Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Gleichung

${\displaystyle (A-\lambda E)\cdot x=0}$

definiert die Eigenwerte und stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar.
Da ${\displaystyle x\neq 0}$ vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann lösbar, wenn

${\displaystyle \det(A-\lambda E)=0}$

gilt. Diese Determinante heißt „charakteristisches Polynom“. Es handelt sich um ein normiertes Polynom ${\displaystyle n}$-ten Grades in ${\displaystyle \lambda .}$ Seine Nullstellen, also die Lösungen der Gleichung

${\displaystyle \lambda ^{n}+\alpha _{n-1}\cdot \lambda ^{n-1}+\dotsb +\alpha _{1}\cdot \lambda +\alpha _{0}=0}$

über ${\displaystyle K}$, sind die Eigenwerte. Da ein Polynom vom Grad ${\displaystyle n}$ höchstens ${\displaystyle n}$ Nullstellen hat, gibt es auch höchstens ${\displaystyle n}$ Eigenwerte. Zerfällt das Polynom vollständig in Linearfaktoren, so gibt es genau ${\displaystyle n}$ Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden. Ist der Grad ${\displaystyle n}$ eine ungerade Zahl und gilt ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, dann ist mindestens einer der Eigenwerte reell.

Ist ${\displaystyle \lambda }$ ein Eigenwert der linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$, dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor den Eigenraum zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$. Der Eigenraum ist durch

${\displaystyle \operatorname {Eig} (f,\lambda ):=\{v\in V\,\mid \,f(v)=\lambda \cdot v\}}$

definiert. Falls die Dimension des Eigenraums größer als 1 ist, wenn es also mehr als einen linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ gibt, so nennt man den zum Eigenraum zugehörigen Eigenwert ausgeartet (früher auch entartet).[3] Die Dimension des Eigenraums ${\displaystyle \operatorname {Eig} \left(f,\lambda \right)}$ wird als geometrische Vielfachheit von ${\displaystyle \lambda }$ bezeichnet.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum.

Für den Rest dieses Abschnittes sei ${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$ Dann besitzt jede ${\displaystyle \left(n\times n\right){\text{-Matrix }}A}$ genau ${\displaystyle n}$ Eigenwerte, wenn man diese mit ihren Vielfachheiten zählt. Mehrfaches Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst man zusammen und erhält so nach Umbenennung die Aufzählung ${\displaystyle \lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{k}}$ der verschiedenen Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten ${\displaystyle \mu _{1},\dotsc ,\mu _{k}.}$ Dabei ist ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ und ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{k}\mu _{i}=n.}$

Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit. Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit ${\displaystyle 1}$ werden als einfacher Eigenwert bezeichnet.

Die Menge der Eigenwerte wird Spektrum genannt und ${\displaystyle \sigma \left(A\right)}$ geschrieben, sodass also

${\displaystyle \sigma (A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \,|\,\exists x\neq 0\colon Ax=\lambda x\}}$

gilt. Als Spektralradius bezeichnet man den Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts.

Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit ist, so spricht man von einem halbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘). Dies entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert.

Kennt man die Eigenwerte sowie ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (siehe unten), kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Es sei die quadratische Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&2&-1\\2&-1&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}}$

gegeben. Subtraktion der mit ${\displaystyle \lambda }$ multiplizierten Einheitsmatrix von ${\displaystyle A}$ ergibt:

${\displaystyle A-\lambda E={\begin{pmatrix}0-\lambda &2&-1\\2&-1-\lambda &1\\2&-1&3-\lambda \end{pmatrix}}}$

Ausrechnen der Determinante dieser Matrix (mit Hilfe der Regel von Sarrus) liefert:

${\displaystyle {\begin{matrix}\det(A-\lambda E)&=&(0-\lambda )(-1-\lambda )(3-\lambda )+4+2-(2\lambda +2+\lambda +12-4\lambda )\\&=&-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+4\lambda -8\\&=&-(\lambda -2)(\lambda -2)(\lambda +2)\end{matrix}}}$

Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms, man erhält:

${\displaystyle \lambda _{1,2}=2,\ \lambda _{3}=-2}$

Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, weil er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt. Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Dazu gehören Methoden für dichtbesetzte kleine bis mittlere Matrizen, wie

• der QR-Algorithmus,
• der QZ-Algorithmus,
• der QS-Algorithmus und
• die Deflation

sowie spezielle Methoden für symmetrische Matrizen als auch Methoden für dünnbesetzte große Matrizen wie

• die Potenzmethode,
• die inverse Iteration,
• das Lanczos-Verfahren,
• die Unterraumiteration,
• das Arnoldi-Verfahren,
• das Jacobi-Verfahren und
• das Jacobi-Davidson-Verfahren.

Des Weiteren gibt es noch Methoden zur Abschätzung, z. B. mithilfe

• der Matrixnorm und
• der Gerschgorin-Kreise,

die immer eine grobe Abschätzung (unter gewissen Bedingungen sogar genaue Bestimmung) zulassen.

• Die Folded Spectrum Method liefert mit jedem Durchlauf einen Eigenvektor, der jedoch auch aus der Mitte des Spektrums stammen kann.

Für einen Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung

${\displaystyle (A-\lambda E)\cdot x=0}$

bestimmen. Die Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf, dessen Dimension als geometrische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ der geometrischen Vielfachheit ${\displaystyle \mu }$ lassen sich also ${\displaystyle \mu }$ linear unabhängige Eigenvektoren ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{\mu }}$ finden, sodass die Menge aller Eigenvektoren zu ${\displaystyle \lambda }$ gleich der Menge der Linearkombinationen von ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{\mu }}$ ist. Die Menge ${\displaystyle \left\{x_{1},\dotsc ,x_{\mu }\right\}}$ heißt dann eine Basis aus Eigenvektoren des zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ gehörenden Eigenraumes.

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren.

Die geometrische Vielfachheit ist höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit.

Gegeben ist wie in obigem Beispiel die quadratische Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&2&-1\\2&-1&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}.}$

Die Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1,2}=2,\,\lambda _{3}=-2}$ wurden oben schon berechnet. Zunächst werden hier die Eigenvektoren (und der durch die Eigenvektoren aufgespannte Eigenraum) zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda =2}$ berechnet:

${\displaystyle A-2\cdot E={\begin{pmatrix}-2&2&-1\\2&-3&1\\2&-1&1\end{pmatrix}}}$

Man muss also das folgende lineare Gleichungssystem lösen:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&2&-1\\2&-3&1\\2&-1&1\end{pmatrix}}\cdot x={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

Bringt man die Matrix auf obere Dreiecksform, so erhält man:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&{\frac {1}{2}}\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot x={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

Die gesuchten Eigenvektoren sind alle Vielfachen des Vektors ${\displaystyle x={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}},&0,&-1\end{pmatrix}}^{\top }}$ (jedoch nicht das Nullfache des Vektors, da der Nullvektor niemals ein Eigenvektor ist).

Obwohl der Eigenwert ${\displaystyle \lambda =2}$ eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor (der Eigenraum zu dem Eigenwert ist eindimensional); also hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. Das hat eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Man kann nun versuchen, die Matrix stattdessen in die Jordansche Normalform überzuführen. Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert „erzwungen“ werden. Solche Eigenvektoren nennt man generalisierte Eigenvektoren oder Hauptvektoren.

Für den Eigenwert ${\displaystyle \lambda =-2}$ geht man genauso vor:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&1&1\\2&-1&5\end{pmatrix}}\cdot x={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

Wieder bringt man die Matrix auf Dreiecksform:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&{\frac {3}{2}}\\0&1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot x={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

Hier ist die Lösung der Vektor ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}},&-2,&-1\end{pmatrix}}^{\top },}$ wieder mit allen seinen vom Nullvektor verschiedenen Vielfachen.

In der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen linearen Funktionenräumen (also lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen). Meistens spricht man von linearen Operatoren anstatt von linearen Abbildungen. Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle \dim(V)=\infty }$ und ${\displaystyle A}$ ein linearer Operator. In der Funktionalanalysis ordnet man ${\displaystyle A}$ ein Spektrum zu. Dieses besteht aus allen ${\displaystyle \lambda \in K,}$ für die der Operator ${\displaystyle A-\lambda \operatorname {Id} }$ nicht invertierbar ist. Dieses Spektrum muss jedoch nicht – wie bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen – diskret sein. Denn im Gegensatz zu den linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, die nur ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ verschiedene Eigenwerte haben, haben lineare Operatoren im Allgemeinen unendlich viele Elemente im Spektrum. Daher ist es zum Beispiel möglich, dass das Spektrum von linearen Operatoren Häufungspunkte besitzt. Um die Untersuchung des Operators und des Spektrums zu vereinfachen, unterteilt man das Spektrum in unterschiedliche Teilspektren. Elemente, die die Gleichung ${\displaystyle Ax-\lambda \operatorname {Id} x=0}$ für ein ${\displaystyle x\neq 0}$ lösen, nennt man wie in der linearen Algebra Eigenwerte. Die Gesamtheit der Eigenwerte nennt man das Punktspektrum von ${\displaystyle A.}$ Wie in der linearen Algebra wird jedem Eigenwert ein Raum von Eigenvektoren zugeordnet. Da die Eigenvektoren meist als Funktionen aufgefasst werden, spricht man auch von Eigenfunktionen.

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} }$ offen. Dann besitzt der Ableitungsoperator ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon C^{\infty }(\Omega ,\mathbb {C} )\to C^{\infty }(\Omega ,\mathbb {C} )}$ ein nichtleeres Punktspektrum. Betrachtet man nämlich für alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ die Gleichung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)=\lambda f(x)}$

und wählt ${\displaystyle f(x)=e^{\lambda x},}$ dann sieht man, dass die Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}}$ für alle ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ erfüllt ist. Also ist jedes ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ein Eigenwert mit zugehöriger Eigenfunktion ${\displaystyle e^{\lambda x}.}$