Winkelgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ und Bahngeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ der Kreisbewegung

Die Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ wird durch einen Pseudovektor dargestellt, der die Richtung der Drehachse und die Schnelligkeit der Rotationsbewegung angibt; sie gilt für jeden Punkt des rotierenden Systems, ihr Vektor ist nicht nur in der Rotationsachse platziert. Die Richtung des Pseudovektors ist so orientiert, dass sie gemäß der Korkenzieherregel die Rotationsrichtung angibt. Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega =\left|{\vec {\omega }}\right|}$ ist gleich der Ableitung des Rotationswinkels ${\displaystyle \varphi }$ nach der Zeit ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\;.}$

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt daher

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}$,

denn in der Umlaufzeit ${\displaystyle T}$ wird der Winkel 2${\displaystyle \pi }$ durchlaufen.

Bei einer ebenen Kreisbewegung ändert sich die Richtung der momentanen Bahngeschwindigkeit eines Punktes mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie der Radiusvektor des Punktes. Bei einer im Raum gekrümmten Bahnkurve gilt dies für den momentanen Krümmungskreis. Die Änderung der Richtung der Bahngeschwindigkeit kann man daher genauso gut zu einer Definition der Winkelgeschwindigkeit nutzen. Sie ergibt sich direkt aus den Daten der Bahn und erfordert keine Bestimmung einer Drehachse.

Der Betrag ${\displaystyle \omega }$ der Winkelgeschwindigkeit wird meist bei Vorgängen verwendet, bei denen sich die Drehachse nicht ändert. Eine Änderung von Richtung und/oder Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist Folge einer Winkelbeschleunigung.

Jeder Punkt des rotierenden Systems beschreibt eine Kreisbahn, deren Ebene senkrecht zur Drehachse liegt. Die Bahn- oder Umlaufgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ des Punktes auf diesem Kreis ist dem Betrag nach

${\displaystyle v=\omega \,r_{\perp }}$,

wobei ${\displaystyle r_{\perp }}$ der Radius der Kreisbewegung ist. Denn zur infinitesimalen Zeitspanne ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ gehört der infinitesimale Weg ${\displaystyle \mathrm {d} s=r_{\perp }\,\mathrm {d} \varphi =r_{\perp }\,\omega \,\mathrm {d} t}$.

Liegt der Ursprung ${\displaystyle O}$ des Koordinatensystems auf der Drehachse, dann ist die Bahngeschwindigkeit nach Richtung und Betrag gleich dem Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$,

denn der Abstand von der Achse ist

${\displaystyle r_{\perp }=r\,\mathrm {sin} \vartheta }$

mit dem Polarwinkel ${\displaystyle \vartheta }$, der den konstant bleibenden Winkelabstand zwischen der Drehachse und dem Ortsvektor zum betrachteten Punkt angibt.

Diese Betrachtung der Änderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors gilt für jeden Vektor, der einer Drehung unterworfen ist, z. B. für die Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {e}}'_{i}}$ (${\displaystyle i\in \{x,y,z\}}$) eines rotierenden Bezugssystems. Deren Änderungsgeschwindigkeit ist

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i}}$.

Die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom Ursprung O zum Teilchen P wird bestimmt durch die Tangentialgeschwindigkeit des Geschwindigkeitsvektors v.

Der Geschwindigkeitsvektor v eines Teilchens P relativ zu einem Beobachter O kann in Polarkoordinaten zerlegt werden. Die radiale Komponente des Geschwindigkeitsvektors ändert die Richtung des Sehstrahls nicht. Zwischen der tangentialen Komponente und der Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls besteht die Beziehung:

${\displaystyle \mathrm {v} _{\perp }={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}\,r=\omega \cdot r\;.}$

Es ist anzumerken, dass die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt.

In drei Dimensionen ist die Winkelgeschwindigkeit durch ihren Betrag und ihre Richtung gekennzeichnet.

Wie im zweidimensionalen Fall hat das Teilchen eine Komponente seines Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Radiusvektors und eine weitere senkrecht dazu. Die Ebene mit Stützvektor ${\displaystyle {\vec {0}}}$ (Ort des Beobachters) und Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {r}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}_{\perp }}$ definiert eine Rotationsebene, in der das Verhalten des Teilchens für einen Augenblick wie im zweidimensionalen Fall erscheint. Die Rotationsachse ist dann senkrecht zu dieser Ebene und definiert die Richtung des Vektors der momentanen Winkelgeschwindigkeit. Radius- und Geschwindigkeitsvektor werden als bekannt vorausgesetzt. Es gilt dann:

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\;.}$

Auch hier gilt, dass die so berechnete Winkelgeschwindigkeit vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt. Zum Beispiel ergibt sich in Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) mit ${\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\rho \cos \varphi \\\rho \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}}$ und daraus berechnetem ${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}}$:

${\displaystyle ({\rho }^{2}+z^{2}){\vec {\omega }}={\dot {\rho }}z{\hat {e}}_{\varphi }+{\dot {\varphi }}(-z\rho {\hat {e}}_{\rho }+\rho ^{2}{\hat {e}}_{z})-{\dot {z}}\rho {\hat {e}}_{\varphi }\;.}$

Dabei sind ${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho },{\hat {e}}_{\varphi },{\hat {e}}_{z}}$ die Basisvektoren zu Zylinderkoordinaten.

In Kugelkoordinaten (r, θ, φ) folgt analog ${\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }\;.}$

Eine Anwendung ist die Relativbewegung von Objekten in der Astronomie (siehe Eigenbewegung (Astronomie)).

Lagewinkel-Drehung vom erdfesten Koordinatensystem (englisch world frame, Index g) ins körperfeste Koordinatensystem (englisch body frame, Index f)

Im Fahrzeug- oder Flugzeugbau wird die Orientierung des fahrzeugfesten Systems relativ zum erdfesten System in Euler-Winkeln angegeben. Genormt sind drei aufeinander folgende Drehungen. Zuerst um die z-Achse des Systems g (Gierwinkel), dann um die y-Achse des gedrehten Systems (Nickwinkel) und schließlich um die x-Achse des körperfesten Koordinatensystems (Wank/Rollwinkel).

Die Winkelgeschwindigkeit des körperfesten Systems ergibt sich aus den Winkelgeschwindigkeiten um diese Achsen:

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {u}}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {u}}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {u}}_{3}.}$

Der aufgesetzte Punkt bezeichnet die Zeitableitung. Diese Basis ist nicht orthonormal. Die Einheitsvektoren können jedoch mit Hilfe von Elementardrehungen berechnet werden.

Das eulersche Basissystem (grün) gibt die Achsen an, um die die Euler-Winkel α, β und γ drehen.

In der Standard-x-Konvention (z, x′, z″), siehe Bild, wird zunächst mit dem Winkel α um die raumfeste z-Achse gedreht, dann mit dem Winkel β um die x-Achse in ihrer Lage nach der ersten Drehung (x′-Achse, im Bild die N-Achse) und schließlich mit dem Winkel γ um die z-Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen (Kurzzeichen z″, im Bild die Z-Achse).

Bezeichnen die Einheitsvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{x,y,z}}$ die raumfeste Standardbasis (blau im Bild), dann lautet die Winkelgeschwindigkeit bezüglich der raumfesten Basis

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}{\hat {e}}_{z}+{\dot {\beta }}[\cos(\alpha ){\hat {e}}_{x}+\sin(\alpha ){\hat {e}}_{y}]+{\dot {\gamma }}[\sin(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{x}-\cos(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{z}]\\=&[{\dot {\beta }}\cos(\alpha )+{\dot {\gamma }}\sin(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{x}+[{\dot {\beta }}\sin(\alpha )-{\dot {\gamma }}\cos(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{y}+[{\dot {\alpha }}+{\dot {\gamma }}\cos(\beta )]{\hat {e}}_{z}.\end{aligned}}}$

In der bewegten Basis ${\displaystyle {\hat {e}}_{X,Y,Z}}$ (rot im Bild) ergibt sich gleichbedeutend:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}[\sin(\beta )\sin(\gamma ){\hat {e}}_{X}+\sin(\beta )\cos(\gamma ){\hat {e}}_{Y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{Z}]+{\dot {\beta }}[\cos(\gamma ){\hat {e}}_{X}-\sin(\gamma ){\hat {e}}_{Y}]+{\dot {\gamma }}{\hat {e}}_{Z}\\=&[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\sin(\gamma )+{\dot {\beta }}\cos(\gamma )]{\hat {e}}_{X}+[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\cos(\gamma )-{\dot {\beta }}\sin(\gamma )]{\hat {e}}_{Y}+[{\dot {\alpha }}\cos(\beta )+{\dot {\gamma }}]{\hat {e}}_{Z},\end{aligned}}}$

siehe Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels.

Im Zylinderkoordinatensystem ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ lauten die Basisvektoren

${\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$

Ändert sich der Winkel φ, dann entsteht die Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}}$. Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren, beispielsweise ${\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\rho }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho }.}$

Dies ergibt sich aus den Euler-Winkeln in der z-x′-z″-Konvention mit

• α = φ und β = γ ≡ 0 oder
• γ = φ und α = β ≡ 0.

In Kugelkoordinaten (r, φ, θ) können die Basisvektoren

${\displaystyle {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}$

benutzt werden. Bei einer gemeinsamen Rotation dieser Basisvektoren mit variablen Winkeln φ und θ entsteht die Winkelgeschwindigkeit

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}-{\dot {\theta }}\sin \varphi \\{\dot {\theta }}\cos \varphi \\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}={\dot {\varphi }}\cos \theta {\hat {e}}_{r}-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }.}$

Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren, beispielsweise gemäß ${\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\theta }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\theta }.}$

Dies ergibt sich aus den Euler-Winkeln in der z-x′-z″-Konvention mit α ≡ 0, β = φ und γ = θ sowie der zyklischen Vertauschung der Koordinatenrichtungen 123_Euler → 312_Kugel.

Das Kreuzprodukt der Winkelgeschwindigkeit mit dem Ortsvektor kann als Vektortransformation des Ortsvektors durch den Winkelgeschwindigkeitstensor angesehen werden.

Denn eine reine Drehung von Vektoren wird durch orthogonale Tensoren, das sind orthogonale Abbildungen von Vektoren auf Vektoren, dargestellt: ${\displaystyle {\vec {x}}=\mathbf {Q} \cdot {\vec {X}}}$, siehe Bild. Darin ist Q der orthogonale Tensor mit der Eigenschaft ${\displaystyle \mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q^{\top }\cdot Q} =\mathbf {1} }$ (1 ist der Einheitstensor, das hochgestellte T bezeichnet die Transposition) und ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ist der Vektor, auf den der feste Vektor ${\displaystyle {\vec {X}}}$ abgebildet wird. Zeitableitung ergibt:

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {X}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot {\vec {x}}=:\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}\;.}$

Der hier auftretende Winkelgeschwindigkeitstensor Ω ist schiefsymmetrisch (Ω^┬=−Ω) wegen

${\displaystyle {\dot {\mathbf {1} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {Q\cdot Q} ^{\top })={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }+\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }=\mathbf {\Omega +\Omega } ^{\top }=\mathbf {0} \,.}$

Jeder schiefsymmetrische Tensor W besitzt einen dualen Vektor ${\displaystyle {\vec {w}}}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \mathbf {W} \cdot {\vec {x}}={\vec {w}}\times {\vec {x}}}$ für alle ${\displaystyle {\vec {x}}}$. Dieser duale Vektor ist beim Winkelgeschwindigkeitstensor die Winkelgeschwindigkeit:

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}={\vec {\omega }}\times {\vec {x}}\,.}$

Der duale Vektor

${\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\Omega _{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}}$

ist die negative Hälfte der Vektorinvariante des Tensors und als solche ein axialer Vektor. Die Koordinaten Ω_ij des Tensors Ω gehören zur Standardbasis ${\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}.}$

Umgekehrt kann der Winkelgeschwindigkeitstensor aus der Winkelgeschwindigkeit gewonnen werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } =&{\vec {\omega }}\times \mathbf {1}$ :=\sum _{i=1}^{3}\omega _{i}{\hat {e}}_{i}\times \sum _{k=1}^{3}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{k}:=\sum _{i=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\omega _{i}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{k}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{3}&\omega _{2}\\\omega _{3}&0&-\omega _{1}\\-\omega _{2}&\omega _{1}&0\end{pmatrix}}\\\rightarrow \mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}=&({\vec {\omega }}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {x}}:={\vec {\omega }}\times (\mathbf {1} \cdot {\vec {x}})={\vec {\omega }}\times {\vec {x}},\end{aligned}}}

vgl. Kreuzproduktmatrix. Das Rechenzeichen „${\displaystyle \otimes }$“ bildet das dyadische Produkt.

Aus den Raten von Vektoren ${\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}}$ einer Vektorraumbasis, die eine Starrkörperrotation ausführt, kann der Winkelgeschwindigkeitstensor direkt berechnet werden.

Denn der Tensor ${\displaystyle \mathbf {G}$ :=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}} , in dem die Basisvektoren spaltenweise eingetragen sind, ist nach Voraussetzung invertierbar:

${\displaystyle |\mathbf {G} |={\begin{vmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\end{vmatrix}}\neq 0.}$

Darin stehen die senkrechten Striche für die Determinante, deren Nichtverschwinden die Invertierbarkeit garantiert. Im Fall einer gemeinsamen Starrkörperrotation der Basisvektoren folgt:

${\displaystyle {\dot {\vec {g}}}_{1,2,3}={\vec {\omega }}\times {\vec {g}}_{1,2,3}\quad \leftrightarrow \quad {\dot {\mathbf {G} }}={\vec {\omega }}\times \mathbf {G} =\mathbf {\Omega \cdot G} \quad \leftrightarrow \quad \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{-1}\;.}$

Umgekehrt gilt: Wenn die Zeitableitung eines Tensors G, multipliziert mit seiner Inversen G⁻¹, schiefsymmetrisch ist, dann können die Spaltenvektoren des Tensors als rotierende Basis aufgefasst werden. Im Fall, dass die Vektoren ${\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}}$ eine Orthonormalbasis bilden, ist der Tensor G orthogonal und es ergibt sich die schon erwähnte Beziehung ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{\top }.}$

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ist der Winkelgeschwindigkeitstensor ebenfalls konstant. Dann kann ${\displaystyle {\dot {\mathbf {G} }}=\mathbf {\Omega \cdot G} }$ bei gegebenen Anfangswert G(t=0) über die Zeit integriert werden mit dem Ergebnis:

${\displaystyle \mathbf {G} (t)=\exp(\mathbf {\Omega } t)\cdot \mathbf {G} (t=0).}$

Denn die ersten vier Potenzen von Ω berechnen sich mit der BAC-CAB-Formel zu

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&\omega {\hat {n}}\quad {\text{mit}}\quad |{\hat {n}}|=1\\\mathbf {\Omega } =&\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} =\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\\\mathbf {\Omega } ^{2}=&(\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot (\omega n_{k}{\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l})=\omega ^{2}n_{i}n_{k}{\hat {e}}_{i}\times ({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}\\=&\omega ^{2}n_{i}n_{k}(\delta _{il}{\hat {e}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}=\omega ^{2}n_{k}{\hat {e}}_{k}\otimes n_{i}{\hat {e}}_{i}-\omega ^{2}n_{i}n_{i}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l}=-\omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{3}=&-\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})=-\omega ^{3}[{\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \mathbf {1} -({\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot {\hat {n}})\otimes {\hat {n}}]=-\omega ^{3}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\\mathbf {\Omega } ^{4}=&\omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )\cdot \omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )=\omega ^{4}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\mathbf {1} )=\omega ^{4}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\;.\end{aligned}}}$

Oben ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes von eins bis drei zu summieren ist. Nach vollständiger Induktion ergeben sich die Potenzen

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } ^{2k}=&(-1)^{k}\omega ^{2k}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{2k+1}=&(-1)^{k}\omega ^{2k+1}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{aligned}}}$

für k = 1, 2, 3, … (keine Summen) Mit der Definition Ω⁰ := 1 kann das Exponential exp des Winkelgeschwindigkeitstensors mit der Taylorreihe ermittelt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(\mathbf {\Omega } t):=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{k}}{k!}}=\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\=&\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k}}{(2k)!}}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\=&\mathbf {1} +[\cos(\omega t)-1](\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\omega t){\hat {n}}\times \mathbf {1} \;.\end{aligned}}}$

Die letzte Gleichung stellt einen orthogonalen Tensor dar. Wenn Ω nur als schiefsymmetrischer Tensor ohne das Kreuzprodukt definiert wird, lässt sich das auf Drehungen in n Dimensionen verallgemeinern.

Beweis der Unabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des Bezugspunkts

Der starre Körper möge um eine beliebige Achse rotieren. Es wird gezeigt, dass die Winkelgeschwindigkeit unabhängig ist von der Wahl des Bezugspunkts, durch den die Achse führt. Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit eine unabhängige Eigenschaft des rotierenden starren Körpers ist.

Der Ursprung des Laborsystems ist in O, während O₁ und O₂ zwei Punkte auf dem starren Körper mit den Geschwindigkeiten ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$ sind. Angenommen, die Winkelgeschwindigkeit relativ zu O₁ bzw. O₂ sei ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}.}$ Da Punkt P und O₂ jeweils nur eine Geschwindigkeit haben, gilt:

${\displaystyle {\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}_{1}={\vec {v}}_{2}+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {r}}_{2}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\;.}$

Einsetzen der unteren Gleichung für ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$ in die obere ergibt:

${\displaystyle ({\vec {\omega }}_{1}-{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {r}}_{2}={\vec {0}}\;.}$

Da der Punkt P (und damit ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$) beliebig wählbar ist, folgt daraus:

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}={\vec {\omega }}_{2}\;.}$

Die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ist somit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts der Drehachse. Somit ist beispielsweise die Messung der Gierrate in einem Fahrzeug unabhängig vom Einbauort des Gierratensensors.