Dreireihensatz

Der Dreireihensatz, manchmal auch als kolmogoroffscher Dreireihensatz (englisch Kolmogorov’s three-series theorem) oder als Dreireihenkriterium (englisch three-series criterion) bezeichnet, ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf eine Arbeit der beiden russischen Mathematiker Alexander Jakowlewitsch Khintchine und Andrei Nikolajewitsch Kolmogoroff aus dem Jahre 1925 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen eine aus stochastisch unabhängigen reellen Zufallsvariablen gebildete Reihe fast sicher konvergiert, und führt diese Frage auf das Konvergenzverhalten dreier zugehöriger Reihen reeller Größen zurück. Er steht in engem Zusammenhang mit dem Starken Gesetz der großen Zahlen.[1][2][3][4][5][6]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Formulierung angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$ und darauf eine Folge $X_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;(n\in \mathbb {N} )$ von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen.

Dann gilt:

Dann und nur dann ist die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{X_{n}}$ fast sicher konvergent,

wenn eine reelle Zahl $K>0$ existiert derart, dass die drei dazu gebildeten Reihen

(1)

\sum _{n=1}^{\infty }{\operatorname {P} {\bigl (}|X_{n}|>K{\bigr )}}

(2)

\sum _{n=1}^{\infty }{\operatorname {E} (Y_{n})}

(3)

\sum _{n=1}^{\infty }{\operatorname {Var} (Y_{n})}

in $\mathbb {R}$ konvergieren, wobei die Folge der Zufallsvariablen $Y_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;(n\in \mathbb {N} )$ gebildet wird, indem für $n\in \mathbb {N}$

Y_{n}(\omega )={\begin{cases}X_{n}(\omega ),&{\text{falls }}|X_{n}(\omega )|\leq K,\\0&{\text{falls }}X_{n}(\omega )>K\end{cases}}

gesetzt wird.[7]

Anmerkung

Der Dreireihensatz lässt sich unter anderem – wie viele Sätze im Umfeld des Gesetzes der Großen Zahlen – ausdehnen auf den Fall der Familien unabhängiger Pettis-integrierbarer Zufallsvariablen mit Werten in einem separablen Hilbertraum. Dabei tritt an die Stelle der obigen Betragsfunktion die durch das Skalarprodukt des Hilbertraums auf diesem erzeugte Norm. Einzelheiten hierzu findet man in der Monographie von Vakhania, Tarieladze und Chobanyan.[8]

Anwendung

Aus dem Dreireihensatz folgt die Konvergenz der zufälligen harmonischen Reihe.

Literatur

Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory (= Springer Texts in Statistics). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-32903-1 (MR2247694).
Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, San Diego u. a. 2001, ISBN 0-12-174151-6 (MR1796326).
Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 40). 8. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
A. Kolmogoroff: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Reprint (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 3). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1973, ISBN 3-540-06110-X (MR0494348).
A. Kolmogoroff: Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhängiger Größen. In: Mathematische Annalen. Band 99, 1928, S. 309–319, doi:10.1007/BF01459098 (MR1512588).
A. J. Khintchine, A. N. Kolmogoroff: Über Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden. In: Recueil mathématique de la Société mathématique de Moscou [Matematicheskii Sbornik]. Band 32, 1925, S. 668–677.
Radha Govinda Laha, Vijay K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York u. a. 1979, ISBN 0-471-03262-X (MR0534143).
N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces (= Mathematics and its Applications (Soviet Series). Band 14). D. Reidel Publishing, Dordrecht / Boston / Lancaster / Tokio 1987, ISBN 90-277-2496-2.

Einzelnachweise und Anmerkungen

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 332–333.
Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory. 2006, S. 249 ff.
Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. 2001, S. 125 ff.
Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 294.
A. Kolmogoroff: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1973, S. 59–60.
R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 88–89.
Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable $X$ wird mit $\operatorname {E} (X)$ der Erwartungswert von $X$ und mit $\operatorname {Var} (X)$ die Varianz von $X$ bezeichnet.
N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. 1987, S. 289 ff.

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[AK-1] Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 332–333.

[A-L-2] Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory. 2006, S. 249 ff.

[KLC-3] Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. 2001, S. 125 ff.

[MF-4] Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 294.

[ANK-5] A. Kolmogoroff: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1973, S. 59–60.

[RGL-VKR-6] R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 88–89.

[7] Für eine integrierbare reelle Zufallsvariable $X$ wird mit $\operatorname {E} (X)$ der Erwartungswert von $X$ und mit $\operatorname {Var} (X)$ die Varianz von $X$ bezeichnet.

[V-T-C-8] N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. 1987, S. 289 ff.