Dynkinscher π-λ-Satz

Sei ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ein Mengensystem sowie ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {M}})}$ die von dem Mengensystem erzeugte σ-Algebra und ${\displaystyle \delta ({\mathcal {M}})}$ das von dem Mengensystem erzeugte Dynkin-System.

Die Aussage lautet nun: Ist ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von ihm erzeugte σ-Algebra und das von ihm erzeugte Dynkin-System überein. Es gilt dann also

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {M}})=\delta ({\mathcal {M}})}$.

Die Benennung des Satzes folgt daraus, dass Dynkin-Systeme auch λ-Systeme genannt werden und durchschnittsstabile Mengensysteme auch π-Systeme heißen. Somit lässt sich der Satz auch wie folgend formulieren: Die erzeugte σ-Algebra eines π-Systems ist gleich dem erzeugten λ-System des π-Systems.

Es ist ${\displaystyle \delta ({\mathcal {M}})\subset \sigma ({\mathcal {M}})}$, da jede σ-Algebra ein Dynkin-System ist und ${\displaystyle \delta ({\mathcal {M}})}$ das kleinste Dynkin-System, das ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ enthält.

Es ist dann noch zu zeigen, dass ${\displaystyle \delta ({\mathcal {M}})\supset \sigma ({\mathcal {M}})}$. Dazu zeigt man, dass das Dynkin-System ${\displaystyle \delta ({\mathcal {M}})}$ eine σ-Algebra ist. Dann enthält das Dynkin-System die σ-Algebra, da das Dynkin-System den Erzeuger ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ enthält und ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {M}})}$ die kleinste σ-Algebra ist, die den Erzeuger enthält.

Ein Dynkin-System ist aber genau dann eine σ-Algebra, wenn es durchschnittsstabil ist. Also ist die Durchschnittsstabilität zu zeigen. Dazu definiert man das Hilfsmengensystem

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}:=\{A\in \delta ({\mathcal {M}})\,|\,A\cap B\in \delta ({\mathcal {M}}),\,B\in {\mathcal {M}}\}\supset \{A\in {\mathcal {M}}\,|\,A\cap B\in \delta ({\mathcal {M}}),\,B\in {\mathcal {M}}\}={\mathcal {M}}}$,

da ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem ist. Nun kann man zeigen, dass auch ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$ ein Dynkin-System ist. Da aber ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}\subset \delta ({\mathcal {M}})}$ ist und ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {D}}_{1}}$ gilt, ist dann ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}=\delta ({\mathcal {M}})}$.

Nun bildet man das zweite Hilfsmengensystem der durchschnittstabilen Mengen des Dynkinsystems

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}:=\{A\in \delta ({\mathcal {M}})\,|\,A\cap B\in \delta ({\mathcal {M}}),\,B\in \delta ({\mathcal {M}})\}}$.

Per Definition ist dann ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}\subset \delta ({\mathcal {M}})}$, aber da nach der obigen Aussage auch ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}=\delta ({\mathcal {M}})}$ gilt, ist ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {D}}_{2}}$. Nun lässt sich zeigen, dass auch ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}}$ ein Dynkin-System ist, also ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}\supset \delta ({\mathcal {M}})}$ und damit auch ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}=\delta ({\mathcal {M}})}$. Da ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}}$ nach Definition durchschnittsstabil ist, ist auch ${\displaystyle \delta ({\mathcal {M}})}$ durchschnittsstabil, also eine σ-Algebra, was zu zeigen war.

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 21–22, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.