Duale C*-Algebra

Ist ${\displaystyle M\subset A}$ eine Teilmenge einer Algebra ${\displaystyle A}$, so heißt ${\displaystyle {\mbox{lan}}(M):=\{x\in A;\,xM=\{0\}\}}$ der Links-Annullator von ${\displaystyle M}$. Entsprechend heißt ${\displaystyle {\mbox{ran}}(M):=\{x\in A;\,Mx=\{0\}\}}$ der Rechts-Annullator von ${\displaystyle M}$. Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

• ${\displaystyle {\mbox{lan}}({\mbox{ran}})(I)\,=\,I}$ für alle abgeschlossenen Linksideale ${\displaystyle I\subset A}$,
• ${\displaystyle {\mbox{ran}}({\mbox{lan}})(I)\,=\,I}$ für alle abgeschlossenen Rechtsideale ${\displaystyle I\subset A}$.

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum ${\displaystyle H}$ gibt, so dass sie isomorph zur Algebra ${\displaystyle K(H)}$ der kompakten Operatoren auf ${\displaystyle H}$ ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie ${\displaystyle (A_{i})_{i}}$ von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der ${\displaystyle A_{i}}$, die aus allen Tupeln ${\displaystyle (x_{i})_{i}}$ besteht, für die ${\displaystyle \{i;\,\|x_{i}\|>\epsilon \}}$ für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ endlich ist. Zusammen mit der Norm ${\displaystyle \|(x_{i})_{i}\|:=\sup _{i}\|x_{i}\|}$ ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle A}$ ist eine duale C*-Algebra.
• Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in ${\displaystyle A}$.
• Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle A}$ ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
• ${\displaystyle A}$ ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
• Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
• Für jedes ${\displaystyle x\in A}$ ist der Operator der Linksmultiplikation ${\displaystyle L_{x}:\,A\rightarrow A,\,y\mapsto xy}$ ein schwach-kompakter Operator.
• Für jedes ${\displaystyle x\in A}$ ist der Operator der Rechtsmultiplikation ${\displaystyle R_{x}:\,A\rightarrow A,\,y\mapsto yx}$ ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

• Die Matrizen-Algebren ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle ={\mathbb {C} }^{n\times n}}$ sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
• Die Folgenalgebra ${\displaystyle c_{0}}$ der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von ${\displaystyle \mathbb {C} \cong M_{1}(\mathbb {C} )}$ und daher dual.
• Ist ${\displaystyle H}$ ein Hilbertraum und ist ${\displaystyle A}$ eine Unter-C*-Algebra von ${\displaystyle K(H)}$, so ist ${\displaystyle A}$ dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
• Die Funktionenalgebra ${\displaystyle C([0,1])}$ ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

• Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.

• Duale C*-Algebren sind liminal.

• Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren ${\displaystyle K(H_{i})}$ vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten ${\displaystyle K(H_{i})}$.

• W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969