Adjungierter Operator

In diesem Abschnitt wird die Adjungierte eines Operators zwischen Hilberträumen definiert. Der erste Unterabschnitt beschränkt sich auf beschränkte Operatoren. Im zweiten Abschnitt wird das Konzept auf unbeschränkte Operatoren erweitert.

• Wählt man als Hilbertraum den endlichdimensionalen unitären Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, so kann ein stetiger linearer Operator ${\displaystyle T}$ auf diesem Hilbertraum durch eine Matrix dargestellt werden. Der dazu adjungierte Operator ${\displaystyle T^{*}}$ wird dann durch die entsprechende adjungierte Matrix dargestellt. Daher ist der adjungierte Operator eine Verallgemeinerung der adjungierten Matrix.
• In diesem Beispiel wird der Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ betrachtet. Mit einer entsprechenden Funktion ${\displaystyle k\colon [0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R} }$ (beispielsweise ${\displaystyle k\in C([0,1]\times [0,1])}$) ist der Integraloperator

${\displaystyle Tx(s):=\int _{0}^{1}k(s,t)x(t)\mathrm {d} t}$

stetig auf ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$. Sein adjungierter Operator ${\displaystyle T^{*}}$ lautet

${\displaystyle T^{*}y(t):=\int _{0}^{1}{\overline {k(s,t)}}y(s)\mathrm {d} s}$.

Dabei ist ${\displaystyle {\overline {k(s,t)}}}$ das komplex Konjugierte von ${\displaystyle k(s,t)}$.

Sei ${\displaystyle T\colon X\supset D(T)\rightarrow Y}$ dicht definiert. Dann gilt:

• Ist ${\displaystyle D(T^{*})}$ dicht, so ist ${\displaystyle T\subset T^{**}}$, das heißt ${\displaystyle D(T)\subset D(T^{**})}$ und ${\displaystyle T=T^{**}}$ auf ${\displaystyle D(T)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T^{*})=\operatorname {Ran} (T)^{\bot }}$. Dabei steht Ker für den Kern des Operators und Ran (für Range) für den Bildraum.
• ${\displaystyle T}$ ist genau dann beschränkt, wenn ${\displaystyle T^{*}}$ beschränkt ist. In diesem Fall gilt ${\displaystyle \|T\|=\|T^{*}\|}$
• Ist ${\displaystyle T}$ beschränkt, so ist ${\displaystyle T^{**}}$ die eindeutige Fortsetzung von ${\displaystyle T}$ auf ${\displaystyle X}$

Sei ${\displaystyle S\colon X\supset D(S)\rightarrow Y}$ dicht definiert. Der Operator ${\displaystyle T+S}$ ist definiert durch ${\displaystyle (T+S)x:=Tx+Sx}$ für ${\displaystyle x\in D(T+S):=D(T)\cap D(S)}$. Ist ${\displaystyle T+S}$ dicht definiert, so ist ${\displaystyle (T+S)^{*}\supset T^{*}+S^{*}}$. Ist ${\displaystyle T}$ beschränkt, so gilt sogar die Gleichheit.

Seien ${\displaystyle Z}$ ein Hilbertraum und ${\displaystyle S:Y\supset D(S)\rightarrow Z}$. Dann wird die Hintereinanderausführung beziehungsweise Komposition ${\displaystyle TS}$ von ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle S}$ definiert durch ${\displaystyle TSx:=T(Sx)}$ für ${\displaystyle x\in D(TS):=\{x\in D(S):Sx\in D(T)\}}$. Ist ${\displaystyle TS}$ dicht definiert, so gilt ${\displaystyle (TS)^{*}\supset S^{*}T^{*}}$. Ist ${\displaystyle T}$ beschränkt, erhält man ${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*}}$.

Ein linearer Operator ${\displaystyle T\colon X\supset D(T)\rightarrow X}$ heißt

• symmetrisch oder formal selbstadjungiert, falls ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle }$ für alle ${\displaystyle x,y\in D(T)}$ gilt.
• wesentlich selbstadjungiert, falls ${\displaystyle T}$ symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist.
• selbstadjungiert, falls ${\displaystyle T}$ dicht definiert und ${\displaystyle T=T^{*}}$ gilt.

Außerdem gibt es noch den Begriff des hermiteschen Operators. Dieser wird vor allem in der Physik verwendet, jedoch nicht einheitlich definiert.

Adjungierte Operatoren können auch allgemeiner auf Banachräumen definiert werden. Für einen Banachraum ${\displaystyle X}$ bezeichnet ${\displaystyle X'}$ den topologischen Dualraum. Im Folgenden wird mittels ${\displaystyle \langle x,x'\rangle$ :=x'(x)} für ${\displaystyle x\in X}$ und ${\displaystyle x'\in X'}$ die duale Paarung bezeichnet. Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume und sei ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ ein stetiger, linearer Operator. Der adjungierte Operator

${\displaystyle T'\colon Y'\to X'}$

wird definiert durch

${\displaystyle y'\mapsto (x\mapsto y'(Tx)).}$

Um diesen adjungierten Operator von den adjungierten Operatoren auf Hilberträumen zu unterscheiden, werden diese oft mit einem ${\displaystyle '}$ statt mit einem ${\displaystyle *}$ notiert.

Ist der Operator ${\displaystyle T:D(T)\subset X\to Y}$ jedoch nicht stetig aber dicht definiert, so definiert man den adjungierten Operator

${\displaystyle T'\colon D(T')\subset Y'\to X'}$

durch

${\displaystyle {\begin{aligned}D(T')&:=\{y'\in Y':\exists \,x'\in X':\langle Tx,y'\rangle =\langle x,x'\rangle \ \forall \,x\in D(T)\},\\T'y'&:=x'\ {\text{für}}\ x\in D(T).\end{aligned}}}$

Der Operator ${\displaystyle T'}$ ist stets abgeschlossen, wobei ${\displaystyle D(T')=\{0\}}$ möglich ist. Ist ${\displaystyle X}$ ein reflexiver Banachraum und ${\displaystyle Y=X}$, dann ist ${\displaystyle T'}$ genau dann dicht definiert, wenn ${\displaystyle T}$ abschließbar ist. Insbesondere gilt dann ${\displaystyle (T')'={\overline {T}}}$.

Insbesondere im linearen komplexen Fall wird für den dualen Operator statt ${\displaystyle T^{*}}$ auch ${\displaystyle T^{\dagger }}$ (Transposition und Übergang zum Konjugiert-Komplexen) genutzt, um eine Verwechslung mit ${\displaystyle T^{*}}$ für die komplex konjugierte Matrix zu vermeiden. Letztere wird auch mit ${\displaystyle {\overline {T}}}$ beschrieben, was aber von Physikern eher für die Mittelwertbildung reserviert ist.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 236.