Duale Paarung

Ist ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum, so gilt

${\displaystyle (\forall x\in X:\langle x,l\rangle =0)\Rightarrow l=0}$

${\displaystyle (\forall l\in X^{\prime }:\langle x,l\rangle =0)\Rightarrow x=0}$,

wobei die zweite Aussage ein Korollar aus dem Satz von Hahn-Banach für normierte Räume ist. In diesem Fall ist die duale Paarung eine nicht entartete bilineare Abbildung.

In normierten Räumen gilt eine Ungleichung, die eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung darstellt. Sind ${\displaystyle x\in X,l\in X^{\prime }}$ und ${\displaystyle \|l\|_{Op}}$ die Operatornorm von ${\displaystyle l}$, dann ist

${\displaystyle {\Big |}{\Big \langle }{\frac {x}{\|x\|}},l{\Big \rangle }{\Big |}={\Big |}l{\Big (}{\frac {x}{\|x\|}}{\Big )}{\Big |}\leq \|l\|_{Op}}$

und daher

${\displaystyle |\langle x,l\rangle |\leq \|x\|\cdot \|l\|_{Op}.}$

Ist ${\displaystyle X}$ ein Hilbertraum, so ist wegen des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz ${\displaystyle X\cong X^{\prime }}$. Ist ${\displaystyle X}$ zudem ein reeller Vektorraum, dann ist die duale Paarung in diesem Fall identisch mit dem Skalarprodukt des Hilbertraums. Für komplexe Hilberträume ist zu beachten, dass die duale Paarung bilinear ist, im Gegensatz zum Skalarprodukt, das lediglich sesquilinear ist.

Um Verwechslung mit einem (womöglich sesquilinearen) Skalarprodukt zu vermeiden, wird in der Literatur manchmal die Schreibweise ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ für die duale Paarung reserviert, und für das Skalarprodukt dafür ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ verwendet. Man erhält dann die Beziehung

${\displaystyle \langle x,y\rangle =(x,{\overline {y}}).}$

Die Notation der dualen Paarung ist verträglich mit gewissen Rechenregeln, die man für adjungierte Operatoren auf Hilberträumen kennt. Ist ${\displaystyle X}$ ein Hilbertraum, ${\displaystyle T\colon X\rightarrow X}$ ein linearer Operator und ${\displaystyle T^{*}\colon X\rightarrow X}$ der adjungierte Operator, so ist

${\displaystyle (Tx,y)=(x,T^{*}y)}$

für alle ${\displaystyle x}$ im Definitionsbereich von ${\displaystyle T}$ und alle ${\displaystyle y}$ im Definitionsbereich von ${\displaystyle T^{*}}$. Ist nun ${\displaystyle X}$ kein Hilbertraum mehr, so erhält man (da in diesem Fall kein Analogon zum Riesz-Isomorphismus existiert) als Adjungierte zu ${\displaystyle T}$ einen Operator auf den Dualräumen ${\displaystyle T^{\prime }\colon X^{\prime }\rightarrow X^{\prime }}$ und es gilt

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =y(Tx)=(T^{\prime }y)(x)=\langle x,T^{\prime }y\rangle }$

für alle ${\displaystyle x}$ im Definitionsbereich von ${\displaystyle T}$ und alle ${\displaystyle y}$ im Definitionsbereich von ${\displaystyle T^{\prime }}$.

Ein Nebeneinander von dualer Paarung und Skalarprodukten erhält man beispielsweise in folgender Situation. Betrachte einen Hilbertraum ${\displaystyle H}$ und einen Teilraum ${\displaystyle N}$, wobei ${\displaystyle N}$ mit einer Topologie versehen ist, die feiner als die induzierte Teilraumtopologie ist, sodass die Inklusionsabbildung ${\displaystyle i\colon N\rightarrow H}$ stetig ist.

Wieder kann man aufgrund des Riesz-Isomorphismus ${\displaystyle H}$ mit seinem topologischen Dualraum identifizieren. Zur Inklusionsabbildung gibt es auch eine duale Abbildung

${\displaystyle i^{\prime }:H^{\prime }\rightarrow N^{\prime }.}$

Oft fordert man, dass ${\displaystyle N}$ ein dichter Teilraum von ${\displaystyle H}$ ist, da dann die Abbildung ${\displaystyle i^{\prime }}$ injektiv ist und zu einer Einbettung wird. Man schreibt daher die Inklusionskette

${\displaystyle N\subset H=H^{\prime }\subset N^{\prime }}$,

was man als Gelfand-Tripel bezeichnet, benannt nach I. M. Gelfand. Auch hier kann man eine duale Paarung für ${\displaystyle N,N^{\prime }}$ betrachten, die jedoch nur dann mit dem Skalarprodukt auf ${\displaystyle H}$ in der Beziehung

${\displaystyle \langle x,y\rangle =(x,{\overline {y}})}$

stehen kann, wenn ${\displaystyle y}$ ein Element von ${\displaystyle H^{\prime }}$ ist.

Ein wichtiges Gelfand-Tripel aus der White-Noise-Analysis ist das Tripel

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )^{\prime },}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ der Raum der schnell fallenden Funktionen (Schwartz-Raum) ist und ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )^{\prime }}$ sein topologischer Dualraum, der Raum der temperierten Distributionen. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ist der Hilbertraum der quadratisch integrierbaren Funktionen bezüglich des Lebesguemaßes. Der Schwartz-Raum ist ein dichter Teilraum und er ist ein vollständiger metrischer Raum, jedoch lässt sich auf ihm kein Skalarprodukt definieren, das seine Topologie erzeugt.

Man kann nun jedes Element ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle L^{2}}$ als temperierte Distribution auffassen, indem man die Abbildung

${\displaystyle {\overline {f}}\colon {\mathcal {S}}\rightarrow \mathbb {R} ,\quad g\mapsto \int _{\mathbb {R} }g(x)f(x)dx}$

definiert (die Endlichkeit des Integrals ist eine Konsequenz der Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Man sieht rasch, dass mit dieser Definition Skalarprodukt und duale Paarung für alle Elemente ${\displaystyle {\overline {f}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )^{\prime },g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ übereinstimmen, wenn ${\displaystyle {\overline {f}}}$ durch eine quadratisch integrierbare Funktion ${\displaystyle f}$ induziert werden kann. Für andere temperierte Distributionen (so genannte singuläre Distributionen) ist das nicht möglich, zum Beispiel für die Deltadistribution, da der Ausdruck

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)\delta (x)dx}$

rein formal ist und kein Lebesgueintegral darstellt.

Mit Hilfe der Dualen Paarung lässt sich für beliebige Vektorräume ${\displaystyle X}$ eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements einer Menge ${\displaystyle S\subset X}$ definieren, der so genannte Annihilatorraum

${\displaystyle S^{0}=\lbrace f\in X^{\prime }\mid f(S)=\lbrace 0\rbrace \rbrace .}$

Im Bra-Ket-Formalismus, der in der Quantenmechanik häufig benutzt wird, werden Vektoren als Ket-Vektoren in der Form ${\displaystyle |y\rangle }$ und Elemente des Dualraums als Bra-Vektoren in der Form ${\displaystyle \langle x|}$ geschrieben. Vergleicht man diese Notation mit der obigen Bemerkung über das euklidische Skalarprodukt, so erkennt man, dass hier dieselbe Idee zugrunde liegt, nämlich dass man ein Skalarprodukt formal als Produkt aus einem Funktional und einem Vektor schreiben kann.

Allerdings sei angemerkt, dass hier keine duale Paarung zugrunde liegt, da die Vektorräume in der Quantenmechanik häufig komplexe Räume sind und das Skalarprodukt daher sesquilinear ist. Dennoch ist diese der dualen Paarung verwandte Notation nützlich, da sie ein intuitives Rechnen mit Vektoren, Funktionalen und Skalarprodukten ermöglicht.