Dualität von L^p-Räumen

Es sei ${\displaystyle q}$ der sogenannte zu ${\displaystyle p}$ konjugierte Exponent, das heißt diejenige Zahl ${\displaystyle 1<q<\infty }$, für die ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ gilt. Dies ist äquivalent mit ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$. Ist weiter ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum, dann kann man die Banachräume ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ und ${\displaystyle L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ bilden, wobei ${\displaystyle \mathbb {K} }$ für ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ steht. Wie üblich werden fast überall übereinstimmende Funktionen ohne weitere Hinweise identifiziert, um eine umständliche Sprech- und Schreibweise über Äquivalenzklassen von Funktionen zu vermeiden. Nach der Hölderschen Ungleichung gilt

${\displaystyle \left|\int _{X}f(x)g(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\right|\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$ für alle ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ),\,g\in L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$,

wobei ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ die Norm auf dem L^p-Raum bezeichnet und entsprechend ${\displaystyle \|\cdot \|_{q}}$. Diese Abschätzung zeigt, dass

${\displaystyle T_{g}\colon L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow \mathbb {K} ,\quad f\mapsto \int _{X}fg\,\mathrm {d} \mu }$

ein beschränktes lineares Funktional auf ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$, also ein Element des Dualraums ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,'}$ ist, mit ${\displaystyle \|T_{g}\|\leq \|g\|_{q}}$. Mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodým kann man zeigen, dass jedes beschränkte lineare Funktional auf ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ von dieser Form ist und dass für die Normen sogar Gleichheit gilt. Man hat daher folgenden Satz[1][2]:

Es seien ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum und ${\displaystyle 1<p<\infty }$. Dann ist die Abbildung

${\displaystyle T:L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,',\quad g\mapsto T_{g},\quad T_{g}(f):=\int _{X}fg\,\mathrm {d} \mu }$

ein isometrischer Isomorphismus.

Genau dieser Isomorphismus ist gemeint, wenn man kurz ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,'\cong L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ schreibt.

Da ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ ja in einer symmetrischen Beziehung zueinander stehen, ergibt sich aus diesem Satz sofort

${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,''\cong L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,'\cong L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$.

Verwendet man die im Satz angegebenen Isomorphismen, so erkennt man, dass es sich hier um die kanonische Einbettung von ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ in seinen Bidualraum handelt. Die L^p-Räume sind für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ also reflexiv.

Obiger Satz, der manchmal nicht ganz korrekt als Satz von Riesz zitiert wird, hat mehrere Väter. Der bereits 1907 bewiesene Hilbertraum-Fall ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ geht auf M. Fréchet zurück.[3] Das Einheitsintervall steht hier für den Maßraum [0,1] mit der Borelschen σ-Algebra und dem auf [0,1] eingeschränkten Lebesgue-Maß. Die Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf beliebige Hilberträume ist auch als Darstellungssatz von Fréchet-Riesz (oder Rieszscher Darstellungssatz) bekannt. F. Riesz hat drei Jahre später den Fall ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$ für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ bewiesen.[4] Das wurde dann von O. M. Nikodým auf den Fall endlicher Maßräume verallgemeinert.[5] Der allgemeinste Fall eines beliebigen Maßraums wurde schließlich 1950 von E. J. McShane behandelt.[6]

Ein sehr einfacher Spezialfall sind die Folgenräume ${\displaystyle \ell ^{p}}$, die man erhält, wenn man ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ und für ${\displaystyle \mu }$ das Zählmaß nimmt. Die Elemente aus ${\displaystyle \ell ^{p}}$ werden als Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ geschrieben, wobei eine solche Folge für die ${\displaystyle L^{p}}$-Funktion ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {K} ,\,n\mapsto a_{n}}$ steht. Für die Dualität zwischen ${\displaystyle \ell ^{p}}$ und ${\displaystyle \ell ^{q}}$ erhält man an Stelle obiger Integrale eine Summe:

${\displaystyle T_{b}((a_{n})_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ für alle ${\displaystyle (a_{n})_{n}\in \ell ^{p}}$ und ${\displaystyle b=(b_{n})_{n}\in \ell ^{q}}$.

Diese Aussage kann auch ohne maßtheoretischen Aufwand bewiesen werden.

Ein entsprechender Satz über den Dualraum von L¹-Räumen gilt nicht in voller Allgemeinheit. Bildet man den zu 1 konjugierten Exponenten, so muss man ${\displaystyle q=\infty }$ nehmen. H. Steinhaus konnte 1919 in der Tat

${\displaystyle L^{1}([0,1])\,'\cong L^{\infty }([0,1])}$

zeigen, wobei die isometrische Isomorphie durch den zum oben definierten Operator ${\displaystyle T}$ analogen Operator vermittelt wird.[7] Die zusätzliche Schwierigkeit besteht letztlich darin, dass die auftretenden Räume, von trivialen Ausnahmen abgesehen, nicht mehr reflexiv sind. Es lässt sich aber noch folgender Satz zeigen:[8][9]

Es sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endlicher Maßraum. Dann ist die Abbildung

${\displaystyle T:L^{\infty }(X,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,',\quad g\mapsto T_{g},\quad T_{g}(f):=\int _{X}fg\mathrm {d} \mu }$

ein isometrischer Isomorphismus.

Auf die zusätzliche Voraussetzung der ${\displaystyle \sigma }$-Endlichkeit des Maßraums kann nicht verzichtet werden. Betrachtet man zum Beispiel auf ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ die ${\displaystyle \sigma }$-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ derjenigen Mengen, die abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar ist, und als Maß ${\displaystyle \mu }$ das Zählmaß, so ist ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ,{\mathcal {A}},\mu )}$ der Raum aller Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {K} }$, die höchstens an abzählbar vielen Stellen von null verschieden sind und für die ${\displaystyle \textstyle \sum _{x\in \mathbb {R} }|f(x)|<\infty }$ gilt. Offenbar ist durch ${\displaystyle \textstyle f\mapsto \sum _{x\geq 0}f(x)}$ ein beschränktes lineares Funktional auf ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ,{\mathcal {A}},\mu )}$ definiert. Wäre dieses von der Form ${\displaystyle T_{g}}$ für ein ${\displaystyle g\in L^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathcal {A}},\mu )}$, so müsste ${\displaystyle g}$ konstant gleich 1 auf ${\displaystyle [0,\infty )}$ und konstant gleich 0 auf ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ sein. Eine solche Funktion ist aber nicht ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-messbar. Daher kann in diesem Beispiel die im Satz beschriebene Isomorphie nicht bestehen.

Es gibt aber eine wichtige Situation, die auch gewisse nicht-${\displaystyle \sigma }$-endliche Maßräume umfasst, in der man dennoch zu einem befriedigenden Resultat kommt, nämlich die der lokalkompakten Gruppen. In der harmonischen Analyse ist folgender Satz wichtig[10]:

Es seien ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte Gruppe, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ die Borelsche ${\displaystyle \sigma }$-Algebra auf ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle \mu }$ ein reguläres Borelmaß auf ${\displaystyle G}$. Dann ist

${\displaystyle T\colon L^{\infty }(G,{\mathcal {B}},\mu )\rightarrow L^{1}(G,{\mathcal {B}},\mu )\,',\quad g\mapsto T_{g},\quad T_{g}(f):=\int _{G}fg\,\mathrm {d} \mu }$

ein isometrischer Isomorphismus.

Dabei heißt das Maß ${\displaystyle \mu }$ regulär, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$ für alle kompakten Teilmengen ${\displaystyle K\subset G}$,
• ${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K);\,K\subset U,K{\mbox{ kompakt}}\}}$ für alle offenen Teilmengen ${\displaystyle U\subset G}$,
• ${\displaystyle \mu (B)=\inf\{\mu (U);\,B\subset U\subset G,U{\mbox{ offen}}\}}$ für alle Borelmengen ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$.

Der Satz gilt also insbesondere auch für das Haarsche Maß auf ${\displaystyle G}$, das heißt, man kann den Dualraum der Gruppenalgebra ${\displaystyle L^{1}(G)}$ auch für nicht-${\displaystyle \sigma }$-endliche Gruppen durch obigen Satz beschreiben.

Für ${\displaystyle 0<p<1}$ ist L^p(X,A,μ) zwar kein normierter Raum, aber immerhin ein vollständiger topologischer Vektorraum[11][12] mit der Quasinorm

${\displaystyle N_{p}\,:\,L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)\,\rightarrow \,\mathbb {R} \;,\qquad N_{p}\left(f\right):=\left(\int _{X}\left|f\right|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}}$

bzw. der Pseudonorm oder Fréchet-Metrik

${\displaystyle \varrho _{p}\,:\,L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)\,\rightarrow \,\mathbb {R} \;,\qquad \varrho _{p}\left(f\right):=\left(N_{p}\left(f\right)\right)^{p}=\int _{X}\left|f\right|^{p}\mathrm {d} \mu \;.}$

Diese Räume sind im Allgemeinen nicht lokalkonvex, der Satz von Hahn-Banach also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die schwache Topologie auf ${\displaystyle L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)}$ Punkte trennen kann.

Prototypisch ist das Beispiel ${\displaystyle L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right):=L^{p}\left(\left[0,\,1\right],{\mathcal {B}}\left(\left[0,\,1\right]\right),\lambda \right)}$ mit der Borel-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(\left[0,\,1\right]\right)}$ über dem Intervall ${\displaystyle \left[0,\,1\right]}$ und dem Borel-Lebesgue-Maß ${\displaystyle \lambda }$. Hier sind die einzigen konvexen offenen Mengen die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ und der gesamte Raum ${\displaystyle L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right)}$ selbst.[11][13][14] Da Urbilder konvexer offener Mengen in ${\displaystyle \mathbb {K} }$ unter einem linearen stetigen Funktional konvexe offene Mengen in ${\displaystyle L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right)}$ sind, folgt, dass das Nullfunktional das einzige lineare stetige Funktional ist. Der Dualraum ist somit trivial:

${\displaystyle \left(L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right)\right)'=\left\{0\right\}}$.

Insbesondere ist in diesem Raum die Aussage des Trennungssatzes nicht gültig, da sich keine zwei Punkte durch eine abgeschlossene Hyperebene trennen lassen. Die schwache Topologie auf ${\displaystyle L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right)}$ ist indiskret.

Es gibt aber auch weniger extreme Beispiele, wie die Folgenräume ${\displaystyle \ell ^{p}:=L^{p}\left(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}\left(\mathbb {N} \right),\mu \right)}$ mit dem Zählmaß ${\displaystyle \mu }$. Diese Räume besitzen zwar nichttriviale absolutkonvexe offene Mengen, aber nicht genug um eine Nullumgebungsbasis zu bilden: Da jede konvexe offene Menge in ${\displaystyle \ell ^{p}}$ unbeschränkt ist, sind auch die ${\displaystyle \ell ^{p}}$ nicht lokalkonvex.[15] Trotzdem gibt es „viele“ lineare stetige Funktionale. Es gilt nämlich für ${\displaystyle 0<p<1}$:

${\displaystyle \left(\ell ^{p}\right)'=\left(\ell ^{1}\right)'=\ell ^{\infty }\;.}$

Die Inklusion „${\displaystyle \supset }$“ sieht man leicht, denn für ${\displaystyle x=\left(x_{k}\right)\in \ell ^{p}}$ und ${\displaystyle y=\left(y_{k}\right)\in \ell ^{\infty }}$ gilt:

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k\in \mathbb {N} }x_{k}\,y_{k}\right|\leq \left(\sum \limits _{k\in \mathbb {N} }\left|x_{k}\right|\right)\,\left(\sup \limits _{k\in \mathbb {N} }\left|y_{k}\right|\right)\leq N_{p}\left(x\right)\,\left\|y\right\|_{\infty }\;.}$

Für ${\displaystyle X=\left\{1,\,\ldots \,n\right\}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}\left(X\right)}$ und ${\displaystyle \mu }$ das Zählmaß, also ${\displaystyle L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)\cong \mathbb {K} ^{n}}$ mit der ${\displaystyle p}$-Quasinorm, ist die Topologie auf diesem Raum sogar mit der üblichen Topologie des ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ identisch, da es auf jedem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum genau eine Hausdorff-Topologie gibt, die den Raum zu einem topologischen Vektorraum macht.[16] Obwohl die Kugeln in der erzeugenden Quasinorm nicht konvex sind, erzeugt diese eine lokalkonvexe Topologie:

${\displaystyle n^{1-{\frac {1}{p}}}\,N_{p}\left(x\right)\leq \left\|x\right\|_{1}\leq N_{p}\left(x\right)\;.}$

Der Satz von Hahn-Banach ist anwendbar und der Dualraum wieder ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$, wie im euklidischen bzw. unitären Fall. Die schwache Topologie ist aus den gleichen Gründen wie oben mit der ${\displaystyle p}$-Quasinormtopologie sowie der üblichen Topologie identisch.

Ist neben dem Maßraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ noch ein Banachraum ${\displaystyle E}$ gegeben, so kann man den Raum ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)}$ aller ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-messbaren Funktionen ${\displaystyle f\colon X\rightarrow E}$, für die das Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{X}\|f(x)\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)}$ endlich ist, bilden, wobei wie üblich fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden (siehe auch Bochner-Integral). Die Norm

${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{X}\|f(x)\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}}$

macht ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)}$ zu einem Banachraum. Sind nun ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)}$ und ${\displaystyle g\in L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E\,')}$, so kann man

${\displaystyle \int _{X}gf\,\mathrm {d} \mu =\int _{X}\underbrace {g(x)} _{\in E\,'}(\underbrace {f(x)} _{\in E})\,\mathrm {d} \mu (x)}$

bilden, und es gilt:

${\displaystyle \left|\int _{X}gf\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{X}|g(x)(f(x))|\,\mathrm {d} \mu (x)\leq \int _{X}\|g(x)\|_{q}\|f(x)\|_{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\leq \|g\|_{q}\|f\|_{p}}$.

Man erhält daher wieder eine Abbildung

${\displaystyle T\colon L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E\,')\rightarrow L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)\,'}$

und man kann folgenden Satz zeigen[17]:

Sind ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum, ${\displaystyle E}$ ein separabler, reflexiver Banachraum und ${\displaystyle 1<p<\infty }$ sowie ${\displaystyle q}$ der zu ${\displaystyle p}$ konjugierte Exponent, so ist

${\displaystyle T\colon L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E\,')\rightarrow L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)\,',\,g\mapsto T_{g},\,T_{g}(f)=\int _{X}gf\,\mathrm {d} \mu }$

ein isometrischer Isomorphismus.

Es gilt also die erwartete und leicht einprägsame Formel

${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)\,'\cong L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E\,')}$.

Es sei eine Folge ${\displaystyle w=(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ positiver Zahlen, sogenannter Gewichte, gegeben. Der zugehörige gewichtete ${\displaystyle \ell ^{p}}$-Raum ist der Folgenraum

${\displaystyle \ell ^{p}(w):=\left\{(a_{n})_{n}\left|\,\textstyle \sum \limits _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|^{p}w_{n}^{p}<\infty \right.\right\}}$

mit der Norm

${\displaystyle \|(a_{n})_{n}\|_{p,w}:=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|^{p}w_{n}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$.

Dies ist nichts anderes als der Raum ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\mu _{w})}$, wobei das Maß ${\displaystyle \mu _{w}}$ durch ${\displaystyle \mu _{w}(\{n\})=w_{n}}$ definiert ist. Wendet man darauf obigen Satz über die L^p-Dualität an, erhält man einen isometrischen Isomorphismus

${\displaystyle T\colon \ell ^{q}(w)\rightarrow \ell ^{p}(w)\,',\,b=(b_{n})_{n}\mapsto T_{b},\quad T_{b}((a_{n})_{n}):=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}b_{n}w_{n}^{p}}$.

In der Theorie der Folgenräume betrachtet man aber lieber eine durch den Ausdruck ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}b_{n}}$ gegebene Dualität, das heißt, man möchte die Faktoren ${\displaystyle w_{n}^{p}}$ vermeiden. Dazu muss man von der Folge ${\displaystyle (b_{n})_{n}\in \ell ^{q}(w)}$ zur Folge ${\displaystyle (b_{n}w_{n}^{p})_{n}}$ übergehen. Da ${\displaystyle p-pq=-q}$, gilt

${\displaystyle \|(b_{n})_{n}\|_{q,w}^{q}=\sum _{n\in \mathbb {N} }|b_{n}|^{q}w_{n}^{p}=\sum _{n\in \mathbb {N} }|b_{n}w_{n}^{p}|^{q}w_{n}^{p-pq}=\sum _{n\in \mathbb {N} }|b_{n}w_{n}^{p}|^{q}w_{n}^{-q}=\|(b_{n}w_{n}^{p})_{n}\|_{q,{\frac {1}{w}}}^{q}}$,

wobei ${\displaystyle {\tfrac {1}{w}}}$ für die aus den Kehrwerten der ${\displaystyle w_{n}}$ gebildete Folge von Gewichten steht. Man erhält also einen isometrischen Isomorphismus

${\displaystyle \ell ^{q}(w)\rightarrow \ell ^{q}\left({\tfrac {1}{w}}\right),(b_{n})_{n}\mapsto (b_{n}w_{n}^{p})_{n}}$.

Kombiniert man diesen mit obigem isometrischen Isomorphismus ${\displaystyle T}$, so gelangt man zu[18]:

Es seien ${\displaystyle (w_{n})_{n}}$ eine Folge von Gewichten, ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ und ${\displaystyle q}$ der zu ${\displaystyle p}$ konjugierte Exponent. Dann ist

${\displaystyle S\colon \ell ^{q}\left({\tfrac {1}{w}}\right)\rightarrow \ell ^{p}(w)\,',\ b=(b_{n})_{n}\mapsto S_{b},\ S_{b}((a_{n})_{n})=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}b_{n}}$

ein isometrischer Isomorphismus.

Dieser isometrische Isomorphismus ist gemeint, wenn man

${\displaystyle \ell ^{p}(w)\,'\cong \ell ^{q}\left({\tfrac {1}{w}}\right)}$

schreibt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dieser nicht der isometrische Isomorphismus aus dem allgemeinen Satz über L^p-Dualität ist, außer wenn alle Gewichte gleich 1 sind.

1. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17
2. Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 1
3. M. Fréchet: Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéares, C. R. Acad Sci Paris 144 (1907), Seiten 1414–1416
4. F. Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69 (1910), Seiten 449–497
5. O. M. Nikodým :Contribution à la théorie des fonctionelles linéaires en connexion avec la théorie de la mesure des ensembles abstraits, Mathematica Cluj 5 (1931), Seiten 130–141
6. E. J. McShane: Linear functionals on certain Banach spaces, Proc Amer. Math. Soc. 1 (1950), Seiten 401-408
7. H. Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Zeitschrift 5 (1919), Seiten 186–221
8. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17
9. Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 5
10. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 9.4.8
11. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, Kapitel 6, S. 223–225, 229–234, 263, 268.
12. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel X: Integrationstheorie, Aufgabe 13, S. 131.
13. Walter Rudin: Functional Analysis. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 36–37.
14. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140.
15. S. M. Khaleelulla: Counterexamples in Topological Vector Spaces. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1982, ISBN 978-3-540-39268-2, Chapter 1 Example 3(ii), S. 13.
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17. R. E. Edwards: Functional Analysis: Theory And Applications, Dover Publications, ISBN 0-486-68143-2, 8.20
18. K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968, ISBN 3-540-04226-1, §5.4