Diskrete orthogonale Polynome
Diskrete orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome bezüglich eines diskreten Maßes. Solche Polynome findet man unter anderem in der Stochastik und in der statistischen Physik, wo man mit diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu tun hat.
Beispiele sind die Meixner-Polynome, die Krawtschuk-Polynome, die diskreten Tschebyscheff-Polynome, die Hahn-Polynome und die Charlier-Polynome.
Diskrete orthogonale Polynome
Diskretes Maß
Sei
- ,
- eine positive Folge, d. h. ,
- eine Folge reeller Zahlen, welche den Träger bilden werden,
- das Diracmaß, so dass alle Singletons in einer σ-Algebra enthalten sind.
Nun definieren wir ein diskretes Maß auf
mit endlichen Momenten (d. h. für alle ).
Für die lässt sich eine Gewichtsfunktion durch definieren.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir nun als Träger für alle und erhalten somit .
Diskrete orthogonale Polynome
Eine Familie von orthogonalen Polynome heißt diskret, wenn sie orthogonal bezüglich eines diskreten Maßes mit Gewichtsfunktion sind, das heißt wenn
erfüllt ist, wobei das Kronecker-Delta bezeichnet.[1]
Beispiele
- Meixner-Polynome (Negative Binomialverteilung):
- und
- wobei die Orthogonalität nur für und gilt.
- Charlier-Polynome (Poisson-Verteilung):
- und
Sonstiges
Wir definieren die Funktion durch
Betrachtet man allgemeine orthogonale Polynome mit einer Gewichtsfunktion und die durch
definierte Funktion , so entspricht dem diskreten Pendant der Funktion respektive .
Differenzengleichung
Es lässt sich beweisen, dass jedes diskrete orthogonale Polynom einer Differenzengleichung zweiter Ordnung genügt, wenn das Maß einen Träger über einer Halbgeraden mit äquidistanten Punkt besitzt (d. h. ein Gitter).[2]
Annahmen
Sei eine Familie orthogonaler Polynome bezüglich eines diskreten Maßes mit Träger
Wir nehmen an, dass gerade vom Grad ist und die Gewichtsfunktion normalisiert ist, d. h. es gilt
- und
Weiter nehmen wir an, dass auf die Gewichtsfunktion nicht konstant ist, aber für die Randpunkt gilt und .
Weiter notieren wir mit den Differenzoperator Die Funktion haben wir im vorherigen Abschnitt definiert.
Aussage des Theorems
Sei
ein diskretes orthogonales Polynom, welches die vorherigen Annahmen erfüllt. Dann gilt
wobei und wie folgt definiert sind
und
Literatur
- Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.
Einzelnachweise
- J. Arvesú, J. Coussement und Walter Van Assche: Some discrete multiple orthogonal polynomials. In: Journal of Computational and Applied Mathematics. Band 153, 2003, S. 19–45.
- Mourad Ismail, Inna Nikolova und Plamen Simeonov, Plamen: Difference Equations and Discriminants for Discrete Orthogonal Polynomials. In: The Ramanujan Journal. Band 8, 2005, S. 475–502, doi:10.1007/s11139-005-0276-z.