Dreizehneck

Der Innenwinkel ${\displaystyle \alpha }$ wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable ${\displaystyle n}$ für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl ${\displaystyle 13}$ einzusetzen.

${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13-2}{13}}\cdot 180^{\circ }={\frac {11}{13}}\cdot 180^{\circ }=152{,}{\overline {307692}}^{\circ }}$

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$ wird von zwei benachbarten Umkreisradien ${\displaystyle R}$ eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable ${\displaystyle n}$ die Zahl ${\displaystyle 13}$ einzusetzen.

${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {360^{\circ }}{13}}=27{,}{\overline {692307}}^{\circ }}$

Das Dreizehneck ist in dreizehn gleichschenklige Dreiecke, sogenannte Teildreiecke, teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$, der Hypotenuse (Umkreisradius) ${\displaystyle R}$ und dem halben Zentriwinkel ${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}}$ erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ wie folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {\mu }{2}}\right)=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)\\&=R\cdot 2\cdot \sin \left(13{,}{\overline {846153}}^{\circ }\right)\\a&\approx 0{,}478631\cdot R,\end{aligned}}}$

durch Umformen erhält man den Umkreisradius ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)}}\\R&\approx {\frac {a}{0{,}478631}}\end{aligned}}}$

Der Inkreisradius ${\displaystyle r}$ ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des Dreizehnecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {\mu }{2}}\right)=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)\\r&\approx 0{,}970941\cdot R\end{aligned}}}$

Die Höhe ${\displaystyle h}$ eines regelmäßigen Dreizehneckes ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius.

${\displaystyle h=R+r=R+R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)\right)}$

${\displaystyle h\approx 1{,}970941817\cdot R}$

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein ${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot h_{a}}$. Für die Berechnung des Dreizehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ und des Inkreisradius ${\displaystyle r}$ herangezogen, worin ${\displaystyle r}$ für die Höhe ${\displaystyle h_{a}}$ eingesetzt wird.

${\displaystyle a=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)}$

${\displaystyle h_{a}=r=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)\;}$ daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\Delta }&={\frac {1}{2}}\cdot R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)\cdot R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)\end{aligned}}\;}$ zusammengefasst ergibt sich

${\displaystyle A_{\Delta }=R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)}$

${\displaystyle A_{\Delta }\approx 0{,}232361586\cdot R^{2}}$

und für die Fläche des gesamten Dreizehnecks

${\displaystyle A=13\cdot A_{\Delta }=13\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)}$

${\displaystyle A\approx 3{,}020700618\cdot R^{2}}$

Andrew M. Gleason veröffentlichte 1988 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly zwei elegante Konstruktionen zu den regelmäßigen Polygonen Siebeneck und Dreizehneck.[1] Beide verlangen für eine exakte Lösung die Dreiteilung des Winkels. Die Methode hierfür ließ Andrew M. Gleason offen. Die folgende Konstruktionsskizze (linkes Bild des Doppelbildes) unterscheidet sich vom Original durch die Weiterführung der Konstruktion bis zum fertigen Dreizehneck. Die gepunkteten Linien dienen der Verdeutlichung, z. B. wie man bestimmte Funktionspunkte erzeugt. Näheres hierzu in der nachfolgenden Beschreibung anhand der Originalbeschreibung.

Dreizehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Animation der Konstruktionsskizze

Für das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt ${\displaystyle O(0,0)}$ mit Radius ${\displaystyle 12}$. Es folgt die Festlegung des Punktes ${\displaystyle A_{13}(12,0)}$. Um den Punkt ${\displaystyle P\left({\sqrt {13}}-1,0\right)}$ zu erhalten, werden zunächst die Zahlenwerte ${\displaystyle 1}$, als zwölfter Teil von ${\displaystyle {\overline {O13}}}$, sowie ${\displaystyle 13}$ bestimmt, die Strecke ${\displaystyle {\overline {O13}}}$ halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Die danach errichtete Senkrechte auf ${\displaystyle {\overline {O13}}}$ ab ${\displaystyle 1}$ schneidet den Thaleskreis in ${\displaystyle E}$. Die Verbindung des Punktes ${\displaystyle O}$ mit ${\displaystyle E}$ ergibt ${\displaystyle {\sqrt {13}}}$ für das Eintragen des Punktes ${\displaystyle P\left({\sqrt {13}}-1,0\right)}$. Im Anschluss die Zahlenwerte ${\displaystyle 5}$ und ${\displaystyle 7}$ auf ${\displaystyle {\overline {O13}}}$ ermitteln sowie die Punkte ${\displaystyle Q\left(5-{\sqrt {13}},0\right)}$ und ${\displaystyle R\left(7+{\sqrt {13}},0\right)}$ einzeichnen.

Zum Finden der Punkte ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L}$ wird zuerst der Zahlenwert ${\displaystyle 6}$ auf ${\displaystyle {\overline {O13}}}$ festgelegt und eine Senkrechte durch die ${\displaystyle 6}$ errichtet. Zieht man nun einen Kreisbogen um ${\displaystyle R}$ durch ${\displaystyle Q}$, schneidet er die Senkrechte in ${\displaystyle K\left(6,{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {13}}+1\right)\right)}$ und ${\displaystyle L\left(6,-{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {13}}+1\right)\right)}$. Nach dem Verbinden der Punkte ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L}$ mit ${\displaystyle P}$ sowie dem Ziehen eines Kreises um ${\displaystyle P}$ durch ${\displaystyle K}$, wird der Winkel ${\displaystyle LPK}$ mit einer frei wählbaren Methode gedrittelt. Hier z. B. geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks, dabei ergeben sich die Punkte ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle T}$. Eine Gerade durch ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle T}$ ergibt ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{12}}$, die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreizehnecks ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{13}}$ sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens ${\displaystyle OA_{13}A_{1}}$ nacheinander gefunden werden.

Bild 1: Regelmäßiges Dreizehneck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Die Konstruktion (Bild 1) des Dreizehnecks mit vorgegebenem Umkreis ist nahezu gleich der des Elfecks. Aus diesem Grund wurde die Beschreibung des Elfecks mit den erforderlichen Anpassungen übernommen.

Nach dem Zeichen des Quadrates, z. B. mit der Seitenlänge ${\displaystyle 1}$, und des Umkreises um den Punkt ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle A_{1}}$ erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle \gamma \colon (0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$:[2][3]

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}$

Danach wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ in dreizehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkels des Dreizehnecks ergibt sich aus ${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{13}},}$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab ${\displaystyle >0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle \leq 90^{\circ }}$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Dreizehntel der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ kann nur ein Dreizehntel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ aus dem Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ },}$ das Vierfache eines Dreizehntels, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4'}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}},}$ zur Konstruktion des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}$ ab ${\displaystyle 4'}$ bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt ${\displaystyle D}$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle D}$ bis zum Umkreis. Somit ergibt sich auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt ${\displaystyle A_{2}}$. Die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}$ ist die exakte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des regelmäßigen Dreizehnecks.

Nach dem elfmaligen Abtragen der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das Dreizehneck ${\displaystyle A_{1}\ldots A_{13}}$ fertiggestellt.

Bild 2: Regelmäßiges Dreizehneck mit vorgegebener Seitenlänge ${\displaystyle a}$ (grün).
Weiterführung einer exakten Konstruktion (mithilfe der Quadratrix) oder einer Näherungskonstruktion.

Die Konstruktion des Dreizehnecks mit vorgegebener Seitenlänge (siehe Bild 2) ist nahezu gleich der des Elfecks. Aus diesem Grund wurde die Beschreibung des Elfecks mit den erforderlichen Anpassungen übernommen.

Ist die Seitenlänge ${\displaystyle a'}$ eines Dreizehnecks mit vorgegebenem Umkreis bereits – exakt mithilfe der Quadratrix oder näherungsweise – bestimmt, kann daraus mithilfe der sogenannten zentrischen Streckung ein Dreizehneck mit vorgegebener Seitenlänge ${\displaystyle a}$ konstruiert werden.

Nur falls die vorgegebene Seitenlänge ${\displaystyle a}$ länger als ${\displaystyle a'}$ ist, werden zuerst beide Winkelschenkel des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ verlängert. Als Nächstes wird die Winkelhalbierenden ${\displaystyle wh}$ des Winkels ${\displaystyle \mu }$ eingezeichnet und anschließend darauf der Punkt ${\displaystyle M}$ mit beliebiger Position bestimmt. Es folgt eine Parallele zu ${\displaystyle a'={\overline {A_{1}'A_{2}'}}}$ durch ${\displaystyle M}$. Beim Ziehen des Halbkreises um ${\displaystyle M}$ mit Radius ${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$ ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$. Die beiden Parallelen zu ${\displaystyle wh}$ ab ${\displaystyle E}$ bzw. ${\displaystyle F}$, bis zu den betreffenden Winkelschenkeln, liefern die beiden ersten Eckpunkte ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ des gesuchten Dreizehnecks. Abschließend wird der somit gefundene Umkreis mit dem Radius ${\displaystyle r_{u}={\overline {OA_{1}}}}$ um ${\displaystyle O}$ gezogen, ab dem Eckpunkt ${\displaystyle A_{2}}$ die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ elfmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abgetragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Es sind nur wenige Näherungskonstruktionen des Dreizehnecks in der einschlägigen Literatur beschrieben.

Bild 3: Ein Elfeck und rechts das regelmäßige Dreizehneck nach Dürer (1525) mit dem empirisch bestimmten Punkt ${\displaystyle c}$, nahe dem Punkt ${\displaystyle b}$

Im Jahr 1525 veröffentlichte Albrecht Dürer in seinem Werk Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen im zweiten Buch ein Elfeck und ein Dreizehneck (im Bild 3 rechts).[4] Das in einem Kreis einbeschriebene regelmäßige Dreizehneck, benötigt zum Bestimmen der Seitenlänge nur den halben Radius und den Punkt ${\displaystyle c}$, nahe dem Punkt ${\displaystyle b}$. Der Punkt ${\displaystyle c}$, Dürer hat ihn nicht näher erläutert, wird mithilfe von Versuchen (empirisch) festgelegt.

Dürer weist in seiner Beschreibung insbesondere darauf hin, dass dies eine näherungsweise („mechanische“) und keine exakte („demonstrative“) Konstruktion sei. Der absolute Fehler der so konstruierten ersten Seitenlänge ist abhängig von der Genauigkeit des empirisch ermittelten Punktes ${\displaystyle c}$.

Bild 4: Dreizehneck, Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode

Bild 4 zeigt ein Dreizehneck in seinem Umkreis, erstellt mit einer universellen Methode.[5][6]

Zuerst wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, später der Durchmesser des gesuchten Dreizehnecks, in ${\displaystyle 13}$ gleich lange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von ${\displaystyle 13}$ gleich langen Abständen bestimmt. Nun werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen (Teilungspunkte) auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ markiert. In diesem Beispiel sind die geraden Zahlen ${\displaystyle 2,4,6,8,10}$ und ${\displaystyle 12}$ eingetragen. Die anschließende Halbierung von ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ erfolgt mithilfe der zwei Kreisbögen um ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Die Kreisbögen schneiden sich in den Punkten ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D.}$ Durch deren Verbindung erhält man den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ und die Symmetrieachse.

Nach dem Einzeichnen des Umkreises um ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle A}$ geht es weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis. Das Lineal wird an den Punkt ${\displaystyle D}$ und an die gerade Zahl ${\displaystyle 2}$ gelegt. Danach am Lineal entlang eine kurze Linie durch die gegenüberliegende Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Eckpunkt ${\displaystyle E_{6}}$ des entstehenden Dreizehnecks. Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen der Eckpunkte ${\displaystyle E_{5}\ldots E_{1}.}$ Sie wird fortgesetzt, jetzt ausgehend vom Punkt ${\displaystyle C,}$ bis die restlichen Eckpunkte ${\displaystyle E_{8}\ldots E_{13}}$ gefunden sind. Abschließend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Das Besondere an dieser Methode ist, sechs Seiten des Dreizehnecks haben paarweise die gleiche Länge, z. B. die Seiten ${\displaystyle {\overline {E_{6}E_{7}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {E_{7}E_{8}}}.}$ Die Seite ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{13}}}}$ hat eine von den anderen unterschiedliche Länge.

Größter und kleinster absoluter Fehler der Seitenlängen bei einem Umkreisradius mit ${\displaystyle R=1\;\mathrm {m} }$:

${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{13}}}\approx 21{,}26\;\mathrm {mm} }$

${\displaystyle {\overline {E_{4}E_{5}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {E_{9}E_{10}}}\approx -1{,}176704\;\mathrm {mm} }$

${\displaystyle {\overline {E_{3}E_{4}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {E_{10}E_{11}}}\approx 1{,}193636\;\mathrm {mm} }$

Sieht man sich die beiden kleinsten absoluten Fehler der benachbarten Seiten an, folgt daraus, beide sind nahezu gleich von einer idealen Mitte ${\displaystyle 0\;\mathrm {mm} }$ entfernt. Das bedeutet, würde man in dieser Näherungskonstruktion z. B. nur die Strecken ${\displaystyle {\overline {E_{9}E_{10}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {E_{10}E_{11}}}}$ konstruieren, anschließend das arithmetische Mittel dieser Strecken konstruktiv ermitteln, ergäbe dies eine Seitenlänge des Dreizehnecks mit einer Abweichung von

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left(-1{,}176704\ldots \,\mathrm {mm} +1{,}193636\ldots \,\mathrm {mm} \right)=0{,}008466\ldots \;\mathrm {mm} }$.

Oder anders gesagt, bei einem Umkreisradius ${\displaystyle R=1\;\mathrm {km} }$ wäre die Abweichung der konstruierten ersten Seite ${\displaystyle \approx 8{,}5\;\mathrm {mm} }$.