Bewertung (Algebra)

Ist ${\displaystyle G}$ eine totalgeordnete abelsche Gruppe und ${\displaystyle K}$ ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

${\displaystyle v\colon K\to G\cup \{\infty \}}$

eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)}$
• ${\displaystyle v(a)=\infty \iff a=0}$
• ${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}}$

für alle ${\displaystyle a,b\in K}$.

${\displaystyle K}$ heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe ${\displaystyle v(K^{\times })\subseteq G}$.

Zwei Bewertungen ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ heißen äquivalent, wenn ${\displaystyle v_{1}(a)<1\Longleftrightarrow v_{2}(a)<1}$ gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

Ein Integritätsbereich ${\displaystyle A}$ heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element ${\displaystyle x}$ des Quotientenkörpers von ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle x\in A}$ oder ${\displaystyle x^{-1}\in A}$.

Ist ${\displaystyle A}$ ein Bewertungsring mit Quotientenkörper ${\displaystyle K}$, so kann man eine Bewertung auf ${\displaystyle K}$ mit Wertegruppe ${\displaystyle G=K^{\times }/A^{\times }}$ definieren:

${\displaystyle v\colon K\to G\cup \{\infty \},\quad v(x)=\left\{{\begin{matrix}\infty &x=0\\{}[x]&x\in K^{\times };\end{matrix}}\right.}$

dabei bezeichnet ${\displaystyle [x]}$ das Bild von ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle G=K^{\times }/A^{\times }}$; die Ordnung auf ${\displaystyle G}$ ist definiert durch

${\displaystyle [x]\geq [y]\iff xy^{-1}\in A}$ für ${\displaystyle x,y\in K^{\times }.}$

Ist umgekehrt ${\displaystyle K}$ ein bewerteter Körper mit Bewertung ${\displaystyle v}$, so ist

${\displaystyle \{x\in K\mid v(x)\geq 0\}}$

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung ${\displaystyle v}$ genannt wird. Die Gruppe ${\displaystyle K^{\times }/A^{\times }}$ ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von ${\displaystyle v}$.

Für einen Körper ${\displaystyle K}$ gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf ${\displaystyle K}$ und Bewertungsringen, die in ${\displaystyle K}$ enthalten sind.

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

${\displaystyle v\colon K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)}$
• ${\displaystyle v(a)=\infty \iff a=0}$
• ${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}}$

für alle ${\displaystyle a,b\in K}$. ${\displaystyle K}$ zusammen mit ${\displaystyle v}$ heißt diskret bewerteter Körper.

• die ${\displaystyle p}$-Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl ${\displaystyle p}$
• die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Die Teilmenge

${\displaystyle A:=\left\{x\in K\mid v(x)\geq 0\right\}}$

bildet einen Unterring von ${\displaystyle K}$, den Bewertungsring von ${\displaystyle v}$. Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:=\{x\mid x\in K,v(x)>0\}}$, welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

${\displaystyle v(x)=\sup \left\{k\in \mathbb {Z} \mid x\in {\mathfrak {m}}^{k}\right\}}$

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von ${\displaystyle A}$ definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

Es sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl.

Die ${\displaystyle p}$-Bewertung (auch: die ${\displaystyle p}$-adische Bewertung oder der ${\displaystyle p}$-Exponent) ${\displaystyle v_{p}(n)}$ einer natürlichen oder ganzen Zahl ${\displaystyle n}$ ist die größte Zahl ${\displaystyle k}$, so dass ${\displaystyle n}$ noch durch ${\displaystyle p^{k}}$ teilbar ist. Die ${\displaystyle p}$-Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl ${\displaystyle p}$ in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Ist

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}},}$

so ist

${\displaystyle v_{p_{1}}(n)=a_{1},\quad v_{p_{2}}(n)=a_{2},\quad \ldots ,\quad v_{p_{k}}(n)=a_{k}.}$

Tritt eine Primzahl ${\displaystyle p}$ nicht in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle n}$ auf, dann ist ${\displaystyle v_{p}(n)=0}$.

Man setzt ${\displaystyle v_{p}(0)=\infty }$, weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die ${\displaystyle p}$-Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die ${\displaystyle p}$-Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der ${\displaystyle p}$-Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl ${\displaystyle r={\tfrac {m}{n}}}$ mit ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ist also

${\displaystyle v_{p}(r)=v_{p}(m)-v_{p}(n).}$

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs ${\displaystyle m/n}$ auf, ist ${\displaystyle v_{p}(r)}$ also eine negative Zahl.

Die ${\displaystyle p}$-Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

${\displaystyle r\mapsto p^{-v_{p}(r)}}$

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

Eine ${\displaystyle p}$-ganze Zahl (auch "${\displaystyle p}$-adisch ganze Zahl" oder "für ${\displaystyle p}$ ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative ${\displaystyle p}$-Bewertung hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht ${\displaystyle p}$-ganz sind, werden manchmal auch "${\displaystyle p}$-gebrochen" genannt.

Die Menge aller ${\displaystyle p}$-ganzen Zahlen ist ein Unterring von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, der ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ geschrieben wird. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich ${\displaystyle p}$.

Ist allgemeiner ${\displaystyle S}$ eine Menge von Primzahlen, so ist eine ${\displaystyle S}$-ganze Zahl eine rationale Zahl, die ${\displaystyle p}$-ganz für jedes ${\displaystyle p\notin S}$ ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus ${\displaystyle S}$ teilbar ist. Die Menge der ${\displaystyle S}$-ganzen Zahlen bildet einen Unterring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Beispiele

• Für ${\displaystyle S=\emptyset }$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}=\mathbb {Z} }$.
• Für eine Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ und ${\displaystyle S=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}=\mathbb {Z} _{(p)}}$, der diskrete Bewertungsring der ${\displaystyle p}$-ganzen Zahlen.
• Für ${\displaystyle S=\{2,5\}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ der Ring der abbrechenden (durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren) Dezimalbrüche.