Division (Mathematik)

Um die Division als die bekannte arithmetische Grundrechenart besprechen zu können, benötigt man eine mathematische Struktur, die zwei Verknüpfungen (Rechenoperationen) kennt, genannt Addition und Multiplikation. Die beiden Verknüpfungen interagieren miteinander nach den Regeln des mathematischen Ringes. Die Multiplikation definiert die Division als die ihr zugehörige Umkehroperation. Als zusätzliche Grundrechenart ist die Addition vorausgesetzt, denn sie definiert bspw. die Null (0) als das ihr zugehörige neutrale Element.

Bemerkung

Bei den aus der Schule bekannten mathematischen Strukturen der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sowie der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ handelt es sich um mathematische Ringe.

Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl ${\displaystyle b}$ (dem bekannten Faktor) eine passende Zahl ${\displaystyle x}$ (den unbekannten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt ${\displaystyle a}$ ergibt: Finde zu gegebenem ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ein ${\displaystyle x}$, sodass ${\displaystyle b\cdot x=a}$!

Beschränkt man sich auf ganze Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ oder in den Körpern der reelle Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sowie der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$, gilt dagegen:

Für jede Zahl ${\displaystyle a}$ und für jede von null verschiedene Zahl ${\displaystyle b}$ existiert genau eine Zahl ${\displaystyle x}$, die die Gleichung ${\displaystyle b\cdot x=a}$ erfüllt.

Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses ${\displaystyle x}$. Man schreibt

${\displaystyle x=a:b\,}$   (gelesen: ${\displaystyle x}$ gleich ${\displaystyle a}$ geteilt durch ${\displaystyle b}$ oder kurz ${\displaystyle x}$ gleich ${\displaystyle a}$ durch ${\displaystyle b}$ oder auch ${\displaystyle x}$ gleich ${\displaystyle a}$ dividiert durch ${\displaystyle b}$).

Dabei heißen:

• Die Zahl ${\displaystyle a}$, die geteilt wird, Dividend (lateinisch „die zu Teilende“ (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch Zähler.
• Die Zahl ${\displaystyle b}$, durch die geteilt wird, Teiler oder Divisor (lateinisch „der, der teilt“), in der Bruchrechnung auch Nenner.
• Der Term ${\displaystyle a:b}$ Quotient.
• Das Ergebnis der Division Wert des Quotienten oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Merkhilfen:

• Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
• Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)

Die Bruchzahlen können also als Paare ${\displaystyle a:b}$ von ganzen Zahlen aufgefasst werden.

Beim Kürzen wird ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner eines Bruches entfernt, wobei sich der Wert des Bruches nicht ändert, z. B. ist ${\displaystyle {\tfrac {12}{18}}={\tfrac {6\cdot 2}{9\cdot 2}}={\tfrac {6}{9}}}$. Kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, entsteht ein Bruch, der nicht weiter kürzbar ist.[1] Zum Beispiel ist ${\displaystyle \operatorname {ggT} (12,18)={\color {Blue}6}}$, also

${\displaystyle {\frac {12}{18}}={\frac {2\cdot {\color {Blue}6}}{3\cdot {\color {Blue}6}}}={\frac {2}{3}}}$

Ein Bruch mit Zähler ${\displaystyle a}$ und Nenner ${\displaystyle b}$, bei dem ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=1}$ ist, ist nicht weiter kürzbar. Er wird voll gekürzt[2] oder auch vollständig oder maximal gekürzter Bruch genannt. Die Komponenten des Paares ${\displaystyle a,b}$ werden eindeutig durch die zusätzliche Festlegung des Vorzeichens des Nenners, also insgesamt durch die Maßgaben:

• ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle 0<b\in \mathbb {Z} }$,
• ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=1}$.

Eine derartige Wahl von Zähler und Nenner wird als Standarddarstellung des Bruches angesehen.

Die Umkehrung des Kürzens ist das Erweitern der Bruchzahl, also die Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen ganzen Zahl. Dabei wird der Wert der Bruchzahl genauso wenig geändert wie beim Kürzen.

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt

${\displaystyle a:b=a\cdot {\tfrac {1}{b}}=a\cdot b^{-1}}$.

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben,[3] da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt

${\displaystyle (a+b):c=a:c+b:c}$ und ${\displaystyle (a-b):c=a:c-b:c}$.

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, ein Rest bleibt übrig.

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division: ${\displaystyle a:b\ }$ oder ${\displaystyle a\div b\ }$ oder ${\displaystyle a/b\ }$ oder ${\displaystyle ^{a}\!/_{b}\ }$ oder ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ .

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die Schreibweise ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Bei mehreren aufeinanderfolgenden Doppelpunkten in einer Zeile wird in der Regel implizite Linksklammerung angenommen; der Infix-Doppelpunktoperator ist daher linksassoziativ[12][13][14][15][16]

${\displaystyle a:b:c\qquad =(a:b):c\qquad =a\cdot b^{-1}\cdot c^{-1}\qquad \ =a:(b\cdot c)}$ und

${\displaystyle a:b:c:d\ \ =((a:b):c):d=a\cdot b^{-1}\cdot c^{-1}\cdot d^{-1}=a:(b\cdot c\cdot d)}$.

Dies entspricht auch der Interpretation in den meisten Programmiersprachen.

Schrägstriche haben Vorrang vor horizontalen Bruchstrichen.

${\displaystyle {\frac {a/b}{c}}=a/(b\cdot c)}$ und ${\displaystyle {\frac {a}{b/c}}=a\cdot c/b}$.

Bei geschachtelter Bruchdarstellung haben die kürzeren Bruchstriche Vorrang vor den längeren:

${\displaystyle {\frac {a}{\frac {b}{c}}}=a\cdot c/b}$

und

${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{c}}=a/(b\cdot c)}$.

Wie man sieht, ist diese Schreibweise mit Vorsicht zu verwenden und ggf. ist auf ${\displaystyle {\tfrac {a}{b/c}}}$, ${\displaystyle \ {\tfrac {a/b}{c}}}$ auszuweichen oder fakultative Klammern sind zu verwenden ${\displaystyle {\tfrac {a}{\left({\tfrac {b}{c}}\right)}}}$, ${\displaystyle \ {\tfrac {\left({\tfrac {a}{b}}\right)}{c}}}$.

In der Geometrie ist weiterhin noch eine Schreibweise üblich: a : b : c = sin α: sin β: sin γ = d: e: f. Es handelt sich hierbei nicht um eine Kettendivision, sondern um eine Kurzschreibweise für

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$ und ${\displaystyle {\frac {a}{d}}={\frac {b}{e}}={\frac {c}{f}}}$.

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Bild 2
Division mit Zirkel und Lineal, für ${\displaystyle a:b}$ und Kehrwert ${\displaystyle b:a}$, Beispiel ${\displaystyle a<b}$
Die gestrichelten Linien dienen lediglich dazu, den Nachweis mithilfe des Sehnensatzes zu verdeutlichen.

Bild 1
Division mit Zirkel und Lineal, für ${\displaystyle a:b}$ und Kehrwert ${\displaystyle b:a}$, Beispiel ${\displaystyle a>b}$

Die Division kann auch – so wie die Multiplikation, die Potenz und die Quadratwurzel – als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden. Im Folgenden werden zwei unterschiedliche Vorgehensweisen beschrieben.

Die beiden nebenstehenden Bilder zeigen jeweils eine kompakte Lösung, die sowohl für ${\displaystyle a:b}$ als auch für den Kehrwert ${\displaystyle b:a}$ gilt. Die gestrichelten Linien im Bild 2 (Kreisbogen, Kreise) werden zur Lösung nicht benötigt, sie dienen lediglich dazu, den Nachweis mithilfe des Sehnensatzes zu verdeutlichen. Die Bezeichnungen der Punkte wurden, zwecks Vergleichbarkeit, analog dem Einleitungsbild im Sehnensatz gewählt.

Es folgt die Konstruktionsbeschreibung für ${\displaystyle a<b}$ (Bild 2). Die geringfügigen Unterschiede der Konstruktion für ${\displaystyle a>b}$ sind in Bild 1 ersichtlich.

Zuerst werden z. B. auf einer Zahlengeraden die Längen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ als Strecken ${\displaystyle {\overline {DS}}}$ bzw. ${\displaystyle {\overline {SB}}}$ aufgetragen. Es folgen eine Senkrechte auf ${\displaystyle {\overline {DB}}}$ durch ${\displaystyle S}$ sowie eine Parallele zur Strecke ${\displaystyle {\overline {DB}}}$ mit einem Abstand gleich ${\displaystyle 1}$, dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle C}$. Um den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Kreisbogens ${\displaystyle k_{b}}$ durch ${\displaystyle C}$ zu erhalten, bedarf es zweier (nicht eingezeichneter) Mittelsenkrechten der Sehnen ${\displaystyle {\overline {DC}}}$ und ${\displaystyle {\overline {CB}}}$.

Nun kann der Kreisbogen ${\displaystyle MBD}$ eingezeichnet werden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle E}$. Jetzt noch die Verbindung des Punktes ${\displaystyle D}$ mit ${\displaystyle E}$, bei der ${\displaystyle C'}$ die Senkrechte schneidet, und eine Halbgerade ab ${\displaystyle B}$ durch ${\displaystyle E}$, bis sie die Senkrechte in ${\displaystyle C''}$ schneidet. Im Grunde genommen ist nun die Konstruktion fertiggestellt. Um eine Überdeckung der Strecke ${\displaystyle {\overline {C'S}}}$ zu vermeiden ist ${\displaystyle {\overline {FD}}={\overline {C''S}}}$ separat dargestellt.

Nachweis (siehe hierzu Bild 2)

Nach dem Sehnensatz im Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle M'}$ gilt:

${\displaystyle {\overline {A'S}}\cdot {\overline {C'S}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}\Rightarrow }$

${\displaystyle a:b={\overline {C'S}}={\frac {{\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}}{\overline {A'S}}}.}$

Nach dem Sehnensatz im Kreis ${\displaystyle k_{3}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle M''}$ gilt:

${\displaystyle {\overline {A''S}}\cdot {\overline {C''S}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}\Rightarrow }$

${\displaystyle b:a={\overline {C''S}}={\overline {FD}}={\frac {{\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}}{\overline {A''S}}}.}$

Bild 3
Division mit Zirkel und Lineal unter Zuhilfenahme des Strahlensatzes

Eine weitere Möglichkeit für die Division ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ mit Zirkel und Lineal (siehe Bild 3) bietet der Strahlensatz.

Zunächst zieht man ab dem Punkt ${\displaystyle A}$ den ersten Strahl. Auf diesem Strahl wird, beginnend ab ${\displaystyle A}$, zuerst die Länge gleich ${\displaystyle 1}$, als Strecke ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ und anschließend die Länge ${\displaystyle b}$, als Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ bestimmt. Es folgt das Einzeichnen der Länge ${\displaystyle a}$ ab dem Punkt ${\displaystyle B}$, als Strecke ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ unter einem beliebigen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ zu ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Nun wird der zweite Strahl ab ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle D}$ gezogen. Die abschließende Parallele zu ${\displaystyle a}$ ab dem Punkt ${\displaystyle E}$ liefert den gesuchten Wert des Quotienten ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ als Strecke ${\displaystyle {\overline {EC}}}$.

In Österreich wird gelegentlich zwischen Messen (wie oft geht es in …?) und Teilen (wie viel ergibt es geteilt durch …?) unterschieden.[17]

Bis in die 1970er wurde auch in deutschen Grundschulen gelegentlich zwischen Aufteilen (in Gruppen) (österr. Messen) und Verteilen unterschieden.

• Gruppentheorie
• Ringtheorie
• Schiefkörper
• Divisionsalgebra
• Polynomdivision
• Rationale Funktion – Division von Funktionen
• Vedische Mathematik – Vereinfachte Methode zum Dividieren
• Quasigruppe
• Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)

• S. A. Stepanov: Division. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

1. L. Engelmann (Hrsg.): Kleiner Leitfaden Mathematik, Paetec, Berlin 1997, ISBN 3-89517-150-6, S. 51/2
2. Schüler-Duden: Die Mathematik I, Dudenverlag, Mannheim. Leipzig, Wien, Zürich 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 48
3. Sie ist der Schreibweise mit Bruchstrich ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ insbesondere im nicht-kommutativen Fall vorzuziehen, weil sie eine eindeutige Reihenfolge der Operationen vorgibt.
4. »Nicht lösbar« ist eine schärfere Aussage als »undefiniert«. Bei letzterem könnte es noch einen Freiheitsgrad für eine Definition geben. Bei ersterem ist diese Möglichkeit ausgeschlossen.
5. Eine echte Grenzwertbildung, etwa nach Art der Regel von de L’Hospital, ist nicht als Division durch null anzusehen.
6. Der Artikel Erweiterte reelle Zahl bringt zwei topologische Erweiterungen der reellen Zahlen, geht aber auch auf arithmetische Probleme ein.
7. Sunk by Windows NT In: Wired News, 24. Juli 1998
8. Python Errors and Exceptions. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
9. Java ArithmeticException. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
10. ISO/IEC 9899:201x. (PDF; 1,6 MB) Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch, nicht-normatives Arbeitsdokument).
11. Eric Weisstein: Division by zero. Wolfram MathWorld
12. Order of operations (Memento des Originals vom 5. September 2017 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.rit.edu (PDF; 265 kB) Rochester Institute of Technology.
13. The Order of Operations. Education Place.
14. The Order of Operations. Khan Academy (Video, ab 05:40)
15. Using Order of Operations and Exploring Properties (Memento vom 16. Juli 2022 im Internet Archive) (PDF) Virginia Department of Education, Absatz 9.
16. Vorrangregeln und Assoziativität. Technische Universität Chemnitz
17. veritas.at