Volltext).
4. gt.geometric topology - Explicit constructions of K(G,2)? In: MathOverflow. Abgerufen am 28. Oktober 2020.
5. J. Peter May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chapter 16, section 5 (ed.ac.uk [PDF]).
6. Xi Yin "On Eilenberg-MacLanes Spaces" (Memento vom 29. September 2021 im Internet Archive), abgerufen am 14. Juni 2021.
7. Cary Malkievich "The Steenrod algebra", abgerufen am 14. Juni 2021.
8. Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers
9. Xi Yin "On Eilenberg-MacLanes Spaces" (Memento vom 29. September 2021 im Internet Archive), abgerufen am 14. Juni 2021.
10. Allen Hatcher Spectral Sequences, abgerufen am 25. April 2021.