Brennweite

Als brechende Fläche bezeichnet man die Grenzschicht zwischen zwei optischen Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes. Kommt der Lichtstrahl von links, so sei ${\displaystyle n}$ der Brechungsindex auf der linken Seite und ${\displaystyle n'}$ der Brechungsindex auf der rechten Seite der Grenzfläche. Die Krümmung der Grenzfläche wird durch den Krümmungsradius ${\displaystyle r}$ beschrieben. Liegt der Mittelpunkt des Kreises, der die Grenzfläche beschreibt, auf der vom einfallenden Licht abgewandten Seite, so ist ${\displaystyle r}$ positiv, andernfalls negativ. Eine nicht gekrümmte Grenzfläche hat den Krümmungsradius ${\displaystyle r=\infty }$.

${\displaystyle f'=r{\frac {n'}{n'-n}}}$

Die Brennweite der anderen Seite wird durch Vertauschen der Brechungsindices gewonnen, da das Licht nun von rechts kommend aus ${\displaystyle n}$ nach ${\displaystyle n'}$ übertritt:

${\displaystyle f=r{\frac {n}{n-n'}}=-r{\frac {n}{n'-n}}}$

Brennpunkt und bildseitige Hauptebene für zwei Flächen

Die Brechung einer Linse der Dicke ${\displaystyle d}$ ist, z. B. mittels Matrizenoptik, aus den Brechungen ihrer beiden sphärischen Grenzflächen berechenbar. Mit den Brennweiten ${\displaystyle f'_{2},f_{2}}$ und ${\displaystyle f'_{1},f_{1}}$ der beiden Flächen und deren Abstand ${\displaystyle d}$ ergibt sich

${\displaystyle f'={\frac {f'_{1}f'_{2}}{d-f'_{1}-f_{2}}}}$

für die bildseitige Brennweite der Linse. Mit den obigen Gleichungen der Flächenbrennweiten erhält man mit

${\displaystyle {\frac {1}{f'}}={\frac {n'-n}{n}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)+{\frac {(n'-n)^{2}d}{n'nr_{1}r_{2}}}}$

die bildseitige Linsenbrennweite in Abhängigkeit von den Krümmungsradien ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ und den Brechungsindizes ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle n'}$. Wie in nebenstehender Abbildung, wird die Brennweite ${\displaystyle f}$ von der Hauptebene H’ gemessen. Gegenstandsseitige und bildseitige Brennweiten haben die gleiche Größe, wenn die Linse auf beiden Seiten an Medien mit gleichem Brechungsindex ${\displaystyle n}$ grenzt, siehe auch Linsenschleiferformel.

Die Näherung ${\displaystyle d\ll f}$ ist für ${\displaystyle d\approx 0}$ erfüllt. Diese Näherung bezeichnet man als dünne Linse. Die Hauptebenen der beiden Grenzflächen fallen zusammen (und zwar zur Mittelebene). Die Gleichung für die Brennweite vereinfacht sich zu

${\displaystyle {\frac {1}{f'}}={\frac {1}{f}}={\frac {n'-n}{n}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right),}$

wobei wieder von der Mittelebene weg gemessen wird.

In der geometrischen Optik heißt ${\displaystyle D_{1}={\frac {n'-n}{nr_{1}}}}$ Vorderflächenbrechwert und ${\displaystyle D_{2}={\frac {n-n'}{nr_{2}}}}$ Rückflächenbrechwert. Obige Gleichung lässt sich damit auch in der Form

${\displaystyle D=D_{1}+D_{2}}$

schreiben.[3] Die optische Wirkung von Brillengläsern wird durch den Scheitelbrechwert ausgedrückt.

System aus zwei dünnen Linsen (H₁ und H₂)
Konstruktion des bildseitigen Brennpunkts F’ und der bildseitigen Hauptebene H’

Das System aus zwei dünnen Linsen ist dem System „Linse aus zwei brechenden Flächen“ prinzipiell ähnlich (vgl. nebenstehende Abbildung mit der darüberstehenden). Wenn beide Linsen beidseitig vom gleichen Medium umgeben sind, dann gilt:

${\displaystyle {\frac {1}{f'}}={\frac {1}{f'_{1}}}+{\frac {1}{f'_{2}}}-{\frac {d}{f'_{1}\cdot f'_{2}}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}-{\frac {d}{f_{1}\cdot f_{2}}}={\frac {1}{f}}}$

Außer der Gleichheit der gegenstands- und bildseitigen Brennweiten der Einzellinsen gilt also auch die entsprechende Gleichheit beim System:

${\displaystyle f'=f}$

Zur Abhängigkeit der Brennweiten des Linsensystems aus zwei dünnen Linsen von den Brechungsindizes und Krümmungsradien gelangt man, wenn man für ${\displaystyle f_{1}}$ und ${\displaystyle f_{2}}$ die oben angegebenen Linsenschleiferformeln für dünne Linsen anwendet.

Beim Zusammenrücken der dünnen Linsen wird im Grenzfall ${\displaystyle d\ll f_{1},f_{2}}$. Der Abstand ${\displaystyle d}$ kann vernachlässigt werden. Die Brennweite eines solchen Systems ist näherungsweise gleich

${\displaystyle {\frac {1}{f'}}={\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}.}$

Diese Gleichung wird zum Beispiel für zwei dünne, zusammengekittete Linsen verwendet. Eine solche Doppellinse besteht in der Regel aus zwei verschiedenen Glassorten, womit geringere Abbildungsfehler als bei einer aus nur einer Glassorte bestehenden Linse mit gleicher Brennweite erreicht werden, wie beispielsweise beim Achromaten.