Eckert-V- und Eckert-VI-Projektion

Bei allen Eckert-Projektionen handelt es sich um Kartennetzentwürfe mit ungleich langen parallel verlaufenden Breitengraden, wobei die Pole in Form einer Polarlinie dargestellt werden, die halb solang ist wie der Äquator. Der Mittelmeridian verhält sich zum Äquator ebenfalls 1:2.[1][2][3][4]

Bei diesen beiden Varianten werden die Längenkreise als Sinuskurven dargestellt.[3][4][5][6][7]

Die Variante Eckert-V ist weder winkeltreu (konform) noch flächentreu, weist aber gleichabständige Breitenkreise auf.[3][6] Eckert-IV ist – wie die Projektionen Eckert-II (geradlinig) und Eckert-IV (ellipsoid) – die flächentreue Version. Beim ersten Entwurf ist der Maßstab in den Bereichen 37°55′ N und S korrekt (wenn die Gesamtfläche stimmt),[4] beim Zweiten in den Bereichen 49°16′ N und S,[4] innerhalb dieses Bereichs sind die Kartenelemente in Ost-West-Richtung gestreckt (bei Eckert-VI am Äquator um 29 Prozent), außerhalb in Nord-Süd-Richtung komprimiert.[7] Kein Punkt der Karte ist verzerrungsfrei,[4][7] bei der Ersteren ist aber der Äquator winkeltreu, bei der Zweiteren die Breitengrade 49°16′ und der Mittelmeridian.[4][7] Das Zentrum der Karte ist insbesondere bei der Eckert-V recht ungestört.[2]

Die Eckert-V-Projektion ist im Prinzip das arithmetische Mittel aus einer Sinusoidal-Projektion und einer Plattkarte. Für die Eckert-VI-Projektion werden die Breiten noch für Flächentreue modifiziert und die Längen nachgeführt.[4]

Um den Entwurf mathematisch zu beschreiben, betrachtet man die Erdoberfläche als Sphäre vom Radius ${\displaystyle R}$ und beschreiben Punkte auf ihr durch die Kugelkoordinaten ${\displaystyle (\varphi ,\lambda )}$. Das Bild dieses Punktes beschreiben seine Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$, wobei die x-Achse das Bild des Äquators ist und die y-Achse das Bild des Meridians zum Winkel ${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$:[4]

Eckert-V:

${\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}){\frac {1+\cos {\varphi }}{\sqrt {2+\pi }}}}$ ${\displaystyle \approx 2{,}26750803\,R(\lambda -\lambda _{0})(1+\cos {\varphi })}$,

${\displaystyle y=2R{\frac {\varphi }{\sqrt {2+\pi }}}}$ ${\displaystyle \approx 4{,}535016055\,R\,\varphi }$.

Eckert-VI:

${\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}){\frac {1+\cos {\theta }}{\sqrt {2+\pi }}}}$ ${\displaystyle \approx 2{,}26750803\,R(\lambda -\lambda _{0})(1+\cos {\theta })}$,

${\displaystyle y=2R{\frac {\theta }{\sqrt {2+\pi }}}}$ ${\displaystyle \approx 4{,}535016055\,R\,\theta }$,

wobei ${\displaystyle \theta +\sin {\theta }=\left(1+{\frac {\pi }{2}}\right)\sin {\varphi }}$ ${\displaystyle \approx 2{,}57079634\,\sin {\varphi }}$ ist.

Wie für die Eckert-IV-Projektion ist der Wert von ${\displaystyle \theta }$ für Eckert-VI nur implizit gegeben und kann nur näherungsweise, beispielsweise durch ein Newton-Verfahren, berechnet werden.[4]

Zonobiome, auf einer leicht beschnittenen Eckert-VI

Die Projektionen sind nur für eine Weltkarte zweckmäßig. Da ihre kleinsten Abweichungen um 49° respektive 38° N/S und am Mittenmeridian respektive Äquator liegen, eignen sie sich besonders, Länder der mittleren Breiten in Bezug zur Gesamtoberfläche zu setzen. Sie haben eine besonders harmonische Anordnung der Landmassen, konnten sich aber nie wirklich durchsetzen, wohl wegen der „recht ‚spitzen‘ Sinuskurven-Außenform“.[1] Wie alle Karten mit parallelen Breitenkreisen sind sie besonders für Zonenmodelle geeignet, etwa für klimatologische, biologische und ähnliche Themenkarten. Hier wäre die gleichabständige Eckert-V-Projektion die günstigere, die die Polregionen besser darstellt.

Verwendet wurde die flächentreue Eckert-VI beispielsweise in der Sowjetunion für Weltverbreitungskarten im Atlas Mira (Weltatlas) von 1937[3][7] (im russischen Raum findet sich die Projektion als Kawraiski-VI, da sie dafür 1936 von Wladimir Kawraiski publiziert wurde).[4]

Hölzel-Projektion, am Pol gerundet

Eine Weiterentwicklung des Entwurfs Eckert-V ist die Hölzel-Projektion (Hölzel-Planisphäre). Sie wurde vom Verlag Ed. Hölzel für den 1951 erschienen Österreichischen Mittelschulatlas (Konzenn-Atlas) entwickelt und ist in diesem Land bis heute weit verbreitet.[8] Dieser Entwurf rundet die Polkappen ab.

Carlos A. Furuti veröffentlichte 1992 eine Variante mit reduzierten Sinusbogenstücken (auf 57,29577951°/90°). Das führt zu einer „gefälligeren“ Außenform.[1] Dieser Kartennetzentwurf findet sich als Eckert-Furuti-Projektion genannt.[9]

Der Eckert-V und der Eckert-VI ähneln die Winkel-I-Projektion respektive die McBryde-Thomas-III-Projektion mit etwas anderen Außenproportionen[4] – tatsächlich ist die Winkel-I eine Verallgemeinerung der Eckert-V[10] auf beliebig lange Pollinien, sie wird oft im Faktor 0,61 verwendet; McBryde-Thomas-III verwendet ¹⁄₃.[3] Ähnlich sind auch die Wagner-III- respektive die Wagner-I-Projektion, die stückweise Sinuskurven verwenden.[4] Auch von Kawraiski gibt es weitere ähnliche Entwürfe.[3] Letztere alle haben den Vorteil, dass sie nicht iteriert werden müssen.[3]

• Eckert-Projektion (Übersicht)

• Max Eckert: Neue Entwürfe für Erdkarten. In: Petermanns Mitteilungen, 1906 (52), 5, 97–109.
• Max Eckert: Die Kartenwissenschaft. 1921.

1. Rolf Böhm: Kartenprojektionen – Pseudozylindrische Projektionen: Eckerts Erdkartennetze, boehmwanderkarten.de (mit Abbildungen, Zitate ebenda).
2. Carlos Alberto Furuti: Flat-Polar Pseudocylindrical Projections: Six Projections by Eckert, progonos.com → Map Projection (abgerufen 15. Februar 2015).
3. John P. Snyder: Map Projections – A Working Manual. USGS Professional Paper 1395. Denver 1987, ISBN 0-226-76747-7, S. 253–258 (Weblink auf PDF, usgs.gov [abgerufen am 24. Juli 2013] mit einem ausführlicheren Geschichtsabschnitt und Formeln für Eckart-VI).
4. John P. Snyder: An Album of Map Projections. USGS Professional Paper 1453. Denver 1989, ISBN 0-226-76747-7, S. 46 f. und 50 f. (Weblink auf pdf, usgs.gov [abgerufen am 11. Februar 2015] Formeln S. 220, Sp. 2, 31–33).
5. John P. Snyder: Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. University of Chicago Press, 1997, ISBN 0-226-76747-7, S. 191.
6. Gerald I. Evenden: Cartographic Projection Procedures for the UNIX Environment — A User’s Manual. S. 25 (pdf@1@2Vorlage:Toter Link/ftp.remotesensing.org (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im April 2018. Suche in Webarchiven)  Info: Der Link wurde automatisch als defekt markiert. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis., dort S. 29; auf remotesensing.org, ftp; mit Abbildungen).
7. Eckert V, Eckert VI, arcgis.com.
8. 1951 | Neubeginn nach dem Zweiten Weltkrieg (Memento des Originals vom 7. Februar 2015 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.hoelzel.at, hoelzel.at → Großer Konzenn-Atlas.
9. Carlos A. Furuti: Uma Projeção Cartográfica Equivalente. Projeto A HAND. DCC|IMECC Unicamp, Oktober 1992;
   abgebildet und diskutiert in Eckerts Erdkartennetze, boehmwanderkarten.de (mit Formeln der Furuti-Variante und einem Link auf die Arbeit).
10. Furuti: Some Hybrid Pseudocylindrical Projections: Winkel I, progonos.com (Eckert V im Abschnitt davor).