Diskrete Gleichverteilung

Im allgemeinsten Fall sind die auftretenden Ergebnisse beliebige ${\displaystyle x_{i}}$ mit ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$ und ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$, wenn ${\displaystyle i<j}$ ist. Der Träger ist also ${\displaystyle T=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}}$. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Gleichverteilung ist dann

${\displaystyle \operatorname {P} (X=x)=f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{für }}x=x_{i}(i=1,\dotsc ,n),\\0&{\text{sonst}}.\end{cases}}}$

und damit genügt sie der Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{X}(t)=P(X\leq t)={\frac {|\{k:x_{k}\leq t\}|}{n}}}$.

Hier sind insbesondere auch nichtnatürliche Zahlen für die ${\displaystyle x_{i}}$ zugelassen.

Wahrscheinlichkeitsfunktion für ${\displaystyle n=b-a+1=5}$

Die zugehörige Verteilungsfunktion

Wählt man zwei ${\displaystyle a<b\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle b-a=n-1}$, so wählt man als Träger die Menge

${\displaystyle T:=\{a,a+1,a+2,\dotsc ,b-1,b\}}$

und definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle \operatorname {P} (X=x)=f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{für }}x\in T,\\0&{\text{sonst}}.\end{cases}}}$

und die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{X}(t)=P(X\leq t)={\begin{cases}0&{\text{falls }}t<a,\\{\frac {\lfloor t\rfloor -a+1}{b-a+1}}&{\text{falls }}a\leq t<b,\\1&{\text{falls }}t\geq b.\end{cases}}}$

Als Spezialfall der beiden obigen Definitionen (setze ${\displaystyle x_{i}=i}$ oder ${\displaystyle a=1,b=n}$) wählt man als Träger

${\displaystyle T=\{1,2,\dotsc ,n\}}$

und erhält als Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle \operatorname {P} (X=x)=f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{für }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x\leq n,\\0&{\text{sonst}}.\end{cases}}}$

sowie die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{X}(t)=P(X\leq t)={\begin{cases}0&{\text{falls }}t<1,\\{\frac {\lfloor t\rfloor }{n}}&{\text{falls }}1\leq t<n,\\1&{\text{falls }}t\geq n.\end{cases}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \lfloor t\rfloor }$ die Abrundungsfunktion.

Der Erwartungswert ist im allgemeinen Fall

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Im zweiten Fall erhält man

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {a+b}{2}}}$,

was sich im dritten Fall zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {n+1}{2}}}$

vereinfacht. Diese Ergebnisse erhält man mithilfe der Gaußschen Summenformel.

Die Darstellung der Varianz ist für den allgemeinen Fall bereits unübersichtlich, da keine Vereinfachungen möglich sind:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\right)}$.

Für den zweiten Fall ergibt sich

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}}$.

Im dritten Fall gilt

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {n^{2}-1}{12}}}$.

Im zweiten und dritten Fall ist die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert. Im allgemeinen Fall ist keine Aussage möglich.

Für die letzten beiden Varianten ist die Schiefe gleich Null, im ersten Fall benötigt man eine symmetrische Verteilung, um auf die Schiefe Null schließen zu können.

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}$

Die Exzess ist im zweiten Fall

${\displaystyle \gamma =-1{,}2-0{,}2\cdot \operatorname {Var} (X)^{-1}={\frac {-6}{5}}-{\frac {12}{5(b-a+2)(b-a)}}}$

und damit ist die Wölbung

${\displaystyle \beta _{2}=1{,}8-0{,}2\cdot \operatorname {Var} (X)^{-1}}$

Dies vereinfacht sich im dritten Fall zum Exzess

${\displaystyle \gamma =-1{,}2-{\frac {12}{5(n^{2}-1)}}}$

und zur Wölbung

${\displaystyle \beta _{2}=1{,}8-{\frac {12}{5(n^{2}-1)}}}$

Die Entropie der diskreten Gleichverteilung ist für alle drei Varianten

${\displaystyle \mathrm {H} (X)=\log _{2}(n)}$

gemessen in Bit. Unter allen diskreten Verteilungen ist die Gleichverteilung diejenige mit der größtmöglichen Entropie.[1]

Im allgemeinen Fall fällt der Median der diskret gleich verteilten Zufallsvariable mit dem Median der Ausprägungen ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ zusammen:

${\displaystyle {\tilde {m}}={\begin{cases}x_{\frac {n+1}{2}}&n{\text{ ungerade}}\\{\frac {1}{2}}\left(x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1}\right)&n{\text{ gerade.}}\end{cases}}}$.

Im zweiten Fall ist dann

${\displaystyle {\tilde {m}}={\frac {a+b}{2}}}$

und dementsprechend im dritten Fall

${\displaystyle {\tilde {m}}={\frac {n+1}{2}}}$.

Der Modus lässt sich zwar angeben, hat aber wenig Aussagekraft. Er entspricht genau dem Träger der Verteilung, sprich ${\displaystyle (x_{i})_{i=1,\dots ,n}}$, bzw. ${\displaystyle \{a,\dots ,b\}}$ oder ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$.

Sind im zweiten Fall ${\displaystyle a,b\geq 0}$, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion gegeben durch

${\displaystyle m_{X}(t)={\frac {t^{a}-t^{b+1}}{n(1-t)}}}$.

Im dritten Fall ergibt dies dann

${\displaystyle m_{X}(t):={\frac {t(1-t^{n})}{n(1-t)}}}$

Beide Fälle lassen sich elementar mittels der geometrischen Reihe zeigen.

Die momenterzeugende Funktion ergibt sich für beliebige ${\displaystyle a<b\in \mathbb {Z} }$ als

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}}$ bzw.

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{t}-e^{(n+1)t}}{n(1-e^{t})}}}$.

Die charakteristische Funktion ergibt sich für beliebige ${\displaystyle a<b\in \mathbb {Z} }$ als

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}}$ bzw.

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {e^{it}-e^{i(n+1)t}}{n(1-e^{it})}}}$.

Die Bernoulli-Verteilung mit ${\displaystyle p=q={\tfrac {1}{2}}}$ ist eine diskrete Gleichverteilung auf ${\displaystyle \{0,1\}}$.

Die Beta-Binomialverteilung mit ${\displaystyle a=b=1}$ ist eine diskrete Gleichverteilung auf ${\displaystyle \{0,\dotsc ,n\}}$.

Die Zweipunktverteilung ist für ${\displaystyle p=q={\tfrac {1}{2}}}$ eine diskrete Gleichverteilung auf ${\displaystyle \{a,b\}}$.

Die Rademacher-Verteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf ${\displaystyle \{-1,1\}}$

Die diskrete Gleichverteilung ist die Basis aller Überlegungen, die Im Urnenmodell angestellt werden, da das Ziehen jeder der Kugeln aus der Urne gleich wahrscheinlich sein soll. Je nachdem, wie die Kugeln gefärbt, nummeriert oder zurückgelegt werden (oder auch nicht), ergeben sich somit aus der diskreten Gleichverteilung eine Vielzahl anderer wichtiger Verteilungen wie z. B. die Binomialverteilung, Geometrische Verteilung, Hypergeometrische Verteilung, Negative Binomialverteilung und Multinomialverteilung.

Die Summe zweier unabhängiger gleich verteilter Zufallsgrößen ist trapezverteilt, sind die Zufallsgrößen zudem identisch verteilt, so ist die Summe dreiecksverteilt.

Die diskrete Gleichverteilung kann leicht auf reelle Intervalle oder beliebige messbare Mengen mit positivem Volumen verallgemeinert werden. Sie wird dann stetige Gleichverteilung genannt.

Das Zufallsexperiment ist: Ein Würfel wird einmal geworfen. Die möglichen Ausprägungen der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ sind: ${\displaystyle x_{1}=1,x_{2}=2,\dotsc ,x_{6}=6}$. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsauffassung ist die Wahrscheinlichkeit für jede Ausprägung gleich. Sie hat dann die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle P(X=x)=f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}&{\text{für}}\;x=x_{i}(i=1,\dotsc ,6)\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ für ${\displaystyle x_{i}=i}$ und ${\displaystyle n=6}$:

${\displaystyle E(X)=7/2=3{,}5}$

und der Varianz

${\displaystyle V(X)={\frac {35}{12}}\approx 2{,}92}$.

Eine Anwendung in der Praxis könnte etwa ein Problem des Operations Research (Marketing) sein. Ein Unternehmen möchte ein neues Produkt auf dem Markt einführen:

Man versucht, den Erfolg des Produkts quantitativ vorauszuschätzen. Es wird vereinfachend von 5 verschiedenen verkauften Stückzahlen ausgegangen: 0, 1.000, 5.000, 10.000 und 50.000. Da über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Absatzzahlen keine verlässliche Schätzung möglich ist, verwendet man der Einfachheit halber gleiche Wahrscheinlichkeiten.

Man kann nun den Entscheidungsprozess, d. h. die individuelle Kaufentscheidung objektivieren, also den erwarteten durchschnittlichen Absatz ermitteln und sich überlegen, etwa anhand von Entscheidungsbäumen, inwieweit erhöhte Werbeausgaben die Absatzzahlen erhöhen könnten.