Doob-Zerlegung

Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal. Er besagt, dass sich ein stochastischer Prozess in einen Martingalteil $M$ und einen vorhersagbaren Anteil $A$ (auch Kompensator genannt[1]) zerlegen lässt. $A$ lässt sich als Drift des Prozesses interpretieren und $M$ als die aufaddierten (unsystematischen) Schwankungen um die Drift.[2] Anwendung ist beispielsweise die Darstellung des quadratischen Variationsprozesses in diskreter Zeit.

Das Analogon in stetiger Zeit ist die Doob-Meyer-Zerlegung.

Aussage

Seien $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Filtrierung. Jeder an ${\mathcal {F}}$ adaptierte und integrierbare stochastische Prozess $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist dann darstellbar als $X=M+A$ , wobei $M$ ein Martingal und $A$ vorhersagbar ist, d. h., es gilt: $A_{n+1}$ ist ${\mathcal {F}}_{n}$ -messbar für alle $n\in \mathbb {N}$ . Mit der Festsetzung $A_{0}=0$ ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist $A$ genau dann monoton wachsend, wenn $X$ ein Submartingal ist.

Beweis

Definiert man für $n\in \mathbb {N}$

$M_{n}:=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}\mid {\mathcal {F}}_{k-1}]{\bigr )}$ und
$A_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}\mid {\mathcal {F}}_{k-1}]-X_{k-1}{\bigr )},$

dann gilt $X_{n}=M_{n}+A_{n}$ . Die Martingaleigenschaft von $M$ und Vorhersagbarkeit von $A$ folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung $X=M'+A'$ der Prozess $M-M'=A'-A$ sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls $X$ ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von $A_{n}$ größer oder gleich 0, also ist $A$ ein monoton wachsender Prozess.

Literatur

J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, 1953, ISBN 978-0471218135
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

Einzelnachweise

Jürgen Kremer: Preise in Finanzmärkten. Springer Berlin Heidelberg, 2017, ISBN 978-3-662-53726-8, S. 142.
Christoph Kühn: Vorlesungsskript Stochastische Finanzmathematik. S. 27 (uni-frankfurt.de [PDF]).

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[1] Jürgen Kremer: Preise in Finanzmärkten. Springer Berlin Heidelberg, 2017, ISBN 978-3-662-53726-8, S. 142.

[2] Christoph Kühn: Vorlesungsskript Stochastische Finanzmathematik. S. 27 (uni-frankfurt.de [PDF]).