Eichtransformation

Sei die Wellenfunktion ${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}$ eine Lösung der Schrödingergleichung

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)=\left[{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} ({\vec {r}},t)\right)^{2}+\phi ({\vec {r}},t)\right]\psi ({\vec {r}},t)\,}$ eines Teilchens der Ladung ${\displaystyle q}$ und Masse ${\displaystyle m}$ für die Potentiale ${\displaystyle {\vec {A}}}$ und ${\displaystyle \phi }$ (siehe oben).

Dann ist ${\displaystyle \psi '({\vec {r}},t):=\psi ({\vec {r}},t)\cdot e^{-{\frac {iq}{\hbar }}\Lambda ({\vec {r}},t)}}$ eine Lösung der Schrödingergleichung

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi '({\vec {r}},t)=\left[{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A'} ({\vec {r}},t)\right)^{2}+\phi '({\vec {r}},t)\right]\psi '({\vec {r}},t)\,}$ des Teilchens für die eichtransformierten Potentiale.[2]

Die beiden Wellenfunktionen ${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}$ und ${\displaystyle \psi '({\vec {r}},t)}$ haben dabei für alle ${\displaystyle {\vec {r}}}$ und ${\displaystyle t}$ jeweils denselben Betrag, weil ${\displaystyle \left|e^{-{\frac {iq}{\hbar }}\Lambda ({\vec {r}},t)}\right|=1}$.

Durch die nach Ludvig Lorenz benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion ${\displaystyle \psi \ }$, die

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =-(\nabla \cdot {\vec {A}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\phi )}$

erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von ${\displaystyle \phi \ }$ und ${\displaystyle {\vec {A}}}$.

Erfüllt die Eichfunktion ${\displaystyle \psi }$ hingegen

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot {\vec {A}}\ ,}$

so hilft die Transformation, das Skalarfeld ${\displaystyle \phi }$ gerade zum Coulomb-Potential der Ladungen zu transformieren; ${\displaystyle \phi }$ erfüllt dann die elektrostatische Poissongleichung.